物體平衡時(shí)的臨界狀態(tài)和極值問題

1、物體平衡時(shí)的臨界狀態(tài)和極值問題蘇金湖縣三河中學(xué) 華慶富所謂的臨界狀態(tài)是指一種物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象，或者從一個(gè)物理過程轉(zhuǎn)入到另一個(gè)物理過程的轉(zhuǎn)折狀態(tài)。我們也可以將其理解為“恰好出現(xiàn)”或者“恰好不出現(xiàn)”某種現(xiàn)象的狀態(tài)。而平衡物體的臨界狀態(tài)是指物體所處的平衡狀態(tài)將要變化的狀態(tài)。所謂極值問題是指研究平衡問題中某物理量變化情況時(shí)出現(xiàn)的最大值或者最小值。研究物理極值問題和臨界問題的基本觀點(diǎn)有二：1、物理分析：通過對(duì)物理過程分析，抓住臨界或者極值條件進(jìn)行求解；2、數(shù)學(xué)討論：通過對(duì)物理問題的分析，依據(jù)物理規(guī)律列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)方法求極值。這種方法一定要依據(jù)物理理論對(duì)解的合理性以及物理意義

2、進(jìn)行討論或者說明。研究臨界問題的基本方法：一般采用先假設(shè)一種情況的存在，然后再根據(jù)平衡條件以及有關(guān)知識(shí)列方程求解。研究平衡物體的極值問題有兩種方法：1、解析法：根據(jù)物體的平衡條件列方程，在解方程時(shí)采用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值。通常我們會(huì)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有：二次函數(shù)極值、均分定理求極值、討論分式極值、三角函數(shù)極值以及幾何法求極值；2、圖解法：根據(jù)物體的平衡條件作出力的矢量圖，如只受三個(gè)力，則這三個(gè)力 矢量三角形，然后根據(jù)圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值。這種方法比較簡(jiǎn)便，而且很直觀。例1、如圖1所示，物體的質(zhì)量為2kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直的墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個(gè)方向與水

3、平線成=60°的拉力F，若要使繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。（北京市海淀區(qū)試題）解析：這是一個(gè)典型的臨界問題。作出物體A的受力圖如圖2所示，由平衡條件有：Fy=FcosF2F1cos=0 （1）Fx=Fsin+F1sinmg =0 （2）由（1）、（2）可得：F=mg/sin F1 （3）F=F2/2cos +mg/2sin （4）要使兩繩都能繃直，則有F10（5），F(xiàn)20 （6）由（3）、（5）得F有最大值Fmax=mg/sin=40/（）N由（4）、（6）可知F有最小值Fmin=mg/2sin=20/（）N綜合有F的取值范圍為：20/（）NF40/（）N例2、如圖3所示，位于斜

4、面上的物體M在沿斜面向上的力F的作用下，處于靜止?fàn)顟B(tài)，則斜面作用于物體的靜摩擦力（ ）（1）、方向可能沿斜面向上；（2）、方向可能沿斜面向下；（3）、大小可能等于零；（4）、大小可能等于F。A、僅（1）正確； B、僅（1）（3）正確；C、僅（2）（3）正確； D、全部正確。解析：這是一個(gè)臨界狀態(tài)問題。由于物體靜止，其所受合力應(yīng)該為零，如圖4所示，除重力Mg、拉力F、支持力N外，物體是否受到靜摩擦力取決于這三個(gè)力的合力大小和方向，即：因摩擦力必須沿著斜面方向，有無摩擦力取決于Mg沿斜面的分力與F的合力的大小和方向。假設(shè)有靜摩擦力存在，并且其方向向下，以F的方向?yàn)檎较颍瑸樾泵鎯A角，由平衡條件有：

5、FMgsinf=0 ，即：f=FMgsin于是有以下三種可能的臨界狀態(tài)：當(dāng)F>Mgsin時(shí)，f>0，方向沿斜面向下；當(dāng)F=Mgsin時(shí)，f=0，物體不受摩擦力；當(dāng)Mgsin=2F時(shí)，f=F，方向沿斜面向上。例3、重為G的木塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，一人欲用最小的力F使得木塊做勻速運(yùn)動(dòng)，則此最小作用力的大小和方向如何？解析：這是一道極值問題。方法一：解析法。木塊在運(yùn)動(dòng)中受到摩擦力的作用，要減小摩擦力，應(yīng)當(dāng)使作用力F斜向上與水平方向的夾角為時(shí)，F(xiàn)的值最小。木塊受力分析如圖5所示，由平衡條件可知：F cos fN=0，F(xiàn) sin +fNG=0 ，解得：F=G/cos+sin 令tan

6、=，sin=/（） ，cos=1/（） ，cos+sin=（）（coscos+ sin sin）= （）cos（），可見，當(dāng)=arctan時(shí)，F(xiàn)有最小值為Fmin=G/（）方法二：圖解分析。因?yàn)镕f=FN，所以不論FN如何改變，F(xiàn)f與FN的合力F1的方向都不會(huì)發(fā)生改變，如圖6、7所示，合力F1與豎直方向的夾角一定為=arctan（Ff/FN）=arctan，可見，F(xiàn)1、F、G三力平衡，應(yīng)該構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，當(dāng)改變F與水平方向的夾角時(shí)，F(xiàn)1和F的大小都會(huì)發(fā)生改變，而且F1和F方向垂直時(shí)F的值最小。由幾何關(guān)系可得：Fmin=G/sin=G/（） 例4、建筑工地上的黃沙，堆成圓錐形，而不管如何堆，其角度是不變的，若測(cè)出其圓錐底的周長(zhǎng)為12.5m，高為1.5m，如圖8所示，試求：（1）、黃沙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（2）、若將該黃沙靠墻堆放，占場(chǎng)地的面積至少為多少？解析：（1）沙堆表面上的沙粒受到重力、彈力和摩擦力的作用而保持靜止，則mgsin=mgcos ，即=tan=h/R ，又因?yàn)閘=2r 故=2h/l=0.75 =37°（2）因?yàn)辄S沙是靠墻堆放的，只能堆成半圓錐，由于體積不變，不變，要使占場(chǎng)地面積最小，則RX為最小，所以hX=RX ，由圓錐體的體積公式