概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本綜述

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本綜述1058215101872525/15)( BP25/7)( AP25/5)( ABP,75)( ABP)()()(APABPABP 例1 某溫泉開發(fā)商通過網(wǎng)狀管道向25個溫泉浴場供應(yīng)礦泉水,每個浴場裝一個閥門,25個閥門購自兩家生產(chǎn)廠,部分有缺陷,A: 有缺陷:A無缺陷B: 生產(chǎn)廠1:B生產(chǎn)廠2已知事件A 發(fā)生的條件下,事件B 發(fā)生的概率:)()()(APABPABP , 0)( AP符合概率定義中的三個條件.)( AP 設(shè)A ,B 是兩個事件,稱為在事件A 發(fā)生的條件下,事件B 發(fā)生的.0)( AP: 1* 只討論 的情況;2* 在A 固定的情況下,1非負性: 對任

2、事件 B，有;0)( ABP; 1)( ASP3可列可加性: 11)()(nnnnABPABP 2規(guī)范性:,21nBBB兩兩互不相容,則)(1)(. 3ABPABP );()(BPSBP 條件概率滿足的一些：; 0)(. 1 AP nBBB,212.若 兩兩互不相容，則有 niiniiABPABP11)()()()()()(. 4ABCPACPABPACBP 3* P (B) 稱為無條件概率,4* 條件概率的:(1) 縮減樣本空間; (2) 用定義.),(),(),(),(ABPABPAPAP,03. 0)( ABP98. 0)( ABP)()(ABPABP及及,35. 0)(,65. 0)(

3、 APAP,02. 0)( ABP,97. 0)( ABP例2 市場上供應(yīng)的某種商品中,甲廠產(chǎn)品占65%,乙廠產(chǎn)品占35%,甲廠產(chǎn)品的次品率為3%,乙廠產(chǎn)品的次品率為2%,事件A 表示甲廠的產(chǎn)品,B 表示產(chǎn)品為次品,試寫出概率:解:BA )()()(APABPABP )()(APBP 5 . 08 . 04 . 0 例3 某動物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,已知活到20歲, 它能活到25歲的概率是多少?解: A = “活到20歲”,B = “活到25歲”,1)(22MmMCCAP ,BA 22)(MmCCBP )()()(APABPABP 121)()( mMmAPBP例

4、4 若M 件產(chǎn)品中包含m 件廢品( m M ),今從中任取兩件,求:(1) 已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下,另一件也是廢品的概率;解: (1) 設(shè) A = “兩件中至少有一件是廢品”,B = “兩件都是廢品”DC ,1)(22MmCCCP 211)(MmMmCCCDP )()()(CPCDPCDP )()(CPDP 12 mMm(2) 已知取出的兩件中有一件不是廢品的條件下,另一件是廢品的概率;設(shè) C = “兩件中至少有一件不廢品”,D = “兩件中恰有一件是廢品”),()()(ABPAPABP , 0)( ABP, 0)()( ABPAP)()()()(ABCPABPAPABCP ,0

5、)( AP,ABA )()()(ABCPABPABCP ,)()()(APABPABP 證：),()()(ABPAPABP )()()(ABCPABPAP A ,B,C 是隨機事件,)(21nAAAP)()()(213121AAAPAAPAP nAAA,21若有n 個事件 ,且, 0)(121 nAAAP)(11 nnAAAP1 . 0505)(1 AP)()()(12121AAPAPAAP )()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 4844945505 )(),(),(321211AAAPAAPAP494505 解：0082. 02452 0077. 03923 例5 設(shè)

6、50 件產(chǎn)品中有5 件是次品,每次抽一件,不放回地抽取3件, Ai 表示第i 次抽到次品, i =1,2,3求:例6 某袋中有r 只紅球, t 只白球,每次從袋中任取一球,觀察顏色后將球放回袋中,并加進與所取出的球顏色相同的球 a 只,如果共進行了4次,求第一、第二兩次都取到紅球,第三、第四次都取到白球的概率.4 , 3 , 2 , 1 i)(4321AAAAP)()()()(3214213121AAAAPAAAPAAPAP atratatrtatrartrr32 iA“第i 次取到紅球”解: 設(shè)2 , 1 i, 2 . 0)(1 AP, 3 . 0)(1 ABP, 4 . 0)(12 BAA

