第二十六章二次函數(shù)

1、第二十六章 二次函數(shù)本章知識要點1探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律2結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的意義，并了解二次函數(shù)的有關(guān)概念3會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能通過圖象和關(guān)系式認識二次函數(shù)的性質(zhì)4會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸5會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程（組）的近似解6會通過對現(xiàn)實情境的分析，確定二次函數(shù)的表達式，并能運用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決簡單的實際問題261 二次函數(shù)本課知識要點通過具體問題引入二次函數(shù)的概念，在解決問題的過程中體會二次函數(shù)的意義MM及創(chuàng)新思維（1）正方形邊長為a（cm），它的面積s（cm2）是多少？（2）矩形的長是4厘米，寬是

2、3厘米，如果將其長與寬都增加x厘米，則面積增加y平方厘米，試寫出y與x的關(guān)系式請觀察上面列出的兩個式子，它們是不是函數(shù)？為什么？如果是函數(shù)，請你結(jié)合學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念的經(jīng)驗，給它下個定義實踐與探索例1 m取哪些值時，函數(shù) 是以x為自變量的二次函數(shù)？分析 若函數(shù) 是二次函數(shù)，須滿足的條件是： 解 若函數(shù) 是二次函數(shù)，則 解得 ，且 因此，當(dāng) ，且 時，函數(shù) 是二次函數(shù)回顧與反思 形如 的函數(shù)只有在 的條件下才是二次函數(shù)探索 若函數(shù) 是以x為自變量的一次函數(shù)，則m取哪些值？例2寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并判斷它們是什么類型的函數(shù)（1）寫出正方體的表面積S（cm2）與正方體棱長a（cm）之間的函數(shù)關(guān)系；（2

3、）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系；（3）某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；（4）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系解 （1）由題意，得 ，其中S是a的二次函數(shù)；（2）由題意，得 ，其中y是x的二次函數(shù)；（3）由題意，得 （x0且是正整數(shù)），其中y是x的一次函數(shù)；（4）由題意，得 ，其中S是x的二次函數(shù)例3正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去一個邊長為x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一個無蓋的盒子(1)求盒子的表面積S（cm2

4、）與小正方形邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積解 （1） ； （2）當(dāng)x=3cm時， （cm2）當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？（1） （2） （3） （4） 2當(dāng)k為何值時，函數(shù) 為二次函數(shù)？3已知正方形的面積為 ，周長為x（cm）(1)請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)判斷y是否為x的二次函數(shù)本課課外作業(yè)A組1已知函數(shù) 是二次函數(shù)，求m的值2已知二次函數(shù) ，當(dāng)x=3時，y= -5，當(dāng)x= -5時，求y的值3已知一個圓柱的高為27，底面半徑為x，求圓柱的體積y與x的函數(shù)關(guān)系式若圓柱的底面半徑x為3，求此時的y4用一根長為40 cm的鐵絲圍成

5、一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關(guān)系式這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請寫出半徑r的取值范圍B組5對于任意實數(shù)m，下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是 （ ）A B C D 6下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù) （ ）模型的是 （ ）A在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系B我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系C豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系（不計空氣阻力）D圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）本課知識要點會用描點法畫出二次函數(shù) 的圖象，概括出圖象的特點及函數(shù)的性質(zhì)MM及創(chuàng)新思維我們已經(jīng)知道

6、，一次函數(shù) ，反比例函數(shù) 的圖象分別是 、 ，那么二次函數(shù) 的圖象是什么呢？（1）描點法畫函數(shù) 的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以什么數(shù)為中心？當(dāng)x取互為相反數(shù)的值時，y的值如何？（2）觀察函數(shù) 的圖象，你能得出什么結(jié)論？實踐與探索例1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們有何共同點？有何不同點？（1） （2） 解 列表x-3-2-10123 188202818 -18-8-20-2-8-18分別描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，這兩個函數(shù)的圖象都是拋物線，如圖2621共同點：都以y軸為對稱軸，頂點都在坐標(biāo)原點不同點： 的圖象開口向上，頂點是拋物線的最低點，在對稱軸的左邊，曲

