基本不等式總復(fù)習(xí)教案_第1頁(yè)
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四節(jié)基本不等式知識(shí)能否憶起一、基本不等式1基本不等式成立的條件:a0,b0.2等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)二、幾個(gè)重要的不等式a2b22ab(a,bR);2(a,b同號(hào))ab2(a,bR);2(a,bR)三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0,b0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 幾何平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù) 平方平均數(shù)四、利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0,y0,則:(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記:積定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy

2、時(shí),xy有最大值是.(簡(jiǎn)記:和定積最大)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)?)A(,22,)B(0,)C2,) D(2,)解析:選Cx0,yx2,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)2已知m0,n0,且mn81,則mn的最小值為()A18 B36C81 D243解析:選Am0,n0,mn218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時(shí),等號(hào)成立3(教材習(xí)題改編)已知0x1,則x的最小值為_(kāi)解析:xx11415.當(dāng)且僅當(dāng)x1,即x3時(shí)等號(hào)成立答案:55已知x0,y0,lg xlg y1,則z的最小值為_(kāi)解析:由已知條件lg xlg y1,可得xy10.則2 2,故min2,當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時(shí)取等號(hào)又xy10,即x2

3、,y5時(shí)等號(hào)成立答案:21.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件,就是“一正各項(xiàng)均為正;二定積或和為定值;三相等等號(hào)能否取得”,若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2對(duì)于公式ab2,ab2,要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系,兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系3運(yùn)用公式解題時(shí),既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2b22ab逆用就是ab;(a,b0)逆用就是ab2(a,b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等利用基本不等式求最值典題導(dǎo)入例1(1)已知x0,則f(x)2x的最大值為_(kāi)(2)(浙江高考)若正數(shù)x,y滿足x3y5xy,則3x4y的最小值是()A.

4、B.C5 D6自主解答(1)x0,x0,f(x)2x2.(x)24,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x2時(shí)等號(hào)成立f(x)2242,f(x)的最大值為2.(2)x0,y0,由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)),3x4y的最小值為5.答案(1)2(2)C本例(2)條件不變,求xy的最小值解:x0,y0,則5xyx3y2,xy,當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取等號(hào)xy的最小值為.由題悟法用基本不等式求函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式,然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí),一種方法是消元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值;另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形,然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為

5、一個(gè)定值,但無(wú)論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件以題試法1(1)當(dāng)x0時(shí),則f(x)的最大值為_(kāi)(2)(天津高考)已知log2alog2b1,則3a9b的最小值為_(kāi)(3)已知x0,y0,xyx2y,若xym2恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析:(1)x0,f(x)1,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x1時(shí)取等號(hào)(2)由log2alog2b1得log2(ab)1,即ab2,3a9b3a32b23(當(dāng)且僅當(dāng)3a32b,即a2b時(shí)取等號(hào))又a2b24(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號(hào)),3a9b23218.即當(dāng)a2b時(shí),3a9b有最小值18.(3)由x0,y0,xyx2y2,得xy8,于是由m2xy恒成立,得

6、m28,即m10.故m的最大值為10.答案:(1)1(2)18(3)10 利用基本不等式解決恒成立問(wèn)題(山東)若對(duì)任意x0,a恒成立,則a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 先求(x0)的最大值,要使得a(x0)恒成立,只要(x0)的最大值小于等于a即可解析 若對(duì)任意x0,a恒成立,只需求得y的最大值即可,因?yàn)閤0,所以y,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào),所以a的取值范圍是答案 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí),可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù)),然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【訓(xùn)練3】 (宿州模擬)已知x0,y0,xyx2y,若xym2恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析 由x0,y0,xyx2y2

7、,得xy8,于是由m2xy恒成立,得m28,m10,故m的最大值為10.答案 10閱卷報(bào)告8忽視基本不等式成立的條件致誤【問(wèn)題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn),其中使用的條件是“一正、二定、三相等”,在使用時(shí)一定要注意這個(gè)條件,而有的考生對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹,使用時(shí)出現(xiàn)多次使用不等式時(shí)等號(hào)成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式,若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等.【示例】已知a0,b0,且ab1,求的最小值錯(cuò)因 兩次基本不等式成立的條件不一致實(shí)錄 a0,b0,且ab1,ab2.又2 ,而ab,4,24,故的最小值為4.正解 a0,b0

8、,且ab1,(ab)1232 32.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),的最小值為32.易錯(cuò)提醒1.解答本題易兩次利用基本不等式,但它們成立的條件不同,這顯然是不能同時(shí)成立的,故不正確.2.使用基本不等式求最值,其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值,這三個(gè)條件缺一不可.3.在運(yùn)用基本不等式時(shí),還要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.【試一試】 (四川)設(shè)ab0,則a2的最小值是( )A1 B2 C3 D4嘗試解答 a2a2ababa(ab)ab2 2 224.當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)且ab,即a2b時(shí),等號(hào)成立答案 D基本不等式的實(shí)際應(yīng)

