初中圓知識的總復習

1、 圓知識體系復習圓知識體系復習本章知識結構圖圓的基本性質圓的基本性質圓圓圓的對稱性圓的對稱性弧、弦圓心角之間的關系弧、弦圓心角之間的關系同弧上的圓周角與圓心角的關系同弧上的圓周角與圓心角的關系與圓有關的位置關系與圓有關的位置關系正多邊形和圓正多邊形和圓有關圓的計算有關圓的計算點和圓的位置關系點和圓的位置關系切線切線直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系三角形的外接圓三角形的外接圓三角形內切圓三角形內切圓等分圓等分圓圓和圓的位置關系圓和圓的位置關系弧長弧長扇形的面積扇形的面積圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積和全面積一一.圓的基本概念圓的基本概念:1.圓的定義圓的定義:到定點的距離等于定長的點的到定

2、點的距離等于定長的點的集合叫做圓集合叫做圓.2.有關概念有關概念:(1)弦、直徑弦、直徑(圓中最長的弦圓中最長的弦)(2)弧、優(yōu)弧、劣弧、等弧弧、優(yōu)弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距O二二. 圓的基本性質圓的基本性質1.圓的對稱性圓的對稱性:(1)圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸線都是它的對稱軸.圓有無數(shù)條對稱軸圓有無數(shù)條對稱軸.(2)圓是中心對稱圖形圓是中心對稱圖形,并且繞圓心旋轉并且繞圓心旋轉任何一個角度都能與自身重合任何一個角度都能與自身重合,即圓具即圓具有旋轉不變性有旋轉不變性.2.垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑

3、平分這條弦,并且并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條弧.ADBPCCD是圓是圓O的直的直徑徑,CDABAP=BP,ACBC=ADBD=3.同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間的關系同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間的關系:(1)(1)在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,如果圓心角相等如果圓心角相等, ,那么它那么它所對的弧相等所對的弧相等, ,所對的弦相等所對的弦相等. .(2)(2)在圓中在圓中, ,如果弧相等如果弧相等, ,那么它所對的圓心角那么它所對的圓心角相等相等, ,所對的弦相等所對的弦相等. .(3)(3)在一個圓中在一個圓中, ,如果弦相等如果弦相等, ,那么它所對的弧那么它所對的弧相等相

4、等, ,所對的圓心角相等所對的圓心角相等. .ABDCO COD =AOBABCD=AB=CD例：如圖，例：如圖，P為為 O的弦的弦BA延長線上一點，延長線上一點，PAAB2，PO5，求，求 O的半徑。的半徑。關于弦的問題，常常需關于弦的問題，常常需要要過圓心作弦的垂線段過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的這是一條非常重要的輔輔助線助線。圓心到弦的距離、半徑、圓心到弦的距離、半徑、弦長弦長構成構成直角三角形直角三角形，便將問題轉化為直角三便將問題轉化為直角三角形的問題。角形的問題。MAPBOA 4.圓周角圓周角:定義定義:頂點在圓周上，兩邊和圓相交的頂點在圓周上，兩邊和圓相交的角，叫做圓周角

5、角，叫做圓周角.性質性質:(1)在同一個圓中在同一個圓中,同弧所對的圓周同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半角等于它所對的圓心角的一半.OABCBAC= BOC12OBADEC在同圓或等圓中在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的所有的同弧或等弧所對的所有的圓周角相等圓周角相等.相等的圓周角所對的弧相等相等的圓周角所對的弧相等.圓周角的性質圓周角的性質(2)ADB與與AEB 、ACB 是同弧所對的圓周角是同弧所對的圓周角ADB=AEB =ACB性質性質 3:半圓或直徑所對的圓周角都半圓或直徑所對的圓周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性質性質4: 900的圓周角所對的弦是圓的直徑的圓周

