全自動(dòng)四邊形有限元網(wǎng)格生成_I_區(qū)域分解法_圖文

1、第14卷第4期2007年8月塑性工程學(xué)報(bào)J OU RNAL OF PL ASTICIT Y EN GIN EERIN GVol 114No 14Aug 12007全自動(dòng)四邊形有限元網(wǎng)格生成-I :區(qū)域分解法3(山東大學(xué)模具工程技術(shù)研究中心,濟(jì)南250061馬新武1趙國(guó)群3(山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,濟(jì)南250101王芳2摘要:提出了一種適用于金屬體積成形有限元分析的全自動(dòng)四邊形網(wǎng)格生成算法區(qū)域分解法,對(duì)該算法的一些關(guān)鍵技術(shù),如幾何形狀的表示、關(guān)鍵點(diǎn)的確定、網(wǎng)格密度的生成、節(jié)點(diǎn)的生成、邊界單元的生成、剖分準(zhǔn)則、模式匹配、光滑處理以及半帶寬的優(yōu)化等進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。以該算法為基礎(chǔ),成功開(kāi)發(fā)了全自動(dòng)

2、四邊形網(wǎng)格生成軟件AU TOM ESH 。并給出了一些網(wǎng)格劃分的實(shí)例,驗(yàn)證該算法的可靠性。關(guān)鍵詞:區(qū)域分解法;網(wǎng)格生成;四邊形網(wǎng)格;密度控制中圖分類號(hào):TB115文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):100722012(200704201052053山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Q2004F01;國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50375087。馬新武E 2mail :maxinwu sdu 1edu 1cn作者簡(jiǎn)介:馬新武,男,1975年生,副教授,主要從事材料成形過(guò)程數(shù)值模擬、優(yōu)化設(shè)計(jì)及軟件開(kāi)發(fā)研究收稿日期:2006203216;修訂日期:2007204221前言盡管塑性有限元理論和技術(shù)已有很大的發(fā)展,但由于

3、塑性成形自身的特點(diǎn),使得有限元法在實(shí)際應(yīng)用中仍存在許多具體問(wèn)題和數(shù)學(xué)處理上的困難。塑性成形的特點(diǎn)是變形量大,模具表面和變形材料之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)也非常大。因此,利用有限元法模擬塑性成形過(guò)程時(shí),有限元網(wǎng)格很容易發(fā)生單元畸變或與模具干涉,導(dǎo)致有限元分析過(guò)程中斷。必須定義新的網(wǎng)格系統(tǒng),才能重新開(kāi)始有限元分析過(guò)程。實(shí)際上,沒(méi)有網(wǎng)格重劃分,也就不可能模擬塑性成形過(guò)程。有限元網(wǎng)格自動(dòng)劃分及重劃分技術(shù)已是影響有限元模擬系統(tǒng)通用化的“瓶頸”之一。目前影響國(guó)內(nèi)體積成形有限元軟件推廣的主要原因之一,就是缺少可靠、高效、適合體積成形特點(diǎn)的網(wǎng)格自動(dòng)生成算法和程序。生成四邊形網(wǎng)格的方法很多,其中最有代表性和使用最多的當(dāng)屬幾

4、何分解法。在幾何分解法中Loop 15和Paving 6方法是生成單元質(zhì)量較好的兩種方法,但這兩種方法的缺點(diǎn)是很難控制網(wǎng)格密度,而體積成形的特點(diǎn)是要求網(wǎng)格密度易于控制:在工件與模具接觸的部位要求網(wǎng)格密度大些,單元細(xì)小,以使工件邊界和模具貼合;而在幾何形狀較平直的部位網(wǎng)格密度可以小些,且網(wǎng)格疏密應(yīng)過(guò)渡均勻。本文在開(kāi)發(fā)體積成形有限元軟件CASFORM 7的過(guò)程中,針對(duì)體積成形的特點(diǎn),提出了一種密度控制和幾何分解相結(jié)合的四邊形網(wǎng)格自動(dòng)生成方法,稱為區(qū)域分解法;并以此為基礎(chǔ),成功地開(kāi)發(fā)出了四邊形網(wǎng)格自動(dòng)生成程序AU TOM ESH 8。本文中主要介紹區(qū)域分解法及其關(guān)鍵技術(shù),下一篇中介紹網(wǎng)格密度控制和生