7、P)()(1BAPBP )()(11ABPAP 例7 在空戰(zhàn)中,甲機先向乙機開火,擊落乙機的概率是0.2; 若乙機未被擊中,就進行回擊,擊落甲機的概率是0.3;若甲機也未被擊中,則再次進攻乙機,乙機被擊落的概率是0.4,在這幾個回合中,分別計算甲、乙機被擊落的概率.24. 03 . 08 . 0 解: 設(shè) iA“乙機在第i 次被擊落”A = “乙機被擊落”,B = “甲機被擊落”)()(212ABAPAP )()()(1211BAAPABPAP 224. 04 . 07 . 08 . 0 )()(21AAPAP )()(21APAP 424. 0224. 02 . 0 ;, 2 , 1,)1(

8、njijiBBji ,)2(21SBBBn 設(shè) S 是試驗 E 的樣本空間， 是試驗 E 的一組事件,若 nBBB,21nBBB,21則稱 為樣本空間S 的一個. BB 與與*1組成樣本空間S 的一個劃分.2* 所有基本事件組成樣本空間S 的一個劃分.niBPi, 2 , 1, 0)( niiiBAPBPAP1)()()()(21nBBBAASA 試驗 E 的樣本空間是SnBBB,21為S 的一個劃分證明：nABABAB 21njijiABABji, 2 , 1,;,)()( niiABPAP1)()( niiiBAPBP1)()( ()任一事件A,3 . 0931059310292103 3

9、21,BBB組成樣本空間S 的一個劃分. 31)()()(iiiBAPBPAP例8 袋中有10個球,3個白球,2個黑球,5個紅球,采用不放回抽樣,每次任取一個,求第二次取到白球的概率.321:BBB、解解分別表示第一次取到白球、黑球、 紅球A = “第二次取到白球”,)()()()()(BAPBPBAPBPAP SBnii 1*3條件條件ABnii 1可放寬到可放寬到)()()(1iiiBAPBPAP BB 與與*2組成樣本空間S 的一個劃分.,*121nBBB組成樣本空間S 的一個劃分.:25. 0)()(, 5 . 0)(321 BPBPBP,04. 0)(,02. 0)()(321 BA

10、PBAPBAP 31)()()(iiiBAPBPAP04. 025. 002. 025. 002. 05 . 0 025. 0 例9 市場上某種商品由三廠家同時供貨,其供應(yīng)量第一廠家是第二廠家的二倍,第二,三兩個廠家相等.各廠產(chǎn)品的次品率依次為2%, 2%,4%,現(xiàn)從市場上買一件產(chǎn)品是次品的概率是多少?解: 設(shè) kB“買到第k 家廠生產(chǎn)的產(chǎn)品”3 , 2 , 1 kA = “買到次品”,)(1ABP 3111)()()()(kkkBAPBPBAPBP04. 025. 002. 025. 002. 05 . 002. 05 . 0 4 . 0 )()(1APABP 例10 例9中,如現(xiàn)從市場上買

11、一件次品,問它是第一個工廠生產(chǎn)的概率是多少?, 0)( AP njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()(niBPi, 2 , 1, 0)( 試驗 E 的樣本空間是SnBBB,21為S 的一個劃分 (Bayes)任一事件A,)(iBP稱為先驗概率,)(ABPi稱為后驗概率,iB在獲得試驗中事件A 已經(jīng)發(fā)生這個信息之后,事件 發(fā)生的條件概率.,0004. 0)( BP,99. 0)( BAP,05. 0)( BAP)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP 05. 09996. 099. 00004. 099. 00004. 0 00786. 0 9996

12、. 0)( BP例11 某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004,用甲胎蛋白法檢查肝癌,A = “檢查為陽性”,B = “該地區(qū)居民患肝癌”求某人已檢出陽性,問他患肝癌的概率.解:人人50005. 09996 醫(yī)生應(yīng)該采用的方法是,當懷疑某人有可能患肝癌時才建議作甲胎蛋白檢驗.6 . 0)(4 . 0)( BPBP9296. 005. 06 . 099. 04 . 099. 04 . 0 )()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP 結(jié)果說明:肝癌發(fā)病率很低,10000人中大約4人患肝癌, 9996位不患肝癌人中呈陽性的9 . 04 . 02 . 095. 08 . 095.

