小學(xué)奧數(shù)教程幾何中的重疊問題 教師版全國通用

1、.7-7-3.幾何中的重疊問題教學(xué)目的1. 理解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用知識要點一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用式子可表示成：其中符號“讀作“并，相當(dāng)于中文“和或者“或的意思；符號“讀作“交，相當(dāng)于中文“且的意思那么稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，

2、表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積1先包含重疊部分計算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重疊部分減去 包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合的并集的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)展：第一步：分別計算集合的元素個數(shù)，然后加起來，即先求意思是把的一切元素都“包含進(jìn)來，加在一起；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去意思是“排除了重復(fù)計算的元素個數(shù)二、三量重疊問題類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元素個數(shù)用符號表示為：圖示如下：圖中小圓表示的元素的個數(shù)，中圓表示的元素的個數(shù)，大圓

3、表示的元素的個數(shù)1先包含：重疊部分、重疊了次，多加了次2再排除：重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行 計算時都被減掉了3再包含：在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖韋恩圖來幫助分析考慮例題精講【例 1】 把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長厘米【答案】87厘米【鞏固】 把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 焊接部分為兩根鐵條

4、的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長：厘米【答案】57厘米【例 2】 兩張長厘米，寬厘米的長方形紙擺放成如下圖形狀把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊見圖中的陰影部分，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，假如利用兩個的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了所以，被覆蓋面積長方形面積之和-重疊部分于是，被覆蓋面積平方厘米【答案】12厘米【鞏固】 如圖，一張長厘米，寬厘米，另一個正方形邊長為厘米，它們中間重疊的部分是一

5、個邊長為厘米的正方形，求這個組合圖形的面積【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 兩個圖形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊見圖中的陰影部分，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，假如利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了所以，組合圖形的面積長方形面積正方形面積重疊部分于是，組合圖形的面積：平方厘米【答案】68平方厘米【鞏固】 一個長方形長厘米，寬厘米，另一個長方形長厘米，寬厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長厘米的正方形，求這個組合圖形的面積【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【

6、解析】 兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊見圖中的陰影部分，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，假如利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了所以，組合圖形的面積長方形面積之和重疊部分于是，組合圖形的面積平方厘米【答案】140平方厘米【例 3】 三個面積均為平方厘米的圓紙片放在桌面上如圖，三個紙片共同重疊的面積是平方厘米三個紙片蓋住桌面的總面積是厘米問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將圖中的三個圓標(biāo)上、根據(jù)包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積圓面積圓面積圓面

7、積與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積三個紙片共同重疊的面積，得：與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積，得到、三個圓兩兩重合面積之和為：平方厘米，而這個面積對應(yīng)于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：陰影部分面積，那么陰影部分面積為：平方厘米【答案】30平方厘米【鞏固】 如圖，甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73求陰影部分的面積【考點】幾何中的重疊問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=3

8、0×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面積部分面積為2那么只是甲與乙，乙與丙，甲與丙的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分、部分之和的面積為73-4-6-3-2=58【答案】58【例 4】 如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米陰影部分的面積總和是40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三次所以三張紙重疊部分的面積平方厘米【答案】20平方

9、厘米【鞏固】 語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對進(jìn)步學(xué)生的程度會大有裨益。如今,不少語文老師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難場面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,假如有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語感,增強(qiáng)語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、

10、寫作技巧和語感就會自然浸透到學(xué)生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和開展。如下圖，、分別是面積為、的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為假設(shè)與、與的公共部分的面積分別為、，、這三張紙片的公共部分為求與公共部分的面積是多少？其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效?！究键c】幾何中的重疊問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)與公共部分的面積為，由包含與排除原理可得： 先“包含：把圖形、的面積相加：，那么每兩個圖形的公共部分的面積都重復(fù)計算了次，因此要排除掉 再“排除：，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有