7、線自左向右下降；在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升 的圖象開口向下，頂點是拋物線的最高點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降回顧與反思 在列表、描點時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因為圖象是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接例2已知 是二次函數(shù)，且當(dāng) 時，y隨x的增大而增大（1）求k的值；（2）求頂點坐標(biāo)和對稱軸解 （1）由題意，得 ， 解得k=2 （2）二次函數(shù)為 ，則頂點坐標(biāo)為（0，0），對稱軸為y軸例3已知正方形周長為Ccm，面積為S cm2（1）求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；（2）根據(jù)圖象，求出S=1 cm2時

8、，正方形的周長；（3）根據(jù)圖象，求出C取何值時，S4 cm2 分析 此題是二次函數(shù)實際應(yīng)用問題，解這類問題時要注意自變量的取值范圍；畫圖象時，自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi)解 （1）由題意，得 列表：C2468 1 4描點、連線，圖象如圖2622（2）根據(jù)圖象得S=1 cm2時，正方形的周長是4cm（3）根據(jù)圖象得，當(dāng)C8cm時，S4 cm2回顧與反思 （1）此圖象原點處為空心點（2）橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C、S，不要習(xí)慣地寫成x、y（3）在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)（1） （2）

9、（3） 2（1）函數(shù) 的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ；（2）函數(shù) 的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 3已知等邊三角形的邊長為2x，請將此三角形的面積S表示成x的函數(shù)，并畫出圖象的草圖本課課外作業(yè)A組1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象（1） （2） 2填空：（1）拋物線 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 （2）當(dāng)m= 時，拋物線 開口向下（3）已知函數(shù) 是二次函數(shù)，它的圖象開口 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大3已知拋物線 中，當(dāng) 時，y隨x的增大而增大（1）求k的值； （2）作出函數(shù)的圖象（草圖）4已知拋物線 經(jīng)過點（1，3），求當(dāng)y=9時，x的值B組5底面是邊長為x的正方形，高為05cm

10、的長方體的體積為ycm3（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象，求出y=8 cm3時底面邊長x的值；（4）根據(jù)圖象，求出x取何值時，y45 cm36二次函數(shù) 與直線 交于點P（1，b）（1）求a、b的值；（2）寫出二次函數(shù)的關(guān)系式，并指出x取何值時，該函數(shù)的y隨x的增大而減小7一個函數(shù)的圖象是以原點為頂點，y軸為對稱軸的拋物線，且過M（-2，2）（1）求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象；（2）寫出拋物線上與點M關(guān)于y軸對稱的點N的坐標(biāo)，并求出MON的面積本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2）本課知識要點會畫出 這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)M

11、M及創(chuàng)新思維同學(xué)們還記得一次函數(shù) 與 的圖象的關(guān)系嗎？ ，你能由此推測二次函數(shù) 與 的圖象之間的關(guān)系嗎？ ，那么 與 的圖象之間又有何關(guān)系？ 實踐與探索例1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) 與 的圖象解 列表x-3-2-10123 188202818 20104241020描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖2623所示回顧與反思 當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時，這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？反映在圖象上，相應(yīng)的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系？探索 觀察這兩個函數(shù)，它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此說出函數(shù) 與 的圖象之間的關(guān)系嗎？例2在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)

12、與 的圖象，并說明，通過怎樣的平移，可以由拋物線 得到拋物線 解 列表x-3-2-10123 -8-3010-3-8 -10-5-2-1-2-5-10描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖2624所示可以看出，拋物線 是由拋物線 向下平移兩個單位得到的回顧與反思 拋物線 和拋物線 分別是由拋物線 向上、向下平移一個單位得到的探索 如果要得到拋物線 ，應(yīng)將拋物線 作怎樣的平移？例3一條拋物線的開口方向、對稱軸與 相同，頂點縱坐標(biāo)是-2，且拋物線經(jīng)過點（1，1），求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式解 由題意可得，所求函數(shù)開口向上，對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)為（0，-2），因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作 ， 又拋物線經(jīng)

13、過點（1，1），所以， ， 解得 故所求函數(shù)關(guān)系式為 回顧與反思 （a、k是常數(shù)，a0）的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)歸納如下： 開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo) 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象： ， ， 觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位置你能說出拋物線 的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎？2拋物線 的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線 向 平移 個單位得到的3函數(shù) ，當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減小當(dāng)x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= 本課課外作業(yè)A組1已知函數(shù) ， ， （1）分別畫出它們的圖象；（2）說出各個圖象的

