高考數(shù)學專題26平面向量（知識梳理）（理）（解析版）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題26 平面向量（知識梳理）一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量。 (沒有位置、不能比較大小)(1)數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小。(2)向量的表示方法：具有方向的線段，叫做有向線段，以為始點，為終點的有向線段記作 ，的長度記作。用有向線段表示向量，讀作向量； (有向線段的三要素：起點、方向、長度)用小寫字母表示：、。 (印刷時，用黑體小寫字母，手寫時，小寫字母要帶箭頭)(3)向量與有向線段的區(qū)別和聯(lián)系：向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相

2、同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段；向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段。向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點和終點的線段。2、向量的模：向量的大小長度稱為向量的模，記作。 (能比較大小)3、零向量：長度等于零、方向是任意的向量，記作。 (注意與的含義與書寫區(qū)別)4、單位向量：長度為一個單位長度的向量。與非零向量共線的單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。5、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，則，又叫共線向量；(2)規(guī)定與任一向量平行。說明：綜合(1)(2)才是平行

3、向量的完整定義；三點、共線、共線；向量平行無傳遞性，即，不能推出(可能為)。注意：共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。6、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關(guān))。說明：平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系。7、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，則向量、是相等向量。(1)相等向量：模相等，方向相同；(2)相反向量：模相等，方向相反。說明：任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。二

4、、向量的加法1、三角形法則原理已知向量、，在平面上任取一點，作，再作向量，則向量叫做與的和(或和向量)，記作，即。圖示注意：(1)和向量的始點是第一個向量的始點，終點是第二個向量的終點(2)零向量與任一向量的和都有。2、平行四邊形法則原理已知兩個不共線向量、，作，則、三點不共線，以、為鄰邊作平行四邊形，則對角線上的向量，這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則。圖示3、多邊形法則原理已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量，這個法則叫做向量求和的多邊形法則。圖示4、向量加法的運算律運算律交換律結(jié)合律三、向量的減法1、相反向量：

5、與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)；(3)；(4)若與互為相反向量，則，。注意：相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量。2、向量的減法：已知向量與(如圖)，作，則，向量叫做向量與的差，并記作，即，由定義可知：(1)如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點的向量；(2)一個向量等于它的終點相對于點的位置向量減去它的始點相對于點的位置向量，或簡記為“終點向量減始點向量”；(3)從一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量。注意：在用三角形法

6、則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可。四、數(shù)乘向量1、數(shù)乘向量的定義：實數(shù)和向量的乘積是一個向量，記作。(1)長度：，(2)方向：()的方向：當時，與同方向；當時，與反方向。特別地，當或時，或，中的實數(shù)叫做向量的系數(shù)。(3)幾何意義：就是把向量沿著的方向或的反方向放大或縮小。(4)運算律：設(shè)、，則，；。注意：實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如、均無法運算；的結(jié)果為向量，所以當時，得到的結(jié)果為而不是。2、向量的線性運算：向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算，通常叫做向量的線性運算。3、兩個非零向量、的夾角：已知非零向量與，記、，則 ()叫做與的夾角。說明

7、：當時，與同向；當時，與反向；當時，與垂直，記；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，夾角范圍為。4、平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有()。規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為。說明：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積的區(qū)別：(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定。(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成，書寫時注意符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替。(3)，。(4)在實數(shù)中，若，且，則，但是在向量中，若，且，不能推出，其中。(5)已知實數(shù)、()，則，但是向量不能推出，如右圖：，但。(6)在實數(shù)中

8、有，但是在向量中，顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線。5、向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影。 投影也是一個數(shù)量，不是向量。當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為；當時投影為；當時投影為。6、向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積。7、向量的運算：運算向量形式坐標形式：、加法求兩個向量和的運算平行四邊形法則：起點相同，對角線為向量和，記：。三角形加法法則：首尾相連，記：。減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形減法法則：起點相同的兩個向量的差，箭頭從后指向前，記：終點相同的兩個向量的差，箭頭從

9、前指向后，記： 運算律：交換律：；結(jié)合律：；+。數(shù)乘實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作，是一個向量，。方向：時，與同向；時，與反向；時，。運算律：；，；，。數(shù)量積五、向量的坐標運算1、平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、平面向量的坐標表示：(1)在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底。對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標。在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示。(2)向量坐標的求法：若向量的起點是坐標原點

10、，則終點坐標即為向量的坐標；設(shè)、，則，。(3)若是坐標原點，設(shè)，則向量的坐標就是終點的坐標，即若，則點坐標為，反之亦成立。注意向量坐標與點的坐標的區(qū)別：要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向的信息也有大小的信息。3、線段的定比分點及：設(shè)、是直線上的兩點，是上不同于、的任一點，則一定存在實數(shù)，使，叫做點分所成的比。有三種情況： (內(nèi)分) (外分)() (外分) ()(1)定比分點坐標公式：若點，為實數(shù)，且，則點坐標為，我們稱為點分所成的比。(2)點的位置與的范圍的關(guān)系：當時，與同向共線，這時稱點為的內(nèi)分點；當()時，與反向共線，這時稱點為的外

11、分點。(3)若分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，則；特別地為的中點。4、向量的重要定理、公式、結(jié)論：(1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用。(2)三角形不等式：。證明：非零向量、不共線時，的方向與、的方向都不同且；非零向量、共線時，設(shè)，與同向時，的方向與、相同且，的方向與相同且，與異向時，的方向與相同且，的方向與相同且；、至少有一個時。(3)重要結(jié)論：若，則。(4)向量的模：；非零向量與的夾角：。(5)非零向量、共線或垂直的坐標表示：向量共線：；向量垂直：。特別地。(6)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個非零向量，是與同向的單位向量。；當與同向時，；當與反向時，。

12、特別的或；。(7)向量共線定理和向量基本定理向量共線定理(兩個向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得。變形形式：已知直線上三點、，為直線外任一點，有且只有一個實數(shù)，使得：。特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時的注意點：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個。證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合。平面向量基本定理(平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量，

13、有且只有一對實數(shù)、，使。特別提醒：不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底、線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的。(8)線段定比分點坐標公式的向量形式：若直線上三點、，且滿足()，在直線外任取一點，設(shè)，可得。重要結(jié)論：若直線上三點、，為直線外任一點，則。證明：，則，則。(9)在中：重心中線的交點：重心將中線長度分成；垂心高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；內(nèi)心角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等。若、，重心坐標為。若為重心，則，。證法1：設(shè)，、， ，為重心。證法2：如圖，則，、三點共線，且分為，是的重心。為垂心；證明：如圖是的垂心，垂直、垂直，、是垂足，同理，為垂心。向量()所在直線過內(nèi)心(是角平分線所在直線)；為內(nèi)心；證明：、分別為、方向上的單位向量，、平分，令，化簡得，。為外心；為內(nèi)一點，則。重要結(jié)論：，。結(jié)論1：對于內(nèi)的任意一點， 若、的面積分別為、，則：。即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積。 結(jié)論2：對于