2018全國高考理科數(shù)學(xué)[全國一卷]試題及答案解析

1、2018年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國一卷)理科數(shù)學(xué)一、選擇題：(本題有12小題，每小題5分，共60分。)1、設(shè) z=!一- + 2i,貝卜 z I =() 1 + 1A.0B. C.1D.一2、已知集合 A=x|x 2-x-2>0，則 A=()A x|-1<x<2B、x|-1 <x<2C、x|x<-1 U x|x>2D、x|x <-1 Ux|x >23、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng) 村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面

2、建砌前窗制收)入建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例檢成亞湖村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4、記&為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3&=S+S, ai=2,則a5=()A -12B、-10C、10D 12 5、設(shè)函數(shù)f (x) =x3+ (a-1 ) x2+ax.若f (x)為奇函數(shù)，則曲線y=f (x)在點(diǎn)(0, 0)處的切線方 程為()A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x6、在？ABCt, AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則 =()A. -

3、 - B.- - C." +- D.- +- 7、某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2二一二()B.2C.3D.2 8.設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2, 0)且斜率為-的直線與C交于M N兩點(diǎn)，則A.5B.6C.7D.8P 寓；M Og (x) =f (x) +x+a,若g (x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 Inx, x()A.-1 , 0) B.0 , +8)C.-1 , +oo)d.1 , +oo)10.

4、下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB, AC.ABC勺三邊所圍成的區(qū)域記為I ,黑色部分記為H , 其余部分記為田。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I , H,m的概率分別記為pi, p2, p3,則()A.pi = p2B.pi = p3C.P2=P3D.pi = p2 + p311.已知雙曲線C: -y2=1 , O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M N.若OMM直角三角形，則I MN =()A.-B.3C. . D.4 12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平

5、面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面積的最大值為()A-B.C.一D.4342二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。x 2y - 2 W 013 .若x, y滿足約束條件 V + 1N0則z=3x+2y的最大值為. y<o14 .記S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若S=2&+1,則&二.15 .從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)16 .已知函數(shù)f (x) =2sinx+sin2x ,貝U f (x)的最小值是.三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，

6、每個(gè)試 題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17 . (12 分)在平面四邊形 ABCEfr, /AD©90° , / A=。，AB=2, BD=5.(1)求 cos/ADB(2)若 DC=zJ2,求 BC18 . (12 分)如圖，四邊形ABCM正方形，E, F分別為AD BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把？DFCT起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF± BF(1)證明：平面PEFL平面ABFD(2)求DP與平面ABFDf成角的正弦值.19 . (12 分)設(shè)橢圓C: -+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與(1)當(dāng)l與x軸垂

7、直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/ O =/020、(12 分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P (0P。，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (P),求f (P)的最大值點(diǎn) 內(nèi)。(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了 20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的Po作為P的值，已知 每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工

8、廠要對(duì)每件不合格品支付 25元的賠 償費(fèi)用。(i )若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;(ii )以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 21、(12 分)已知函數(shù).(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)若f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)Xi,X2,證明： 生2地立口-2 .(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì) 分。22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C?勺方程為y=k I x I +2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立 極坐標(biāo)系

9、，曲線C?勺極坐標(biāo)方程為 2+2 cos -3=0.(1)求C?勺直角坐標(biāo)方程：(2)若C* C?t且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C?勺方程.23 .選彳4-5 :不等式選講(10分)已知 f (x) = I x+1 I - I ax-1 I .(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f (x) >1的解集;(2)若xC (0, 1)時(shí)不等式f (x) >x成立，求a的取值范圍.絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1. C2.3.4. B5. D6. A7. B8.9.10. A11. B12. A、填空題13. 614.儂15.16三、解答題17.解:(1 )在

10、 ABD由正弦定理得BDABsin ZA sin ZADB由題設(shè)知，裔=sd病所以S2DB卷.由題設(shè)知，/ADB <900，所以gDB由題設(shè)及(1)知，MBDCS/ADB等在 BCD中，由余弦定理得18.解:所以BC =5 .(1)由已知可得，BF_LPF, BF_LEF,所以BF又BF U平面ABFD ,所以平面 PEF 1平面ABFD .(2)作 PH _LEF ,垂足為 H .由(1)得，PH _L平面 ABFD .以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HFu的方向?yàn)閥軸正方向，|Buu|為單位長，建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系 H xyz由(1)可得，DE _LPE .又 DP=2 , DE =1 ,