14、開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)；（3）試說出函數(shù) 的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)2不畫圖象，說出函數(shù) 的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并說明它是由函數(shù) 通過怎樣的平移得到的3若二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點（-2，10），求a的值這個函數(shù)有最大還是最小值？是多少？B組4在同一直角坐標(biāo)系中 與 的圖象的大致位置是( ) 5已知二次函數(shù) ，當(dāng)k為何值時，此二次函數(shù)以y軸為對稱軸？寫出其函數(shù)關(guān)系式本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）本課知識要點會畫出 這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)MM及創(chuàng)新思維我們已經(jīng)了解到，函數(shù) 的圖象，可以由函數(shù) 的圖象上下平移所得，那么函數(shù) 的圖象，是否也可以由

15、函數(shù) 平移而得呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？實踐與探索例1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象 ， ， ，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)解 列表x-3-2-10123 2 0 2 0 2 8 8 2 0 描點、連線，畫出這三個函數(shù)的圖象，如圖2625所示它們的開口方向都向上；對稱軸分別是y軸、直線x= -2和直線x=2；頂點坐標(biāo)分別是（0，0），（-2，0），（2，0）回顧與反思 對于拋物線 ，當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= 探索 拋物線 和拋物線 分別是由拋物線 向左、向右平移兩個單位得到的如果

16、要得到拋物線 ，應(yīng)將拋物線 作怎樣的平移？例2不畫出圖象，你能說明拋物線 與 之間的關(guān)系嗎?解 拋物線 的頂點坐標(biāo)為（0，0）；拋物線 的頂點坐標(biāo)為（-2，0）因此，拋物線 與 形狀相同，開口方向都向下，對稱軸分別是y軸和直線 拋物線 是由 向左平移2個單位而得的回顧與反思 （a、h是常數(shù)，a0）的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)歸納如下： 開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo) 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1畫圖填空：拋物線 的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線 向 平移 個單位得到的2在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象 ， ， ，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)本課課外作業(yè)A組1已知函數(shù) ，

17、 ， （1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象；（2）分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；（3）分別討論各個函數(shù)的性質(zhì)2根據(jù)上題的結(jié)果，試說明：分別通過怎樣的平移，可以由拋物線 得到拋物線 和 ？3函數(shù) ，當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減小當(dāng)x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= 4不畫出圖象，請你說明拋物線 與 之間的關(guān)系B組5將拋物線 向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標(biāo)為 -2，且新拋物線經(jīng)過點（1，3），求 的值本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）本課知識要點1掌握把拋物線 平移至 +k的規(guī)律；2會畫出 +k 這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)MM及創(chuàng)新思維由

18、前面的知識，我們知道，函數(shù) 的圖象，向上平移2個單位，可以得到函數(shù) 的圖象；函數(shù) 的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù) 的圖象，那么函數(shù) 的圖象，如何平移，才能得到函數(shù) 的圖象呢？實踐與探索例1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象 ， ， ，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)解 列表x-3-2-10123 2 0 2 8 2 0 2 6 0 -2 0描點、連線，畫出這三個函數(shù)的圖象，如圖2626所示它們的開口方向都向 ，對稱軸分別為 、 、 ，頂點坐標(biāo)分別為 、 、 請同學(xué)們完成填空，并觀察三個圖象之間的關(guān)系回顧與反思 二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù) +k中k的值；左右平移，

19、只影響h的值，拋物線的形狀不變，所以平移時，可根據(jù)頂點坐標(biāo)的改變，確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑此外，圖象的平移與平移的順序無關(guān)探索 你能說出函數(shù) +k（a、h、k是常數(shù)，a0）的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)嗎？試填寫下表 +k開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo) 例2把拋物線 向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線 ，求b、c的值分析 拋物線 的頂點為（0，0），只要求出拋物線 的頂點，根據(jù)頂點坐標(biāo)的改變，確定平移后的函數(shù)關(guān)系式，從而求出b、c的值解 向上平移2個單位，得到 ，再向左平移4個單位，得到 ，其頂點坐標(biāo)是 ，而拋物線 的頂點為（0，0），則 解得 探索 把拋物線 向上平移

