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1、梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱 梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱 數(shù)學(xué)物理方法(供物理專業(yè)試用)前一、課程概述言1數(shù)學(xué)物理方法是物理教育專業(yè)本科的一門重要的基礎(chǔ)課,它是前導(dǎo)課程高等數(shù) 學(xué)的延伸,為后繼開設(shè)的電動力學(xué)、量子力學(xué)和電子技術(shù)等課程提供必需 的數(shù)學(xué)理論知識和計(jì)算工具。本課程在本科物理教育專業(yè)中占有重要的地位,本專業(yè)學(xué)生 必須掌握它們的基本內(nèi)容,否則對后繼課的學(xué)習(xí)將會帶來很大困難。在物理教育專業(yè)的所 有課程中,本課程是相對難學(xué)的一門課,學(xué)生應(yīng)以認(rèn)真的態(tài)度來學(xué)好本課程。 2本課程的主
2、要內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)、傅立葉級數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程、特殊函數(shù)等。理論力 學(xué)中常用的變分法,量子力學(xué)中用到的群論以及現(xiàn)代物理中用到的非線性微分方程理論 等,雖然也屬于數(shù)學(xué)物理方法的內(nèi)容,但在本大綱中不作要求??梢栽诤罄m(xù)的選修課 中加以介紹。 3本課程的內(nèi)容為數(shù)學(xué)課程,注重邏輯推理和具有一定的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。但是,它與 其它的數(shù)學(xué)課有所不同。本課程內(nèi)容有很深廣的物理背景,實(shí)用性很強(qiáng)。因此,在這門課 的教學(xué)過程中,不能單純地追求理論上的完美、嚴(yán)謹(jǐn),而忽視其應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí),不 必過分地追求一些定理的嚴(yán)格證明、復(fù)雜公式的精確推導(dǎo),更不能死記硬背,而應(yīng)重視其 應(yīng)用技巧和處理方法。 4本課程的內(nèi)容是幾代數(shù)學(xué)家
3、與物理學(xué)家進(jìn)行長期創(chuàng)造性研究的成果,幾乎處處都閃耀 創(chuàng)新精神的光芒。教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生注意在概念建立、定理提出的過程中所用的創(chuàng)新思維 方法,在課堂教學(xué)中應(yīng)盡可能地體現(xiàn)歷史上的創(chuàng)造過程,提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。二、目的要求1本課程要求學(xué)生對規(guī)定的內(nèi)容有一個(gè)總體了解。掌握其中的基本概念,熟悉一些重要 的理論及公式,并使所學(xué)到的知識在頭腦中形成合理的結(jié)構(gòu)。 2本課程要求學(xué)生能運(yùn)用學(xué)到的基本數(shù)學(xué)方法解決一類常見的物理問題,能較順利地學(xué) 習(xí)本專業(yè)后繼的物理課程。 3本課程要求學(xué)生能熟悉在數(shù)學(xué)物理方法的創(chuàng)立過程中用過的創(chuàng)新思維方法,如類比、 推廣、猜想及模型化等,為寫出有特色的學(xué)年論文和/或畢業(yè)論文創(chuàng)造條
4、件。三、教材教科書: 教科書:梁昆淼編,數(shù)學(xué)物理方法,北京:人民教育出版社,1995 年第三版。 參考書: 參考書:四川大學(xué)編,高等數(shù)學(xué)第四冊,北京:高等教育出版社,1996 年第三版; 劉連壽、王正清編,數(shù)學(xué)物理方法,北京:高等教育出版社,1991 年;大綱-1嚴(yán)鎮(zhèn)軍編,數(shù)學(xué)物理方法,合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999 年。四、教學(xué)建議1本課程課堂講授約需 54 課時(shí)(50 課時(shí)講授基本內(nèi)容,4 課時(shí)作為機(jī)動,每篇章的標(biāo)題 后注明了講授參考學(xué)時(shí)數(shù))。 2學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注重各章節(jié)所要求內(nèi)容的全貌,以掌握基本思想和基本方法為主, 培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 3學(xué)生需獨(dú)立完成本大綱所列出的習(xí)題,并適當(dāng)