6、角所對的弦是圓的直徑.OABCAB是是 O的直徑的直徑 ACB=900圓周角的性質圓周角的性質:(2)點在圓上點在圓上 (3)點在圓外點在圓外(1)點在圓內點在圓內1.點和圓的位置關系點和圓的位置關系ACB如果規(guī)定點與圓心的距離為如果規(guī)定點與圓心的距離為d,圓的半徑圓的半徑為為r,則則d與與r的大小關系為的大小關系為:點與圓的位置關系 d與r的關系 點在圓內點在圓內點在圓上點在圓上點在圓外點在圓外drdrdr三三.與圓有關的位置關系與圓有關的位置關系:2.直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系:OOOl ll ll l(1) 相離相離:(2) 相切相切:(3) 相交相交:一條直線與一個圓沒有公共

7、點一條直線與一個圓沒有公共點,叫做叫做直線與這個圓相離直線與這個圓相離.一條直線與一個圓只有一個公共點一條直線與一個圓只有一個公共點,叫叫做直線與這個圓相切做直線與這個圓相切.一條直線與一個圓有兩個公共點一條直線與一個圓有兩個公共點,叫叫做直線與這個圓相交做直線與這個圓相交.OOl l(1)當直線與圓相離時當直線與圓相離時dr;(2)當直線與圓相切時當直線與圓相切時d =r;(3)當直線與圓相交時當直線與圓相交時dr.直線與圓位置關系的識別直線與圓位置關系的識別:drl ldrOl ldr設圓的半徑為設圓的半徑為r,圓心到直線的距離為圓心到直線的距離為d,則則:1.與圓有一個公共點的直線。與圓

8、有一個公共點的直線。2.圓心到直線的距離等于圓的半圓心到直線的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。徑的直線是圓的切線。3.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。半徑的直線是圓的切線。OAl lOA是半徑是半徑,OA l l直線直線l l是是 O的切線的切線.切線的性質切線的性質:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.OAl OA l l直線直線l l是是 O的切線的切線,切切點為點為A切線長定理：切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；這點與圓心的連線平分的切線長相等；這點與圓心的連線平分這兩

9、條切線的夾角。這兩條切線的夾角。BAPOPA、PB為為 O的切線的切線PA=PB,APO= BPO不在同一直線上的三點確定一個圓不在同一直線上的三點確定一個圓.OCBA三角形的外接圓與內切圓三角形的外接圓與內切圓:三角形的外心就是三角形各邊垂直平分線的交點三角形的外心就是三角形各邊垂直平分線的交點.OABC三角形的內心就是三角形各角平分線的交點三角形的內心就是三角形各角平分線的交點.等邊三角形的外心與內心重合等邊三角形的外心與內心重合.特別的特別的:內切圓半徑與外接圓半徑的比是內切圓半徑與外接圓半徑的比是1:2.OABCDOCAB經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做

10、三角形的外接圓外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圓的三角形叫做圓的內接三角形內接三角形。問題問題1：如何作三角形的外接圓？：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？問題問題2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形內嗎？在三角形內嗎？OCABC90OCABABC是銳角三角形是銳角三角形OCABABC是鈍角三角形是鈍角三角形EF HG4.如圖，如圖， O為為ABC的內切圓，切點分的內切圓，切點分別為別為D，E，F(xiàn)，P是弧是弧FDE上的一點，若上的一點，若A+ C=110度，則度，則FPE=_度度CoDEABFP5 5如圖，已知

11、如圖，已知ABC的三邊長分別為的三邊長分別為AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是是ABC的內切圓，切點分的內切圓，切點分別是別是E、F、G，則，則AE= ，BF= ，CG= 。7如圖， M與x 軸相交于點A（2，0），B（8，0），與y軸相切于點C，求圓心M的坐標AO y.MCxB圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系:.外離外離外切外切相交相交內切內切內含內含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 兩圓的位置關系數(shù)量關系及識別方法 外離 外切 相交 內切 內含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r典型例題典型例題:1.如圖如圖, O的直徑的直徑AB=12,以以OA為直徑的為

