第六章 誤差理論的基本知識(shí)

1、第六章第六章 誤差理論誤差理論的基本知識(shí)的基本知識(shí)主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容v測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述v偶然誤差的特性偶然誤差的特性v衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)v觀測(cè)值的算術(shù)平均值觀測(cè)值的算術(shù)平均值v基本要求：基本要求： 掌握產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，偶然誤差的特掌握產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，偶然誤差的特性，以及評(píng)定精度的指標(biāo)。性，以及評(píng)定精度的指標(biāo)。v重點(diǎn)：重點(diǎn)：產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，算術(shù)平均值以及衡量產(chǎn)生誤差的原因和測(cè)量誤差分類，算術(shù)平均值以及衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。精度的標(biāo)準(zhǔn)。v難點(diǎn)：難點(diǎn)： 觀測(cè)值的中誤差。觀測(cè)值的中誤差。第一節(jié)第一節(jié) 誤差概述誤差概述什么是誤差什么是誤差誤差（誤

2、差（Error)（真誤差）（真誤差）： 觀測(cè)值觀測(cè)值L與真值與真值X的差值。的差值。 = L X = L X真值真值X X：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。數(shù)值。 1 1、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因： 人人-觀測(cè)者感覺器官的觀測(cè)者感覺器官的鑒別力的局限鑒別力的局限 儀器儀器-測(cè)量?jī)x器與測(cè)量測(cè)量?jī)x器與測(cè)量方法給觀測(cè)結(jié)果帶來誤差方法給觀測(cè)結(jié)果帶來誤差 客觀環(huán)境客觀環(huán)境-客觀環(huán)境給客觀環(huán)境給觀測(cè)結(jié)果帶來的影響觀測(cè)結(jié)果帶來的影響 觀測(cè)條件觀測(cè)條件： 人、儀器、客人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測(cè)觀環(huán)境總稱觀測(cè)條件，它們是引條件，它們是引起觀測(cè)誤差的主起觀測(cè)誤差的

3、主要因素。要因素。等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)非等精度觀測(cè)非等精度觀測(cè)觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)v2. 測(cè)量誤差的分類（表現(xiàn)形式）測(cè)量誤差的分類（表現(xiàn)形式）v1）偶然誤差）偶然誤差(a)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均不一致，而且從表若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均不一致，而且從表而上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為而上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤偶然誤差差單個(gè)偶然誤差無規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計(jì)規(guī)律單個(gè)偶然誤差無規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計(jì)規(guī)律v2）系統(tǒng)誤差（

4、）系統(tǒng)誤差（s）在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均相同，或按一定的若誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大，具有系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大，具有一定的規(guī)律性一定的規(guī)律性可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱v3）粗差（）粗差（g）由于觀測(cè)者疏忽大意，操作不當(dāng)，或受外界干擾等由于觀測(cè)者疏忽大意，操作不當(dāng)，或受外界干擾等原因造成的測(cè)量錯(cuò)誤原因造成的測(cè)量錯(cuò)誤測(cè)量中粗差

5、不允許出現(xiàn)測(cè)量中粗差不允許出現(xiàn)測(cè)量中，可通過一定的檢核條件，判讀是否有粗差測(cè)量中，可通過一定的檢核條件，判讀是否有粗差存在，如有則重新觀測(cè)以消除粗差存在，如有則重新觀測(cè)以消除粗差v3. 學(xué)習(xí)誤差理論的目的學(xué)習(xí)誤差理論的目的了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律正確處理觀測(cè)成果，即根據(jù)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，求出未正確處理觀測(cè)成果，即根據(jù)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度知量的最可靠值，并衡量其精度根據(jù)誤差理論來指導(dǎo)實(shí)踐，使測(cè)量作業(yè)能達(dá)到預(yù)期根據(jù)誤差理論來指導(dǎo)實(shí)踐，使測(cè)量作業(yè)能達(dá)到預(yù)期的精度要求。的精度要求。gsaa第二節(jié)第二節(jié) 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地

6、觀測(cè)了在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了817個(gè)三角形的全個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。部?jī)?nèi)角。 由于觀測(cè)結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀由于觀測(cè)結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。測(cè)值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。 設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測(cè)值為，觀測(cè)值為L(zhǎng)i，則三角形內(nèi)角，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡(jiǎn)稱誤差）為和的真誤差（或簡(jiǎn)稱誤差）為 i =Li -X（i一一1，2，n） i = Li - X ( i = 1,2,n) 12 X= k/n/d i = Li - X ( i = 1,2,n) 14 X= k/n