5、自選做一些其它的習(xí)題,提高應(yīng)用能力。 4在學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)以教科書教材為主,適當(dāng)參考所列出的或其它的參考書,要適應(yīng)各 種不同的教材的編排體系和書寫符號等。第一篇本篇概述復(fù)數(shù)函數(shù)論(20+1) 復(fù)數(shù)函數(shù)論(20+1)復(fù)數(shù)函數(shù)論是指自變數(shù)為復(fù)數(shù)的函數(shù)。它是實(shí)變函數(shù)在自變數(shù)方面的延伸,并形成了 一個(gè)獨(dú)立的理論分支。 復(fù)變函數(shù)在物理學(xué)中有極其廣泛的應(yīng)用。 首先, 由于復(fù)變數(shù)的引入, 賦予了一些物理量以新的意義。例如,物理學(xué)中普遍使用復(fù)阻抗、復(fù)勢、復(fù)頻率、復(fù)介電 常數(shù)、復(fù)磁導(dǎo)率、復(fù)哈密頓量等等,這些復(fù)數(shù)量都具有新的物理內(nèi)涵。其次,許多復(fù)變函 數(shù)論的方法,如柯西積分、回路積分、羅朗級數(shù)籌,給物理學(xué)許多領(lǐng)域中
6、大量的實(shí)際問題 提供了有效的處理手段。因此,復(fù)變函數(shù)論成為數(shù)學(xué)物理方法的一個(gè)重要組成部分。 在本篇中,首先引人復(fù)變函數(shù)的基本概念,特別是復(fù)導(dǎo)數(shù)、柯西?黎曼條件及解析函 數(shù)的概念。其次討論復(fù)變函數(shù)的積分,論述柯西定理,并在這個(gè)基礎(chǔ)上導(dǎo)出柯西公式,得 到一個(gè)函數(shù)在解析點(diǎn)處及其高階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處的積分表達(dá)式。然后,討論復(fù)變函數(shù)的冪級 數(shù)展開理論,同時(shí)對復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類和各類奇點(diǎn)的性態(tài)分析。最后,指出留 數(shù)定理及其應(yīng)用。鑒于復(fù)變函數(shù)所涉及的范圍很廣,對于其它的內(nèi)容,在本大綱中不作要 求。 在本篇的教學(xué)中,學(xué)生要善于將復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)進(jìn)行比較。一方面,要注意它們 之間的理論相似之處,充分利用已
7、學(xué)的實(shí)變函數(shù)的知識,來認(rèn)識復(fù)變函數(shù)相應(yīng)的理論。另 一方面,要注意它們的不同之處,了解復(fù)變函數(shù)有關(guān)理論的特點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。在本篇中特別 要重視解析函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容,這是貫串本篇知識的軸線。 冪級數(shù)的每一項(xiàng)都是以冪函數(shù)作為基本函數(shù)的,由于冪函數(shù)不是周期函數(shù),所以將某 一函數(shù)展開成冪級數(shù)后,就很難體現(xiàn)周期性的這個(gè)特征。如果要著重研究某一函數(shù)的周期 性時(shí),需要用到傅立葉級數(shù)展開理論。這部分內(nèi)容雖然是前導(dǎo)課程的范圍,但在本課程的 第二篇中有重要應(yīng)用,學(xué)生必須進(jìn)行很好地復(fù)習(xí)鞏固。大綱-2傅立葉級數(shù)理論,還可以延伸到無窮區(qū)間上定義的函數(shù),形成了傅立葉積分理論。傅 立葉積分理論,是數(shù)學(xué)物理方程的一個(gè)較重要的內(nèi)容,也