12、直徑的 O1交大圓的弦交大圓的弦AC于于D,過過D點作小圓的點作小圓的切線交切線交OC于點于點E,交交AB于于F.EO1ODCBAF(2)猜想猜想DF與與OC的位的位置關系置關系,并說明理由并說明理由.(1)說明說明D是是AC的中點的中點.(3)若若DF=4,求求OF的長的長.2.如圖如圖,正方形正方形ABCD的邊長為的邊長為2,P是線段是線段BC上的一個動點上的一個動點.以以AB為直徑作圓為直徑作圓O,過點過點P作圓作圓O的切線交的切線交AD于點于點F,切點為切點為E.DCBAFPOE(1)求四邊形求四邊形CDFP的周長的周長.(2)設設BP=x,AF=y,求求y關關于于x的函數(shù)解析式的函數(shù)

13、解析式.Q三三.正多邊形正多邊形:2.半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做這半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑個正多邊形的半徑.中心：一個正多邊形外接圓的圓心中心：一個正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心叫做這個正多邊形的中心3.中心角：正多邊形每一邊所對的外接圓中心角：正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角的圓心角叫做這個正多邊形的中心角4.邊心距：中心到正多邊形一邊的距離邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距叫做這個正多邊形的邊心距OABFDCEG3 正多邊形和圓正多邊形和圓（1）.有關概念有關概念（2）.常用的方法常用的方法（3）.正多

14、邊形的作圖正多邊形的作圖EFCD.邊心距r中心角邊OABCRd12a2221()2adRa1. 1.圓的周長和面積公式圓的周長和面積公式2. 2.弧長的計算公式弧長的計算公式3. 3.扇形的面積公式扇形的面積公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或四四.圓中的有關計算圓中的有關計算:周長周長C=2r面積面積s=r2Or4.圓柱的展開圖圓柱的展開圖:DBCArhS側側 =2r hS全全=2r h+2 r25.圓錐的展開圖圓錐的展開圖:底面底面?zhèn)让鎮(zhèn)让鎍ahrS側側 =r aS全全=r a+ r2例例.如圖，圓錐的底面半徑為如圖，圓錐的底面半徑為2cm，母線長，母線長為為8c

15、m，一只螞蟻從底面圓周上一點，一只螞蟻從底面圓周上一點A出發(fā)，出發(fā)，沿圓錐側面爬行一周回到沿圓錐側面爬行一周回到A點，求螞蟻爬點，求螞蟻爬行的最短路線長是多少？行的最短路線長是多少？BAOAECBAOD常見的基本圖形及結論常見的基本圖形及結論:1.如圖如圖,在以在以O為圓心的為圓心的兩個同心圓中兩個同心圓中,大圓的弦大圓的弦AB交小圓于交小圓于C、D,則則:AC=BD若大圓的弦切小圓于若大圓的弦切小圓于C,則則OACBAC=BC兩圓之間的環(huán)形面積兩圓之間的環(huán)形面積S= AB2412.如圖如圖,以等腰以等腰ABC的腰的腰AB為直徑作為直徑作 O交底邊交底邊BC于點于點D,則則:OCBAD點點D是

16、是BC的中點的中點.OPBADC3.如圖如圖,已知已知PA、PB切圓切圓O于點于點A,B,過弧過弧AB上任一點上任一點E作圓作圓O的切線的切線,交交PA,PB于點于點C,D,則則:(1) PCD的周長的周長=2PA(2) COD= 900- APB21EOABCOABCDFEDFE4.如圖如圖, ABC各邊分別各邊分別切圓切圓O于點于點D、E、F.(1) DEF= 900- A21(3) S ABC= (a+b+c)r21(2) BOC= 900+ A21ABCOEFD5.在在Rt ABC中中, ACB是直角是直角,三邊分三邊分別是別是a、b、c,內切圓半徑是內切圓半徑是r,則則:內切圓半徑內切圓半徑r=a+b-c26.如圖如圖,AB是圓是圓O的