7、/d 1、偶然誤差的特性、偶然誤差的特性1) 有界性：有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。不會(huì)超過一定的限值。 2) 單峰性：?jiǎn)畏逍裕航^對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。機(jī)會(huì)多。 3)對(duì)稱性：對(duì)稱性： 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)基本絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)基本相等。相等。 4) 補(bǔ)償性：補(bǔ)償性： 偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無限增加而趨于零。無限增加而趨于零。 0limnn當(dāng)當(dāng)n具有足夠大時(shí)，誤差在各個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)具有足夠大時(shí)，誤差

8、在各個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱個(gè)數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為概率密度）為 式中參數(shù)式中參數(shù) 是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差） nn22lim 22221ef對(duì)偶然誤差分布曲線形狀的影響對(duì)偶然誤差分布曲線形狀的影響f()O121221210.6830.683 愈小，曲線頂點(diǎn)愈愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密高，誤差分布比較密集；反之較離散。集；反之較離散。1122 22221ef1) 有界性：有界性：2) 單峰性：?jiǎn)畏逍裕?)對(duì)稱性：對(duì)稱性： 1f ()是偶函數(shù)。所以曲線對(duì)稱于縱軸。這是偶函數(shù)。所以

9、曲線對(duì)稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。就是偶然誤差的第三特性。 2. 愈小，愈小，f（）愈大。）愈大。當(dāng)當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，f（）有最大值：）有最大值：愈大，愈大，f（）愈小。）愈小。當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，f（）0。這就是偶然誤差的第一和第二特性。這就是偶然誤差的第一和第二特性。 22221ef如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：例如： 對(duì)同一量觀測(cè)了對(duì)同一量觀測(cè)了n次次 對(duì)標(biāo)靶射對(duì)標(biāo)靶射n次次 觀測(cè)值為觀測(cè)值為 :l1,l2,l3,.lnv如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？ v成績(jī)多少？成績(jī)多少？ 以上就是研究誤差的兩個(gè)目的以上就是研究誤差的兩個(gè)目的第三節(jié)第三節(jié) 評(píng)定精度

10、的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo) 在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，如果該組誤差值在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測(cè)質(zhì)總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量好些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差量好些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的值也較??；反之成立。的值也較?。环粗闪?。因此，一組觀測(cè)誤差所對(duì)應(yīng)的因此，一組觀測(cè)誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，的大小，反映了該組觀測(cè)結(jié)果的精度。反映了該組觀測(cè)結(jié)果的精度。 所以在評(píng)定觀測(cè)精度時(shí)，可用該組誤差所對(duì)應(yīng)的所以在評(píng)定觀測(cè)精度時(shí)，可用該組誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差差的值。的值。v1. 中誤差中誤差設(shè)對(duì)某真值設(shè)對(duì)某真值 已知的量進(jìn)行了

11、已知的量進(jìn)行了 n 次等精度獨(dú)立觀測(cè)次等精度獨(dú)立觀測(cè)得觀測(cè)值得觀測(cè)值l1，l2，ln各觀測(cè)量的真誤差各觀測(cè)量的真誤差1， 2 ， n 觀測(cè)值精度可表示為：觀測(cè)值精度可表示為：m 稱為觀測(cè)值的稱為觀測(cè)值的中誤差lliinm標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差跟中誤差跟中誤差m的不同，在于觀測(cè)個(gè)數(shù)的不同，在于觀測(cè)個(gè)數(shù)n上上l例例 設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了進(jìn)行了10次觀測(cè)，試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。次觀測(cè)，試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并不等于任何觀測(cè)值的測(cè)值的精度指標(biāo)，并不等于任何

12、觀測(cè)值的真誤差。真誤差。由于是等精度觀測(cè)，每個(gè)觀測(cè)值的精度都由于是等精度觀測(cè)，每個(gè)觀測(cè)值的精度都等于中誤差。等于中誤差。v2. 相對(duì)誤差相對(duì)誤差真誤差和中誤差都是絕對(duì)誤差真誤差和中誤差都是絕對(duì)誤差相對(duì)誤差是專門為距離測(cè)量定義的精度指標(biāo)相對(duì)誤差是專門為距離測(cè)量定義的精度指標(biāo)相對(duì)誤差相對(duì)誤差絕對(duì)誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值絕對(duì)誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比之比通常用分子是通常用分子是1的分式形式來表示的分式形式來表示 工程測(cè)量 第六章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)mDDmK1例如丈量?jī)蓷l直線，一條長(zhǎng)例如丈量?jī)蓷l直線，一條長(zhǎng)100m，另一條長(zhǎng)，另一條長(zhǎng)20m，它們的中誤差都是全它們的中誤差都是全10mm，那么，能不