8、是本篇的一個(gè)重要組成部分。同 傅里葉級數(shù)理論一樣,它在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中被廣泛地應(yīng)用。 傅立葉展開還有進(jìn)一步的理論,即廣義傅立葉級數(shù)展開理論。這部分的內(nèi)容,將在第 二篇的有關(guān)特殊函數(shù)理論中闡述。 本篇的教學(xué)時(shí)間為 20 課時(shí),另安排 1 課時(shí)作為機(jī)動(可以用來復(fù)習(xí)傅立葉級數(shù)以及 學(xué)習(xí)其他需要的擴(kuò)展內(nèi)容)。復(fù)變函數(shù)( 第一章 復(fù)變函數(shù)(6)基本要求: 基本要求:1熟悉復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算; 2了解復(fù)變函數(shù)的定義,連續(xù)性; 3了解多值函數(shù)的概念; 4掌握復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)方法及柯西?黎曼方程; 5了解解析函數(shù)的概念,熟悉一些簡單的解析函數(shù)的表示式。 6了解從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)的推廣過程中的創(chuàng)新思想
9、與方法。教學(xué)內(nèi)容: 教學(xué)內(nèi)容:§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算。復(fù)平面,復(fù)數(shù)的表示式,共軛復(fù)數(shù),無窮遠(yuǎn)點(diǎn),復(fù)數(shù)的四則運(yùn) 算,復(fù)數(shù)的冪和根式運(yùn)算,復(fù)數(shù)的極限運(yùn)算。 §1.2復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的概念,開、閉區(qū)域,幾種常見的復(fù)變函數(shù),復(fù)變函數(shù)的連 續(xù)性。 §1.3導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,柯西?黎曼方程。 §1.4解析函數(shù)。解析函數(shù)的概念,正交曲線族,調(diào)和函數(shù)。 §1.5平面標(biāo)量場。穩(wěn)定場,標(biāo)量場,復(fù)勢。本章重點(diǎn): 本章重點(diǎn):復(fù)變函數(shù)的運(yùn)算,柯西?黎曼條件,解析函數(shù)習(xí) 題:§1.1(第 5?6 頁):1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5
10、)(7)3(1) (3)(5)(7) §1.2(第 9 頁):2(1)(3)(5)(7)(9),3。 §1.3(第 13 頁):1。 §1.4(第 18 頁):1,2(1)(4)(6)(7)(10),3。大綱-3復(fù)變函數(shù)的積分( 第二章 復(fù)變函數(shù)的積分(3)基本要求: 本要求:1正確理解復(fù)變數(shù)函數(shù)路積分的概念; 2深透理解柯西定理及孤立奇點(diǎn)的定義; 3理解并會熟練運(yùn)用柯西公式。教學(xué)內(nèi)容: 教學(xué)內(nèi)容:§2.1復(fù)數(shù)函數(shù)的積分,路積分及其與實(shí)變函數(shù)曲線積分的聯(lián)系。 §2.2柯西定理??挛鞫ɡ淼膬?nèi)容和應(yīng)用,孤立奇點(diǎn),單通區(qū)域,復(fù)通區(qū)域,回路積分。
11、167;2.3不定積分*。原函數(shù)。 §2.4柯西公式。柯西公式的導(dǎo)出,高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式。(模數(shù)原理及劉維定理不 作要求)本章重點(diǎn): 本章重點(diǎn):柯西定理,柯西公式和孤立奇點(diǎn)。習(xí) 題:§2.4(第 38 頁):1,2。冪級數(shù)展開( 第三章 冪級數(shù)展開(6)基本要求: 基本要求:1理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念; 2了解冪級數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計(jì)算方法; 3會對一些簡單的解析函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開; 4了解解析延拓的含義*; 5會對一些簡單的函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行羅朗級數(shù)展開; 6熟悉孤立奇點(diǎn)的三種類型,了解極點(diǎn)的階;教學(xué)內(nèi)容: 教學(xué)內(nèi)容:§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),復(fù)數(shù)項(xiàng)無
