高中數(shù)學(xué)例談不等式證明的幾種特殊方法學(xué)法指導(dǎo)

1、用心 愛心 專心例談不等式證明的幾種特殊方法尹語錄不等式的證明常用的方法有比較法,綜合法,分析法,在不等式的證明問題中,選擇 適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ侵陵P(guān)重要的。今例舉幾種證明不等式的特殊方法。一、換元法換元法是指對結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,量與量之間的關(guān)系不甚明了的命題,通過恰當(dāng)引入新變 量,代換原題中的部分式子,簡化原有結(jié)構(gòu),使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式,換元法多用于 條件不等式的證明,常采用三角代換,均值代換及其他代換方法。例 1. 已知 a 、 b 4b a , R 22+,求證:20|b 3ab 8a 3|22-。證明:因?yàn)?4b a , R b , a 22+所以可設(shè) =sin r b , cos r a ,

2、其中 2r 0所以 |b 3ab 83|22-2025r 5|2cos(|r 5|2sin 42cos 3|r |sin 3cos sin 8cos 3|r 2222222=+=-=-= 故原不等式成立。例 2. 已知 a 、 b 、 c R ,且 1c b a =+,求證:31c b a 222+ 證明:p 31c , n 31b , m 31a +=+=+= 因?yàn)?1c b a =+,所以 0p n m =+ 故 222222222p n m p n m (3231 p 31( n 31( m 31(c b a +=+=+ 31。二、反證法從否定結(jié)論出發(fā)經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證明結(jié)論的否

3、定是錯誤的,從而肯定原結(jié) 論是正確的證明方法。凡涉及到證明的不等式為否定性命題,惟一性命題或是“至多”、 “至少”等字句時(shí),常用反證法。例 3. 已知:a 、 b 、 c 1, 0(,求證:a c 1(, c b 1(, b a 1(-不能同時(shí)大于41。 證明:假設(shè)三式同時(shí)大于41 即有 41ac a , 41bc c , 41ab b >->->- 三式同時(shí)相乘,得用心 愛心 專心, 641c c 1(b b 1(a a 1(41c c 1(, 41b b 1(41 2a a 1(a a 1(641c c 1(b b 1(a a 1(2-=+->-所以 同理 又 因此

4、與假設(shè)矛盾,結(jié)論正確三、判別方式判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程,一元二次不等式,二次函數(shù)的根, 解集,函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式,從而推出欲證的不等式的方 法。例 4. 設(shè) c b a , 1c b a , 1c b a 222>>=+=+且 , 求證:0c 31<<- 證明:因?yàn)?1c b a =+,所以 c 1b a -=+。所以 c 2c 1ab 2b a 222-+=+而 222c 1b a -=+,所以 c c ab 2-=所以 a 、 b 為方程 0c c x c 1(x 22=-+-的二實(shí)根。而 c b a >>

5、;,故方程有均大于 c 的不等實(shí)根,設(shè) c c x c 1(x x (f 22-+-=,則><<->->0c (f 0c 31, c 2c 10解得四、導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法是構(gòu)造一個函數(shù),根據(jù)其在某個范圍內(nèi)的單調(diào)性來證明不等式的方法。 例 5. 已知:a 、 b 為正整數(shù),且 b a 1<<,證明:a b b 1( a 1(+>+。證明:要證不等式成立,只要證明: b 1ln(a a 1ln(b +>+。 即bb 1ln(a a 1ln(+>+ 構(gòu)造函數(shù) 2x (xx 1ln( x (f += 2xx 1ln(x1x x (' f +

6、-+=, 0x 1(x x 1ln( x 1ln(x x 2<+-+-= 于是 x (f 在 , 2+上是減函數(shù)。由 b (f a (f , b a 2><知 。即 b b 1ln(a a 1ln(+>+,用心 愛心 專心 所以 a b b 1( a 1(+>+。五、放縮法欲證 B A , 可通過適當(dāng)放大或縮小, 借助一個或多個中間量, 使得 211B B , B B , , , A A , A A A B 211i 或 , B A i ,再利用傳遞性,達(dá)到欲證的目的,這種方法叫放縮 法。例 6. 已知:a 、 b 、 c 、 d 均為正數(shù), c a d d b

7、d c c a c b b d b a a S +=,求 證:2s 1<<。證明:因?yàn)?a 、 b 、 c 、 d 均為正數(shù)。 所以 d c b a d d c b a c d c b a b d c b a a s +> 2d c d c b a b a d c d d c c b a b b a a s , 1d c b a d c b a =+=+<=+=且 , 所以 2s 1<<。六、向量的數(shù)量積法|, cos |><=顯然有 , 運(yùn)用此法可證明較難的不等式問題。例 7. 已知 a 、 b 、 c 均為正實(shí)數(shù),且 2c b a =+,求證:3