11、所以 PE =0.又 PF =1 , EF=2 ,故 PE 廳可得 PH = , EH =3. 2 '2則 H (0,0,0) , P(0,0，,，D(-1,-1,0) , DP =(1,3，苧，HP =(0,0，爭為平面 ABFD 的法向量.uuu urn3_設(shè)DP與平面ABFD所成角為日，則sing與擄DP |=與=匯.| HP|DP |34所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為 ?.19.解：(1)由已知得F(1,0) , l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1成)或(1,J2). 22所以AM勺方程為丫=一/*2或丫=遮*-2. 22(2)當(dāng) l 與 X 軸重合時(shí),NO

12、MA =NOMB =0口.當(dāng)l與X軸垂直時(shí)，OMfe AB的垂直平分線，所以NOMA =/OMB .當(dāng)l與X軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y =k(x1)(k¥0) , A(x,y1), B(x2,y2),則一凡X2亂直線MA MB勺斜率之和為六十七.由 y1 =kx1 -k , V2 =kx2 -k 得2kx1x2 -3k(x1 x2) 4kKma ' Kmb =(x1 -2)(x2 -2)2將 y =k(x 一1)代入+y2 =1 得2一 222_ 2_(2k1)x -4k x 2k -2=0.22所以,4k2 2k2 -2=2, X1X2 =2.2k2 12k2 13

13、334k -4k -12k 8k 4k - 2kx1X2 3k(X1 X2) 4k =2 =0 .2k 1從而kMA +%B =0 ,故MA MB勺傾斜角互補(bǔ).所以/OMA=/OMB . 綜上，.OMA - . OMB .20.解:(1) 20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=c20p2(1-p)18.因此_ -_ 218217_ 217f (p) =C202 p(1 p)-18 p (1 -p) =2C20 P(1 p) (1 -10 p).令 f<p)=0,得 p=0.1.當(dāng) pw(0,0.1)時(shí)， (p)>0；當(dāng) pw(0.1,1)時(shí)，(p)<0.所以 f(p)

14、的最大值點(diǎn)為P0=0.1.(2)由(1)知，P=0.1.(i )令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫|_| B(180,0.1),X =20 m2 +25Y , 即 X =40 +25Y.所以 EX =E(40 25Y) =40 25EY =490.(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX >400 ,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).21.解：2(1) f(x)的定義域?yàn)?0*), ftx)=_1+a=w*1. x x x(i )若 a W 2 ,貝U(x)w 0 , 當(dāng)且僅當(dāng) a = 2 , x=1 時(shí)/(x)=0 ,所以 f (x)在

15、(0,")單 調(diào)遞減.(ii)若 a>2,令 f(x)=0 得，x = 1T工或 x = a+L4. 22當(dāng) x/apUla4人)時(shí)，fx)<0；當(dāng)xTZZaifN)時(shí)，f(x)0.所以 f(x)在(。，4=4),(銬三,6)單調(diào) 遞減，在("G4 al£三)單調(diào)遞增.22(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2滿足x2 -ax +1 =0 ,所以 Xx =1 , 不妨設(shè)則 由于f(X) -fd)1In 為 一”X In x?-21n x? i a 2a 2ax1-x2x1x2x1-x2x1

16、-x21x2x2所以3fl交-2等價(jià)于 一x2 2ln x2 ； 0 .x1 "x2設(shè)函數(shù)g(x) =1 -x+2ln x ,由(1 )知，g(x)在(0,y)單調(diào)遞減，又)1(0 =，從而當(dāng)x(1,y) x時(shí)，g(x) ：0 .所以 1-x2+2Inx2<0,即 f(x1) - f(x2)<a-2.x2x1 ix222.解：(1)由* = 口38, y = Psin8得C2的直角坐標(biāo)方程為2 2(x 1) y =4.(2)由(1)知C2是圓心為A(,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知，G是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為li, y軸左邊的射線為12

17、 .由于B在圓C2的外面，故Ci與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于ii 與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且12與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或12與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且11與C2有 兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)11與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到11所在直線的距離為2,所以2|=2,故 k2 1k=_4或k=。.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=。時(shí)，11與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k=，時(shí)，11與C2只有一個(gè) 33公共點(diǎn)，12與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)12與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到12所在直線的距離為2 ,所以密=2，故k=0 k2 1或k=4 .經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=。時(shí)，11與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)kJ時(shí)，12與C2沒有公共點(diǎn).3 3綜上，所求G的方程為y = -4|x|+2.323.解：2 , x w 一1,(1)當(dāng) a=1 時(shí)，