20、2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線 ，也就意味著把拋物線 向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到拋物線 那么，本題還可以用更簡潔的方法來解，請你試一試當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1將拋物線 如何平移可得到拋物線 （ ）A向左平移4個單位，再向上平移1個單位B向左平移4個單位，再向下平移1個單位C向右平移4個單位，再向上平移1個單位D向右平移4個單位，再向下平移1個單位2把拋物線 向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 3拋物線 可由拋物線 向 平移 個單位，再向 平移 個單位而得到本課課外作業(yè)A組1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象 ， ， ，并指出它們的開口方向、對稱

21、軸和頂點坐標(biāo)2將拋物線 先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式 3將拋物線 如何平移，可得到拋物線 ？B組4把拋物線 向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線 ，則有 （ ）Ab =3，c=7 Bb= -9，c= -15 Cb=3，c=3 Db= -9，c=215拋物線 是由拋物線 向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，求b、c的值6將拋物線 向左平移 個單位，再向上平移 個單位，其中h0，k0，求所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（5）本課知識要點1能通過配方把二次函數(shù) 化成 +k的形式，從而確定開口方向、對稱軸和頂點

22、坐標(biāo)；2會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象MM及創(chuàng)新思維我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù) 的圖象，可以由函數(shù) 的圖象先向 平移 個單位，再向 平移 個單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù) 的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 那么，對于任意一個二次函數(shù)，如 ，你能很容易地說出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？實踐與探索例1通過配方，確定拋物線 的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，再描點畫圖解 因此，拋物線開口向下，對稱軸是直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，8）由對稱性列表：x-2-101234 -1006860-10描點、連線，如圖2627所示回顧與反思 （1）列表時選值，應(yīng)以對稱軸x=1為中心，函數(shù)值可由對稱性

23、得到，（2）描點畫圖時，要根據(jù)已知拋物線的特點，一般先找出頂點，并用虛線畫對稱軸，然后再對稱描點，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點探索 對于二次函數(shù) ，你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)嗎？請你完成填空：對稱軸 ，頂點坐標(biāo) 例2已知拋物線 的頂點在坐標(biāo)軸上，求 的值分析 頂點在坐標(biāo)軸上有兩種可能：（1）頂點在x軸上，則頂點的縱坐標(biāo)等于0；（2）頂點在y軸上，則頂點的橫坐標(biāo)等于0解 ，則拋物線的頂點坐標(biāo)是 當(dāng)頂點在x軸上時，有 ，解得 當(dāng)頂點在y軸上時，有 ，解得 或 所以，當(dāng)拋物線 的頂點在坐標(biāo)軸上時， 有三個值，分別是 2，4，8當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1（1）二次函數(shù) 的對稱軸是 （2）二次函數(shù) 的圖象的

24、頂點是 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小（3）拋物線 的頂點橫坐標(biāo)是-2，則 = 2拋物線 的頂點是 ，則 、c的值是多少？本課課外作業(yè)A組1已知拋物線 ，求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖象2利用配方法，把下列函數(shù)寫成 +k的形式，并寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)（1） （2） （3） （4） 3已知 是二次函數(shù)，且當(dāng) 時，y隨x的增大而增大（1）求k的值；（2）求開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸 B組4當(dāng) 時，求拋物線 的頂點所在的象限5. 已知拋物線 的頂點A在直線 上，求拋物線的頂點坐標(biāo)本課學(xué)習(xí)體會262 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6）本課知識要點1會通過配方求出二次函數(shù) 的最大

25、或最小值；2在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中的最大或最小值MM及創(chuàng)新思維在實際生活中，我們常常會碰到一些帶有“最”字的問題，如問題：某商店將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可銷出約100件該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷售量可增加約10件將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？在這個問題中，設(shè)每件商品降價x元，該商品每天的利潤為y元，則可得函數(shù)關(guān)系式為二次函數(shù) 那么，此問題可歸結(jié)為：自變量x為何值時函數(shù)y取得最大值？你能解決嗎? 實踐與探索例1求下列函數(shù)的最大值或