13、能說兩，那么，能不能說兩者測(cè)量精度相同呢？者測(cè)量精度相同呢？即前者的精度比后者高即前者的精度比后者高。 22112211,20001,100001LmLmLmLm實(shí)踐證明：實(shí)踐證明：大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6。大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3左右。左右。3、極限誤差、極限誤差結(jié)論：結(jié)論：在觀測(cè)次數(shù)不多的情況下，可認(rèn)為大在觀測(cè)次數(shù)不多的情況下，可認(rèn)為大于三倍中誤差的偶然誤差實(shí)際上是不于

14、三倍中誤差的偶然誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的可能出現(xiàn)的v測(cè)量中常取測(cè)量中常取兩倍中誤差兩倍中誤差作為誤差的限值，作為誤差的限值，也就是在測(cè)量中規(guī)定的容許誤差（或稱限也就是在測(cè)量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。差）。|容容|=2mv在有的測(cè)量規(guī)范中也有取在有的測(cè)量規(guī)范中也有取三倍中誤差三倍中誤差作為作為容許誤差的。容許誤差的。 |容容|=3m第四節(jié)第四節(jié) 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤差 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀次，觀測(cè)值為測(cè)值為L(zhǎng)1、L2Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或然值。確定出該未知量的最或然值。

15、設(shè)未知量的真值為設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測(cè)值的真誤差公，寫出觀測(cè)值的真誤差公式為式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX設(shè)以設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值，即，即以以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，X趨近于零，即趨近于零，即也就是說，也就是說，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值x即為真值。即為真值。 nLxX nxx

16、xX0limxn nnLXv1、等精度獨(dú)立觀測(cè)量的最可靠值、等精度獨(dú)立觀測(cè)量的最可靠值在等精度觀測(cè)條件下對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)在等精度觀測(cè)條件下對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)通常取算術(shù)平均值作為最后結(jié)果通常取算術(shù)平均值作為最后結(jié)果 算術(shù)平均值是未知量的最可靠值或最算術(shù)平均值是未知量的最可靠值或最或然值或然值。v2. 白塞爾公式白塞爾公式在實(shí)際工作中常用觀測(cè)值的改正數(shù)求中誤差在實(shí)際工作中常用觀測(cè)值的改正數(shù)求中誤差算術(shù)平均值和觀測(cè)值之差，稱為算術(shù)平均值和觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值的改正數(shù)，通常以通常以 v 表示。表示。兩端取和，得：兩端取和，得：nnllvllvllv 22110ll nv將改正數(shù)和

17、真誤差相加得：將改正數(shù)和真誤差相加得：即：即：將上式相乘，然后取和，得：將上式相乘，然后取和，得：iiiiivllvlLiiiiiivllvlli真誤差nnvvv 2211 vvvn22上式兩端除上式兩端除n，得：，得： 2nvvn nnlllnlll )(2 )22(13121223121222212222nnnnn由于由于1，2，n 都是偶然誤差，故都是偶然誤差，故1 2 ， 1 3 也具有偶然誤差的性質(zhì)。也具有偶然誤差的性質(zhì)。根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性，當(dāng)根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性，當(dāng) n 趨于無窮大時(shí)，其趨于無窮大時(shí)，其總和應(yīng)趨近于零，總和應(yīng)趨近于零，即即 趨近于零趨近于零當(dāng)當(dāng)n為較大的有限值時(shí)，為較大的有限值時(shí)， 的值也遠(yuǎn)小的值也遠(yuǎn)小于于，故可忽略不記。，故可忽略不記。于是上式得：于是上式得：31213121 2nnvvn根據(jù)中誤差的定義得：根據(jù)中誤差的定義得：即：即：這就是利用觀測(cè)值改正數(shù)這就是利用觀測(cè)值改正數(shù) Vi 計(jì)算觀測(cè)中誤差的公計(jì)算觀測(cè)中誤差的公式式白塞爾公式白塞爾公式 nmnvvm2