研究生數(shù)理方程期末試題-10-11-1-A-答案

1、北京交通大學(xué)碩士研究生2010-2011學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)物理方程期末試題（A卷）（參考答案）學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六七總分分值10151520151510100得分閱卷人1、 （10分）試證明：圓錐形樞軸的縱振動(dòng)方程為：其中是圓錐體的楊氏模量，是質(zhì)量密度，是圓錐的高（如下圖所示）：【提示：已知振動(dòng)過(guò)程中，在處受力大小為，為處截面面積。】【證明】在圓錐體中任取一小段，截面園的半徑分別是和，如圖所示。于是，我們有上式化簡(jiǎn)后可寫(xiě)成從而有或成其中，證明完畢。2、 （20分）考慮橫截面為矩形的散熱片，它的一邊處于較高溫度，其它三邊，和則處于冷卻介質(zhì)中，因而保持較低的溫度。試求該截面上的穩(wěn)

2、定溫度分布，即求解以下定解問(wèn)題：【提示：可以令，然后再用分離變量方法求解?！俊窘狻苛睿瑒t原定解問(wèn)題變?yōu)榉蛛x變量：代入方程得到關(guān)于和的常微分方程以及關(guān)于的定解條件：可以判定，特征值特征函數(shù)利用特征值可以求得于是求得特征解形式解為由邊界條件，有得到解得最后得到原定解問(wèn)題的解是3、 （20分）試用行波法求解下列二維半無(wú)界問(wèn)題【解】方程兩端對(duì)求積分，得也即對(duì)求積分，得也即由初始條件得也即再取，于是又有從而得于是將這里的和代入的表達(dá)式中，即得4、 （20分）用積分變換法及性質(zhì)，求解無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題：【提示：可利用逆Fourier積分變換公式：】【解】對(duì)變?cè)鱂ourier變換，令則有方程的通解是由初

3、始條件得可得方程的解從而查表可得從而注意到最后得到原問(wèn)題的解即這就是dAlembert公式。5、 （20分）對(duì)于平面上的調(diào)和函數(shù)1）試證明Dirichlet邊值問(wèn)題解的唯一性，即：方程只有零解； 2）用Green函數(shù)法，試求解邊值界為的上半平面調(diào)和函數(shù)的Poisson表達(dá)式。6、 （20分）半徑為的球形區(qū)域內(nèi)部沒(méi)有電荷，球面上的電位為，為常數(shù)，求球形區(qū)域內(nèi)部的電位分布。即求解以下定解問(wèn)題（球坐標(biāo)形式）：【解答】由于球面上邊界條件中不含有變量，故只考慮軸對(duì)稱(chēng)解，可以用分離變量法求解該問(wèn)題。為此令代入方程，得改寫(xiě)成令，可將上面兩個(gè)方程改寫(xiě)成上面第二個(gè)方程是一個(gè)勒讓德方程，其通解為。而第一個(gè)方程是一個(gè)歐拉方程，它的通解是再根據(jù)的有界性，應(yīng)有，從而于是，原問(wèn)題的解是邊界條件為或?qū)懗杉从懈鶕?jù)已有的結(jié)果或從而于是有比較兩端的系數(shù)，可知從而7、 （10分）用Ritz-Galerkin方法求下列問(wèn)題的近似解： 其中區(qū)域，為常數(shù)?！咎崾荆喝〗平鉃椤俊窘狻咳』瘮?shù)組，