26、最小值（1） ； （2） 分析 由于函數(shù) 和 的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值解 （1）二次函數(shù) 中的二次項系數(shù)20，因此拋物線 有最低點，即函數(shù)有最小值因為 = ，所以當(dāng) 時，函數(shù) 有最小值是 （2）二次函數(shù) 中的二次項系數(shù)-10，因此拋物線 有最高點，即函數(shù)有最大值因為 = ，所以當(dāng) 時，函數(shù) 有最大值是 回顧與反思 最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號，a0有最小值，a0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值探索 試一試，當(dāng)25x35時，求二次函數(shù) 的最大值或最小值例2某產(chǎn)品每件成本是12

27、0元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，要獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元？此時每日銷售利潤是多少？分析 日銷售利潤=日銷售量×每件產(chǎn)品的利潤，因此主要是正確表示出這兩個量解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為 設(shè)每日銷售利潤為s元，則有 因為 ，所以 所以，當(dāng)每件產(chǎn)品的銷售價定為160元時，銷售利潤最大，最大銷售利潤為1600元回顧與反思 解決實際問題時，應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，再研究所得的函數(shù)，得出結(jié)果例3如圖26

28、28，在RtABC中，C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DEAC，DFBC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設(shè)DE=x，DF=y（1）用含y的代數(shù)式表示AE；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（3）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出S的最大值解 （1）由題意可知，四邊形DECF為矩形，因此 （2）由 ，得 ，即 ，所以， ，x的取值范圍是 （3） ，所以，當(dāng)x=2時，S有最大值8當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1對于二次函數(shù) ，當(dāng)x= 時，y有最小值2已知二次函數(shù) 有最小值 1，則a與b之間的大小關(guān)系是 （ ）Aab Ba=b Cab

29、D不能確定3某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？本課課外作業(yè)A組1求下列函數(shù)的最大值或最小值（1） ； （2） 2已知二次函數(shù) 的最小值為1，求m的值，3心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系： y值越大，表示接受能力越強（1）x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生

30、的接受能力逐步降低？（2）第10分時，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分時，學(xué)生的接受能力最強？B組4不論自變量x取什么數(shù)，二次函數(shù) 的函數(shù)值總是正值，求m的取值范圍5如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬AB為x m，面積為S m2（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果要圍成面積為45 m2的花圃，AB的長是多少米？（3）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由6如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，線段EF在對角線AC上，EGAD，F(xiàn)HBC，垂足分別是G、H，且E

31、G+FH=EF（1）求線段EF的長；（2）設(shè)EG=x，AGE與CFH的面積和為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出S的最小值本課學(xué)習(xí)體會26 . 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（7）本課知識要點會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式MM及創(chuàng)新思維一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù)，那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函數(shù)關(guān)系式例如：我們在確定一次函數(shù) 的關(guān)系式時，通常需要兩個獨立的條件：確定反比例函數(shù) 的關(guān)系式時，通常只需要一個條件：如果要確定二次函數(shù) 的關(guān)系式，又需要幾個條件呢？實踐與探索例1某涵洞是拋物線形，它的截面如圖2629所示，現(xiàn)測得水面寬16m，涵

32、洞頂點O到水面的距離為24m，在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？分析 如圖，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立了直角坐標(biāo)系這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是 此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式解 由題意，得點B的坐標(biāo)為（08，-24），又因為點B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入 ，得 所以 因此，函數(shù)關(guān)系式是 例2根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知拋物線的頂點為（1，-3），且與y軸交于點（0，

33、1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-3，0）、（5，0），且與y軸交于點（0，-3）；（4）已知拋物線的頂點為（3，-2），且與x軸兩交點間的距離為4分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 的形式；（2）根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 ，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；（3）根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 ，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；（4）根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(biāo)（3，-2），可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 ，同時可知拋物線的對稱軸為x=3，再由與x軸兩交點間的距離為4，可得拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）和（5，0），任選一個

