信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2B卷答案

1、院、系領(lǐng)導(dǎo)審批并簽名 B 卷廣州大學(xué) 2013-2014 學(xué)年第 2 學(xué)期考試卷課程 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2 考試形式（閉卷，考試）學(xué)院 系 專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名_ _題次一二三四五六七八九十總分評(píng)卷人分?jǐn)?shù)222058100評(píng)分一、填空題(共22分，每空2分)1若域的階為9, 則其特征為 3 。 2環(huán)的零因子為 2,3,4,6,8,10。3有理數(shù)域的擴(kuò)域()在上的次數(shù)為 4 。4域的自同構(gòu)有 2 個(gè)。5在上的極小多項(xiàng)式為。6的理想=，=，=，=。 7有限域的所有子域共有 4 個(gè)。 84次分圓多項(xiàng)式為。二、判斷題(若正確需證明,否則需給出反例) (共20分，每題5分)1.若一個(gè)環(huán)的某個(gè)子集合有乘法

2、的吸收律,則其為理想。 解：論斷錯(cuò)誤。反例：環(huán)為有理數(shù)域上的階矩陣全體，子集合為不可逆陣全體。2.若兩環(huán)和同態(tài)，則這兩個(gè)環(huán)同時(shí)有或沒(méi)有零因子。解：論斷錯(cuò)誤。反例：整數(shù)環(huán)與同態(tài)，但中無(wú)零因子，而有。 3.特征為0的域必為無(wú)限域。解:正確,否則若為有限域,元素個(gè)數(shù)為,則特征為 4.任何環(huán)必有非平凡的理想。解:錯(cuò)誤,域沒(méi)有非平凡的理想。三、證明和計(jì)算題（共58分） 1.(10分) 證明：域與域不同構(gòu)。 證明：假設(shè)與同構(gòu)，映射為，則應(yīng)有，于是,，從而。設(shè)，則，而另一方面，故，但不屬于，矛盾。 2.(12分) 設(shè)，則關(guān)于矩陣的加法與乘法構(gòu)成環(huán)，是否為交換環(huán)？是否有乘法單位元？是否為整環(huán)？是否為域？證明：構(gòu)成環(huán)，且為交換，有乘法單位元環(huán) ，即為整環(huán)。對(duì)，則是域。3(10分) 設(shè)是有理數(shù)域，證明：。證明：顯然，故。 其次，由于，則，于是可知，因此，故。4(14分)證明環(huán)為歐氏環(huán)。證明 令，,將 限制到上, 稱為到的映射.易見(jiàn)對(duì)任意的, . 如果, , 令,. 取，使得   則, 。令, 則, 且, 而，所以, 為的歐氏映射, 從而為歐幾里德環(huán).5.（12分）構(gòu)造8個(gè)元素的有限域，其有幾個(gè)本原元，取一個(gè)求其乘法的逆。解:取一個(gè)中的一個(gè)3次