12、窮級數(shù),收斂性,科西判據(jù),絕對收斂,一致收斂。 §3.2冪級數(shù)、冪級數(shù)的概念,比值判別法,根值判別法,收斂圓,收斂半徑,冪級數(shù) 的性質(zhì)。 §3.3泰勒級數(shù)。泰勒級數(shù)的系數(shù)計(jì)算公式。 §3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5羅朗級數(shù)。廣義冪級數(shù),收斂環(huán),羅朗展開。 §3.6奇點(diǎn)分類。羅朗級數(shù)的解吸部分、主要部分,留數(shù),極點(diǎn),極點(diǎn)的階,單極點(diǎn), 本性極點(diǎn),無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn)的情況。(支點(diǎn)不作要求)。大綱-4本章重點(diǎn): 本章重點(diǎn):冪級數(shù),比值判別法,泰勒級數(shù),羅朗級數(shù)、收斂圓,收斂環(huán),函數(shù)按冪級教展開技巧。習(xí) 題§3.2(第 46 頁
13、):1,3(1)(3)(5),4(1)(3)。 §3.3(第 52 頁):(1)(3)(6)(8)。 §3.5(第 60 頁):(1)(3)(5)(7)(9)(11)(14)。 §3.6(第 64 頁):(1)(2)(3)。留數(shù)定理( 第四章 留數(shù)定理(3)基本要求: 基本要求:1掌握留數(shù)定理,了解留數(shù)的計(jì)算方法; 2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。教學(xué)內(nèi)容: 教學(xué)內(nèi)容:§4.1留數(shù)定理。留數(shù)定理概念,計(jì)算留數(shù)的一般方法,判斷極點(diǎn)的階,極點(diǎn)留數(shù)的計(jì) 算方法,例 1?3。 §4.2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。類型一,類型二。本章重點(diǎn): 本
14、章重點(diǎn):留數(shù)定理及其計(jì)算方法。習(xí) 題:§4.1(第 71 頁):1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(2)(3),3。 §4.2(第 81?82 頁)1(1)(2)(5)(6),2(3)(4)(6),3(2)(4)(6) (8)。傅立葉變換(2+1) 第五章 傅立葉變換(2+1)基本要求: 基本要求:1了解非周期函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式和傅立葉變換的概念。 2掌握傅立葉變換的基本性質(zhì)與方法。 3了解提出狄拉克函數(shù)過程中的創(chuàng)造性思想。 4掌握狄拉克函數(shù)的定義、基本性質(zhì)和常用表達(dá)式。教學(xué)內(nèi)容: 教學(xué)內(nèi)容:§5.2非周期函數(shù)的傅里葉積分,傅里葉積分的導(dǎo)出,傅立葉變換
15、式,奇函數(shù)的傅里葉 正弦積分,偶函數(shù)的傅立葉余弦積分。 §5.3狄拉克函數(shù),廣義函數(shù)的提出,狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式和性質(zhì)。大綱-5本章重點(diǎn): 本章重點(diǎn):非周期函數(shù)的傅里葉積分的概念,傅里葉變換的定義。狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式 和性質(zhì)。習(xí) 題:§5.2(第 103?104 頁):1,3,5。 §5.3(第 113 頁):2。數(shù)學(xué)物理方程 30 方程( 第二篇 數(shù)學(xué)物理方程(303)本篇概述數(shù)學(xué)物理方程是本課程的重點(diǎn), 本篇主要是討論與三類典型的二階線性偏微分方程對應(yīng) 的定解問題以及由此而連帶引出的本征值問題和特殊函數(shù)理論。這三類方程在物理學(xué)的許 多領(lǐng)域中具有其廣泛的應(yīng)用,例如在理論力學(xué)中的哈密頓方程,電動力學(xué)中的麥克斯韋方 程,量子力學(xué)中的薛定諤方程等等都與這三類方程有密切的關(guān)系。 數(shù)學(xué)物理方程的意義還在于,對本質(zhì)上不同的物理問題可以具有相同的數(shù)學(xué)模型。通過 同一數(shù)學(xué)模型的研究,反過來就可用類比的方法對不同本質(zhì)的物理問題進(jìn)行探討。所以, 系統(tǒng)地了解這些典型的數(shù)學(xué)物理方程及其求解方法,無疑是研究物理學(xué)的重要手段。 本篇主要是涉及幾種常用的方程所對應(yīng)的定解問題的基本解法, 側(cè)重介紹行波法和分離 變數(shù)法。這兩種方法是求解數(shù)學(xué)物理方程定解問題的最基本
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