34、代入 ，即可求出a的值解 （1）設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為 ，由已知，這個函數(shù)的圖象過（0，-1），可以得到c= -1又由于其圖象過點（1，0）、（-1，2）兩點，可以得到 解這個方程組，得a=2，b= -1所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 （2）因為拋物線的頂點為（1，-3），所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為 ，又由于拋物線與y軸交于點（0，1），可以得到 解得 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 （3）因為拋物線與x軸交于點M（-3，0）、（5，0），所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為 又由于拋物線與y軸交于點（0，3），可以得到 解得 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 （4）根據(jù)前面的分析，本題已轉(zhuǎn)化為與（2）相同的題型，請同

35、學(xué)們自己完成回顧與反思 確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：（1）一般式： ，給出三點坐標(biāo)可利用此式來求（2）頂點式： ，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求（3）交點式： ，給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點 、 時可利用此式來求當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知拋物線的頂點為（-1，2），且過點（2，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-1，0）、（2，0），且

36、經(jīng)過點（1，2）2二次函數(shù)圖象的對稱軸是x= -1，與y軸交點的縱坐標(biāo)是 6，且經(jīng)過點（2，10），求此二次函數(shù)的關(guān)系式本課課外作業(yè)A組1已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點A（-1，12）、B（2，-3），（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）用配方法把（1）所得的函數(shù)關(guān)系式化成 的形式，并求出該拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸2已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù) 的圖象有兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8），如果拋物線的對稱軸是x= -1，求該二次函數(shù)的關(guān)系式3某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為44m現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面28m，裝貨寬度為

37、24m請判斷這輛汽車能否順利通過大門4已知二次函數(shù) ，當(dāng)x=3時，函數(shù)取得最大值10，且它的圖象在x軸上截得的弦長為4，試求二次函數(shù)的關(guān)系式B組5已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過（1，0）與（2，5）兩點(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)請你換掉題中的部分已知條件，重新設(shè)計一個求二次函數(shù) 解析式的題目，使所求得的二次函數(shù)與（1）的相同6拋物線 過點（2，4），且其頂點在直線 上，求此二次函數(shù)的關(guān)系式本課學(xué)習(xí)體會26 . 3 實踐與探索（1）本課知識要點會結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析問題、解決問題，在運用中體會二次函數(shù)的實際意義MM及創(chuàng)新思維生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，比如在2004雅

38、典奧運會的賽場上，很多項目，如跳水、鉛球、籃球、足球、排球等都與二次函數(shù)及其圖象息息相關(guān)你知道二次函數(shù)在生活中的其它方面的運用嗎？實踐與探索例1如圖2631，一位運動員推鉛球，鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是 ，問此運動員把鉛球推出多遠？解 如圖，鉛球落在x軸上，則y=0，因此， 解方程，得 （不合題意，舍去）所以，此運動員把鉛球推出了10米探索 此題根據(jù)已知條件求出了運動員把鉛球推出的實際距離，如果創(chuàng)設(shè)另外一個問題情境：一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面 m，鉛球落地點距鉛球剛出手時相應(yīng)的地面上的點10m，鉛球運行中最高點離地面3m，已知鉛球走過的路線是拋物線，求它的函數(shù)

39、關(guān)系式你能解決嗎？試一試例2如圖2632，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度225m（1）若不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為35m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應(yīng)達多少米？（精確到01m）分析 這是一個運用拋物線的有關(guān)知識解決實際問題的應(yīng)用題，首先必須將水流拋物線放在直角坐標(biāo)系中，如圖2633，我們可以求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再利用拋物線的性質(zhì)即可解

40、決問題 解 （1）以O(shè)為原點，OA為y軸建立坐標(biāo)系設(shè)拋物線頂點為B，水流落水與x軸交點為C（如圖2633）由題意得，A（0，125），B（1，225），因此，設(shè)拋物線為 將A（0，125）代入上式，得 ，解得 所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 當(dāng)y=0時，解得 x=-05（不合題意，舍去），x=25，所以C（25，0），即水池的半徑至少要25m（2）由于噴出的拋物線形狀與（1）相同，可設(shè)此拋物線為 由拋物線過點（0，125）和（35，0），可求得h= -16，k=37所以，水流最大高度應(yīng)達37m當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1在排球賽中，一隊員站在邊線發(fā)球，發(fā)球方向與邊線垂直，球開始飛行時距地面19米，當(dāng)球飛行距離為

