華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷下08期中

1、2022-2022高等數(shù)學(xué)下冊(cè)期中考試試卷考試時(shí)間：90分鐘 班級(jí)： 成績(jī)單號(hào)： 、填空題5 41、5分求函數(shù)z x2x422y2從而 dx f x, y dy dx f x, y dy dy12-3=x1yy2在點(diǎn)0,0處沿方向1,0的方向?qū)?shù)解由定義彳叫丄匚。12、5分求函數(shù)u x xy xyz在點(diǎn)M 1,0,3的梯度解 gradu m 1 y yz, x xz,xy 1,0,31,4,03、5分求曲面xy yz zx 1在點(diǎn)3, 1,2處的切平面方程和法線方程解令 F x,y,z xy yz zx 1，那么 n y z,x z, y x 3 121, 5,2從而切平面方程為x 3 5 y

2、 12 z 20，即卩 x 5y 2z 2042x, y dy dx f x, y dy2 菽法線方程為x 32 x4、5分交換積分次序 dx1XX解積分區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)小區(qū)域之并D1,D2:x2x4、x y 2作圖得知合并后的區(qū)域也可表示為 D11D2：x, y dx8分設(shè)zx y,x y, xy，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與2z解 dz f1 dx dyf2 dx dyf3 ydx xdy2 yf3 dxxf3 dy從而二f1x2yf3，x yf1f2yf3y11 11213 x211f221 f23 xf3yf31 1f321f33 x11 f22 xyf33x y13 x y238分設(shè)f

3、(s,t)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(s,t) 0 ,方程f (丿匸)x x0確定解:了 z是x,y的函數(shù)，試求啟 y x yf xdy ydxf12xxdz zdx0 ,解出dzyf1 zf2 dxxf1dyxf2從而x y zx y四、8分求拋物面x2 y2與平面x y2z0之間的最短距離解:設(shè)點(diǎn)M x, y, z在拋物面上，那么其到平面的距離為x y 2z 276先求222f x,y, z 6d x y 2z 2 在 xz 0下的最小值點(diǎn):2y 2z 2那么由Lx2 x y 2z2 2xLz4 x y 2z0,Ly 20,Lx2x y 2z 2 2y 0y2 z 0'得最小值點(diǎn)1 1

4、 1-,!,-，從而最短距離為dmin4 4 811122l4 4876V624五、8分設(shè)直線L: X y b 0 在平面x ay z 30上，而平面與曲面z x2 y2相切于點(diǎn)1, 2,5，求a,b之值解：由曲面得切平面法向量 2x,2y, 1 1, 2,52, 4, 1從而有切平面方程為2x 4y z 50由直線l： x y b 0x ay z 3得:y x bx b(a 1)y z b 3,1從而由該直線必平行于平面知s n 2 4 1a 0,a在由該直線上的點(diǎn)要在平面上得3 b 5 0,b2六、8分計(jì)算 x y dxdy，其中DD2 2x,y x 1 y 12,x y令 u x 1,v

5、y 1，得 x u 1, y v 1,dxdyJ dudv dudv54從而 x y dxdyDu v dudvDuv5- 24 d r cos40r sin rdr5_4cossin.2dr2dr0sincos0七、8分計(jì)算二重積分DIdxdy，其中 D : 02,0解:x2 1將區(qū)域劃分為兩個(gè)1,x212,D2D D1Idxdyx21 dxdyx21y dxdyDiD22D1x21 dxdyx2y dxdy12 dx0x2dy2 2dx0dyx2dx12 y2dx0dx2dx0x42x21 dx22x2dx05x_52x332x338815八、8分計(jì)算Iy2 dv，其中為平面曲線2z繞z軸

6、旋轉(zhuǎn)一周0的曲面與平面8所圍的區(qū)域。解:2由交線xz2Z知在xoy面上的投影域?yàn)镈 : x2y216用柱坐標(biāo)計(jì)算I42r08rdr dzr2210243九、8分設(shè)由曲面x2y2與z 2 , x2 y2所圍成的立體中每點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到xOy平面距離成正比，試求該立體的質(zhì)量 M用柱坐標(biāo)計(jì)算Izdv d rdr zdz34十、求曲面z Jx2y2被柱面x2 y2ax a 0所截下的有限曲面片的面積解: zxxx ,x2zj dxdy2dxdy從而該面積=x22dxdyy2 ax.2a28分計(jì)算積分2z dv，其中x2 y2 和 x2y2 z2 2 所圍成的空間閉區(qū)域。解：由2 2z x y2 2 2x y z 2z220,z1，從而在xOy上投影域?yàn)閤2 y21，且關(guān)于坐標(biāo)平面xOz, yOz都對(duì)稱,2因此 x y z dv0 3312空2 t 22,2 t0 322r2 ,2_r2221J2 r22 x2y2 zdvdrdr00r2A12t2 r4 r1 6 rrdr23031 3dt4254t2-t3t 23153r2 z