基本不等式總復(fù)習(xí)教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四節(jié)基本不等式知識(shí)能否憶起一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)二、幾個(gè)重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同號(hào))ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 幾何平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù) 平方平均數(shù)四、利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy

2、時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)?)A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)解析：選Cx0，yx2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為()A18 B36C81 D243解析：選Am0，n0，mn218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時(shí)，等號(hào)成立3(教材習(xí)題改編)已知0x1，則x的最小值為_(kāi)解析：xx11415.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時(shí)等號(hào)成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_(kāi)解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時(shí)取等號(hào)又xy10，即x2

3、，y5時(shí)等號(hào)成立答案：21.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2對(duì)于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系3運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等利用基本不等式求最值典題導(dǎo)入例1(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(kāi)(2)(浙江高考)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.

4、B.C5 D6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)等號(hào)成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，3x4y的最小值為5.答案(1)2(2)C本例(2)條件不變，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取等號(hào)xy的最小值為.由題悟法用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為

5、一個(gè)定值，但無(wú)論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件以題試法1(1)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)的最大值為_(kāi)(2)(天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_(kāi)(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào)(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(當(dāng)且僅當(dāng)3a32b，即a2b時(shí)取等號(hào))又a2b24(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號(hào))，3a9b23218.即當(dāng)a2b時(shí)，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得

6、m28，即m10.故m的最大值為10.答案：(1)1(2)18(3)10 利用基本不等式解決恒成立問(wèn)題(山東)若對(duì)任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析 若對(duì)任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因?yàn)閤0，所以y，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以a的取值范圍是答案 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【訓(xùn)練3】 (宿州模擬)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析 由x0，y0，xyx2y2

7、，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為10.答案 10閱卷報(bào)告8忽視基本不等式成立的條件致誤【問(wèn)題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時(shí)一定要注意這個(gè)條件，而有的考生對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時(shí)出現(xiàn)多次使用不等式時(shí)等號(hào)成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求的最小值錯(cuò)因 兩次基本不等式成立的條件不一致實(shí)錄 a0，b0，且ab1，ab2.又2 ，而ab，4，24，故的最小值為4.正解 a0，b0

8、，且ab1，(ab)1232 32.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最小值為32.易錯(cuò)提醒1.解答本題易兩次利用基本不等式，但它們成立的條件不同，這顯然是不能同時(shí)成立的，故不正確.2.使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可.3.在運(yùn)用基本不等式時(shí)，還要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.【試一試】 (四川)設(shè)ab0，則a2的最小值是( )A1 B2 C3 D4嘗試解答 a2a2ababa(ab)ab2 2 224.當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)且ab，即a2b時(shí)，等號(hào)成立答案 D基本不等式的實(shí)際應(yīng)

9、用典題導(dǎo)入例2(江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立

10、關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo)由題悟法利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.以題試法2(2012福州質(zhì)檢)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要

11、使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元(2)依題意，x25時(shí)，不等式ax25850(x2600)x有解，

12、等價(jià)于x25時(shí)，ax有解x2 10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)，等號(hào)成立)，a10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元1已知f(x)x2(x0)，則f(x)有 ()A最大值為0B最小值為0C最大值為4 D最小值為4解析：選Cx0，f(x) 2224，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào)2(太原模擬)設(shè)a、bR，已知命題p：a2b22ab；命題q：2，則p是q成立的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B命題p：(ab)20ab；命題q：(ab)20.顯然，由p可得q成立，

13、但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件3函數(shù)y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：選Ax1，x10.yx122 222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，取等號(hào)4(陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aav BvC.v Dv解析：選A設(shè)甲、乙兩地的距離為s，則從甲地到乙地所需時(shí)間為，從乙地到甲地所需時(shí)間為，又因?yàn)閍b，所以全程的平均速度為va，即av0，b0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：選C由0得k，而24(ab時(shí)取等號(hào))，所以4，因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.7已知x

14、，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_(kāi)解析：124x3y2，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)xy取得最大值3.答案：38已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù)，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)解析：由題意得x10，f(x)x1121，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閒(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.答案：9(朝陽(yáng)區(qū)統(tǒng)考)某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)_年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是_萬(wàn)元解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為18，

15、而x0，故1828，當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元答案：5810已知x0，a為大于2x的常數(shù)，(1)求函數(shù)yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為.(2)y2 .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)故yx的最小值為.11正數(shù)x，y滿足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當(dāng)且僅當(dāng)，即y9x18時(shí)取等號(hào)，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當(dāng)且僅當(dāng)，即9x22y2時(shí)取等號(hào)，故x2y的最小值為196.12為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地決

16、定分批建設(shè)保障性住房供給社會(huì)首批計(jì)劃用100萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元已知建筑第5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為800元(1)若建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為y萬(wàn)元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和)，寫(xiě)出yf(x)的表達(dá)式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？解：(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元，建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為7201 000720 000(元)72 (萬(wàn)元)，樓房每升高一層，整層

17、樓建筑費(fèi)用提高201 00020 000(元)2(萬(wàn)元)，建筑第x層樓房的建筑費(fèi)用為72(x1)22x70(萬(wàn)元)，建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為yf(x)72x2100x271x100，綜上可知yf(x)x271x100(x1，xZ)(2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x)，則g(x)10x7102 710910.當(dāng)且僅當(dāng)10x，即x10時(shí)等號(hào)成立綜上可知應(yīng)把樓層建成10層，此時(shí)平均綜合費(fèi)用最低，為每平方米910元1(浙江聯(lián)考)已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A1B2C3 D4解析：選B依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，即的

18、最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.2設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時(shí)，取得最小值3.答案：33某食品廠定期購(gòu)買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠，問(wèn)該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉，其購(gòu)買量為6x噸，由題意可知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)6(x2)619x(x1)，設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y11 80069x10 8092 10 80910 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時(shí)取等號(hào)即該廠應(yīng)每隔10天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(2)因?yàn)椴簧儆?10噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購(gòu)買一次面粉設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x