9、用典題導(dǎo)入例2(江蘇高考)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1千米,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說(shuō)明理由自主解答(1)令y0,得kx(1k2)x20,由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0,k0,故x10,當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0,所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0,使3.2ka(1k2)a2成立

10、關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí),可擊中目標(biāo)由題悟法利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題,如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等,題目往往較長(zhǎng),解題時(shí)需認(rèn)真閱讀,從中提煉出有用信息,建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí),就不能使用基本不等式求解,此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.以題試法2(2012福州質(zhì)檢)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元,年銷售8萬(wàn)件(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2 000件,要

11、使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元?(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革,并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用,投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用,投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問(wèn):當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí),才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)解:(1)設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意,有t258,整理得t265t1 0000,解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元(2)依題意,x25時(shí),不等式ax25850(x2600)x有解,

12、等價(jià)于x25時(shí),ax有解x2 10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí),等號(hào)成立),a10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元1已知f(x)x2(x0),則f(x)有 ()A最大值為0B最小值為0C最大值為4 D最小值為4解析:選Cx0,f(x) 2224,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x1時(shí)取等號(hào)2(太原模擬)設(shè)a、bR,已知命題p:a2b22ab;命題q:2,則p是q成立的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析:選B命題p:(ab)20ab;命題q:(ab)20.顯然,由p可得q成立,

13、但由q不能推出p成立,故p是q的充分不必要條件3函數(shù)y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析:選Ax1,x10.yx122 222.當(dāng)且僅當(dāng)x1,即x1時(shí),取等號(hào)4(陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab),其全程的平均時(shí)速為v,則()Aav BvC.v Dv解析:選A設(shè)甲、乙兩地的距離為s,則從甲地到乙地所需時(shí)間為,從乙地到甲地所需時(shí)間為,又因?yàn)閍b,所以全程的平均速度為va,即av0,b0,且不等式0恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析:選C由0得k,而24(ab時(shí)取等號(hào)),所以4,因此要使k恒成立,應(yīng)有k4,即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.7已知x

14、,y為正實(shí)數(shù),且滿足4x3y12,則xy的最大值為_(kāi)解析:124x3y2,xy3.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)xy取得最大值3.答案:38已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù),且p0)若f(x)在(1,)上的最小值為4,則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)解析:由題意得x10,f(x)x1121,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào),因?yàn)閒(x)在(1,)上的最小值為4,所以214,解得p.答案:9(朝陽(yáng)區(qū)統(tǒng)考)某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)_年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是_萬(wàn)元解析:每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為18,

15、而x0,故1828,當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元答案:5810已知x0,a為大于2x的常數(shù),(1)求函數(shù)yx(a2x)的最大值;(2)求yx的最小值解:(1)x0,a2x,yx(a2x)2x(a2x)2,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào),故函數(shù)的最大值為.(2)y2 .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)故yx的最小值為.11正數(shù)x,y滿足1.(1)求xy的最小值;(2)求x2y的最小值解:(1)由12 得xy36,當(dāng)且僅當(dāng),即y9x18時(shí)取等號(hào),故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196,當(dāng)且僅當(dāng),即9x22y2時(shí)取等號(hào),故x2y的最小值為196.12為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,某地決

16、定分批建設(shè)保障性住房供給社會(huì)首批計(jì)劃用100萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地,該土地可以建造每層1 000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為800元(1)若建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為y萬(wàn)元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和),寫(xiě)出yf(x)的表達(dá)式;(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元?解:(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元,建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為7201 000720 000(元)72 (萬(wàn)元),樓房每升高一層,整層

17、樓建筑費(fèi)用提高201 00020 000(元)2(萬(wàn)元),建筑第x層樓房的建筑費(fèi)用為72(x1)22x70(萬(wàn)元),建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為yf(x)72x2100x271x100,綜上可知yf(x)x271x100(x1,xZ)(2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x),則g(x)10x7102 710910.當(dāng)且僅當(dāng)10x,即x10時(shí)等號(hào)成立綜上可知應(yīng)把樓層建成10層,此時(shí)平均綜合費(fèi)用最低,為每平方米910元1(浙江聯(lián)考)已知正數(shù)x,y滿足x2(xy)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為()A1B2C3 D4解析:選B依題意得x2x(x2y)2(xy),即2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)),即的

18、最大值是2;又,因此有2,即的最小值是2.2設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),滿足x2y3z0,則的最小值是_解析:由已知條件可得y,所以3,當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時(shí),取得最小值3.答案:33某食品廠定期購(gòu)買面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價(jià)格為1 800元,面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購(gòu)買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?(2)某提供面粉的公司規(guī)定:當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210噸時(shí),其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠,問(wèn)該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉,其購(gòu)買量為6x噸,由題意可知,面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)6(x2)619x(x1),設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元,則y11 80069x10 8092 10 80910 989,當(dāng)且僅當(dāng)9x,即x10時(shí)取等號(hào)即該廠應(yīng)每隔10天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(2)因?yàn)椴簧儆?10噸,每天用面粉6噸,所以至少每隔35天購(gòu)買一次面粉設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后,每隔x(x

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