13、08 . 0 例12 以往數(shù)據(jù)表明,當機器調(diào)整良好時,產(chǎn)品的合格率為95%,當機器沒有調(diào)整好時,產(chǎn)品的合格率僅為40%,每天早晨機器開動時,機器調(diào)整良好的概率是80%,試求某日機器開動后生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整良好的概率.)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP A = “產(chǎn)品合格”,B = “機器調(diào)整良好”解: 設(shè)2. 例5中,求:某日機器開動后,(1) 生產(chǎn)的頭三件產(chǎn)品合格時,機器調(diào)整良好的概率.(2) 生產(chǎn)的頭三件產(chǎn)品中,第一件合格,第二、三件是次品時,問機器是否需要重新調(diào)整?1. 10張考簽中有4張難簽,今有甲、乙、丙三人依次參加抽簽,從中任抽一張,

14、抽后不放回.三人各自抽到難簽的概率一樣嗎 (抽簽公平嗎) ?)()()()()(BACPBAPABCPABPCP , 4 . 010/4)( AP)()()()()(ABPAPABPAPBP 4 . 09/410/69/310/4 )()()()(BACPBAPBACPBAP 1. 設(shè)事件A,B,C 分別表示甲,乙,丙各自抽到難簽.8/3)9/610/4(8/2)9/310/4( 4 . 08/4)9/510/6(8/3)9/410/6( ，)()()(CPBPAP 說明抽簽的結(jié)果與先后次序無關(guān),抽簽是公平的.)()()()()(BACPBAPABCPABPCP )()()()(BACPBAP

15、BACPBAP )()1(321AAABP)()()()()()(321321321BAAAPBPBAAAPBPBAAAPBP 98. 04 . 02 . 095. 08 . 095. 08 . 0333 3 , 2 , 1 i2. 設(shè) iA“第i 件產(chǎn)品合格”062. 06 . 04 . 02 . 005. 095. 08 . 005. 095. 08 . 0222 )()2(321AAABP)()()()()()(321321321BAAAPBPBAAAPBPBAAAPBP 機器必須重新調(diào)整.，cBAPbBPaAP )()()(2. 看某報紙廣告的人數(shù)占該報讀者的 15%,有 30%的 讀

16、者看了廣告后去看商品,求讀者看了廣告并去看商 品的概率.3. 某射手第一次擊中目標的概率是 1/2,如第一次未擊中,則進行第二次射擊,擊中目標的概率是 2/9,如又未擊中,則進行第三次射擊,擊中目標的概率是 1/8,求射手擊中目標的概率.1. 事件A,B 滿足 )(BAP4. 申請某工作的人中1/3是大學(xué)畢業(yè)生,這些大學(xué)畢業(yè)生中的1/4是具有一年以上的工作經(jīng)驗,隨機地挑選一個申請人, 這個人是大學(xué)畢業(yè)生且他(她)至少有一年工作經(jīng)驗的概率是多少？5. 一袋中裝有10個球,其中3個白球,7個紅球,現(xiàn)采用不放回方式從中摸球兩次,每次一個,求: (1)第二次才取到白球的概率； (2)第二次取到白球的概

17、率.7. 已知一批產(chǎn)品有70%的合格品,檢驗產(chǎn)品時,一個合格品被誤認為是次品的概率是2%,一個次品被誤認為是合格品的概率是8%,求一個檢驗為合格的產(chǎn)品確實是合格品的概率.6. 甲,乙,丙三名射手打靶的命中率分別為4/5,3/4,2/3,他們同時各打一發(fā)子彈,結(jié)果恰有兩彈中靶,試求丙未中靶的概率.8.甲袋中有2個黑球,3個白球,乙袋中有1個黑球,3個白球,丙袋中有3個黑球,1個白球,從甲袋中任取一球放入乙袋,再從乙袋中任取一球放入丙袋,最后從丙袋中任取一球,求最后取到白球的概率. 10. 設(shè)A,B 為兩個隨機事件,若 ,證明： )()(APBAP )()(BPABP 9. A箱中裝有M個黑球,B箱中裝有M個白球,從B 箱中隨機地取出一球投入A箱中,然后從A箱中隨機地取出一球投入BM次交換后, A 箱中有M個白球的概率. 1. a + b - - bc 2. 0.045 3. 95/144 4. 1/12)()1(21AAP)()(121AAPAP 307 )()2(2AP)()(121AAPAP )()(121AAPAP 103 , 2 , 1 i5. 設(shè) iA“第i 次抽到白球”213243)(1 ABP534354)(3 ABP136)5331158412151(5331 )(