41、9米時達最大高度55米，已知球場長18米，問這樣發(fā)球是否會直接把球打出邊線？2在一場籃球賽中，隊員甲跳起投籃，當(dāng)球出手時離地高25米，與球圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手水平距離為4米時到達最大高度4米設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，球圈距地面3米，問此球是否投中？本課課外作業(yè)A組1在一場足球賽中，一球員從球門正前方10米處將球踢起射向球門，當(dāng)球飛行的水平距離是6米時，球到達最高點，此時球高3米，已知球門高244米，問能否射中球門？2某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過程下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關(guān)系（

42、即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系）根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：（1）由已知圖象上的三點坐標(biāo)，求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？3如圖，一位運動員在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為25m時，達到最大高度35m，然后準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為305m（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）該運動員身高18m，在這次跳投中，球在頭頂上方025m處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？ B組4某公司草坪的護欄是由50

43、段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護欄需按間距04m加設(shè)不銹鋼管（如圖a）做成的立柱，為了計算所需不銹鋼管立柱的總長度，設(shè)計人員利用圖b所示的坐標(biāo)系進行計算（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）計算所需不銹鋼管立柱的總長度5某跳水運動員在進行10m跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面 m，入水處距池邊的距離為4m，同時運動員在距水面高度5m以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢時，否則就會出現(xiàn)失誤（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋

44、物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為 m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由本課學(xué)習(xí)體會26 . 3 實踐與探索（2）本課知識要點讓學(xué)生進一步體驗把實際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)二次函數(shù)知識的過程MM及創(chuàng)新思維 二次函數(shù)的有關(guān)知識在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用更為廣闊，我們來看這樣一個生活中常見的問題：某廣告公司設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費為每平方米1000元，設(shè)矩形一邊長為x米，面積為S平方米請你設(shè)計一個方案，使獲得的設(shè)計費最多，并求出這個費用你能解決它嗎？類似的問題，我們都可以通過建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決實踐與探索例1某化工材料經(jīng)銷公司購進了一種化工原料共7000千克

45、，購進價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按整天計算）。設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。（1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成 的形式，寫出頂點坐標(biāo)；在直角坐標(biāo)系畫出草圖；觀察圖象，指出單價定為多少元時日均獲利最多，是多少？分析 若銷售單價為x元，則每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均銷售量為60+2（70-x）千克，每千克獲利

46、為（x-30）元，從而可列出函數(shù)關(guān)系式。解 （1）根據(jù)題意，得 (30x70)。（2） 。頂點坐標(biāo)為（65，1950）。二次函數(shù)草圖略。經(jīng)觀察可知，當(dāng)單價定為65元時，日均獲利最多，是1950元。例2。某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x（十萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：X（十萬元）012y11518（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費x（十萬元）的函數(shù)關(guān)系式

47、；（3）如果投入的年廣告費為1030萬元，問廣告費在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？解 （1）設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為 。由表中數(shù)據(jù)，得 。解得 。所以所求二次函數(shù)關(guān)系式為 。（2）根據(jù)題意，得 。（3） 。由于1x3，所以當(dāng)1x2。5時，S隨x的增大而增大。當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)1將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加1個，為了獲得最大利潤，則應(yīng)降價 （ ）A、5元 B、10元 C、15元 D、20元2某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件，為了獲得更好的效益，公司

48、準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x（萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且 ，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是是多少萬元？本課課外作業(yè)A組1.某商場以每件42元的價錢購進一種服裝，根據(jù)試銷得知：這種服裝每天的銷售量t（件），與每件的銷售價x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系：t=-3x+204。（1）寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價的差）；（2）通過對所得函數(shù)關(guān)系式進

49、行配方，指出：商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最為合適；最大銷售利潤為多少？2某旅社有客房120間，當(dāng)每間房的日租金為50元時，每天都客滿，旅社裝修后，要提高租金，經(jīng)市場調(diào)查，如果一間客房日租金增加5元，則客房每天出租數(shù)會減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房日租金提高到多少元時，客房的總收入最大？比裝修前客房日租金總收入增加多少元？3某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500kg；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；(2)設(shè)銷售單價為每千克x