5、成方法。1區(qū)域分解法在區(qū)域分解法中,首先根據(jù)物體的幾何邊界曲率大小、網(wǎng)格密度過(guò)渡大小要求以及要?jiǎng)澐謫卧臄?shù)目,在整個(gè)物體上生成過(guò)渡均勻的網(wǎng)格。然后根據(jù)密度分布,在物體上生成四邊形網(wǎng)格。網(wǎng)格的生成過(guò)程可以用圖1所示的簡(jiǎn)單例子加以說(shuō)明。首先圖1網(wǎng)格生成過(guò)程示意圖Fig 11Schematical illustration of the meshgeneration process根據(jù)密度分布,在物體的邊界上生成邊界節(jié)點(diǎn),通過(guò)連接兩個(gè)邊界節(jié)點(diǎn),把這個(gè)區(qū)域剖分成兩個(gè)子區(qū)域。再根據(jù)密度分布在剖分線上增加新的節(jié)點(diǎn)。以遞歸的方式對(duì)每個(gè)子區(qū)域進(jìn)行剖分,直到所有的子 區(qū)域不可再分為止,即每個(gè)子區(qū)域包含6個(gè)或4個(gè)

6、節(jié)點(diǎn)。在剖分完成后,每一個(gè)6節(jié)點(diǎn)子區(qū)域映射到3種基本模式之一上,生成最后的單元。需要注意的是,為了生成四邊形網(wǎng)格,邊界節(jié)點(diǎn)總數(shù)必須是偶數(shù)。因此,不僅在生成初始的邊界節(jié)點(diǎn)時(shí),而且在剖分線上生成節(jié)點(diǎn)時(shí)都要滿足這個(gè)要求。這樣區(qū)域和子區(qū)域都可以用邊界節(jié)點(diǎn)環(huán)來(lái)表示。區(qū)域分解法用到的主要關(guān)鍵技術(shù)包括:幾何形狀的表示、關(guān)鍵點(diǎn)的確定、網(wǎng)格密度的生成、節(jié)點(diǎn)的生成、邊界單元的生成、剖分準(zhǔn)則、模式匹配、光滑處理以及半帶寬的優(yōu)化等。2關(guān)鍵技術(shù)211幾何形狀的表示考慮到大多數(shù)模具和工件形狀都可以由直線和圓弧來(lái)表示,因此,對(duì)于物體的幾何形狀,本文采用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)處的過(guò)渡圓角半徑來(lái)表示,并且規(guī)定兩條直線段交點(diǎn)的過(guò)渡圓角半

7、徑為0,這樣既可以用于初始的幾何形狀輸入,也可用于再劃分時(shí)的工件邊界形狀的表示。對(duì)于圓弧部分還需要根據(jù)精度要求用直線段來(lái)擬合,因此幾何形狀最終是由首尾相連的直線段組成的多邊形來(lái)表示。對(duì)于復(fù)雜形狀曲線,例如B 樣條曲線,可以在精度許可的前提下,用直線段來(lái)逼近。212關(guān)鍵點(diǎn)的確定表示物體形狀的多邊形中能體現(xiàn)物體形狀特征的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),例如尖角處節(jié)點(diǎn),稱為關(guān)鍵點(diǎn)。確定關(guān)鍵點(diǎn)后,物體形狀就可以用含有最少節(jié)點(diǎn)的特征多邊形來(lái)表示。本文采用一種叫做多邊形逼近的算法9來(lái)確定特征多邊形的關(guān)鍵點(diǎn)。213網(wǎng)格密度的生成有限元自適應(yīng)技術(shù)要求網(wǎng)格劃分程序能夠根據(jù)物體的幾何形狀和場(chǎng)變量的分布,合理布置網(wǎng)格密度。從直觀上看,網(wǎng)

8、格密度大的地方,網(wǎng)格單元尺寸較小;網(wǎng)格密度小的地方,網(wǎng)格單元尺寸較大。從數(shù)學(xué)上可以定義網(wǎng)格密度為網(wǎng)格單元長(zhǎng)度的倒數(shù)。本文采用Laplace 方程來(lái)表示物體上的網(wǎng)格密度分布函數(shù)。網(wǎng)格密度的生成過(guò)程是:首先在物體上劃分均勻的柵格,根據(jù)網(wǎng)格密度的要求,在物體邊界上和內(nèi)部指定網(wǎng)格密度,采用有限元求解技術(shù),在整個(gè)物體上生成過(guò)渡均勻的網(wǎng)格密度。這樣物體上任一點(diǎn)的密度都可通過(guò)柵格節(jié)點(diǎn)上的密度插值得到。關(guān)于網(wǎng)格密度生成和控制的詳細(xì)討論,請(qǐng)見(jiàn)本文的下篇網(wǎng)格密度控制。214節(jié)點(diǎn)的生成生成網(wǎng)格密度之后,就可以根據(jù)網(wǎng)格密度分布在物體邊界上生成節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)的生成過(guò)程是在物體特征多邊形每條邊上,即兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之間生成節(jié)點(diǎn),然

9、后按生成的順序依次給節(jié)點(diǎn)編號(hào)。在兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之間生成節(jié)點(diǎn)需要兩個(gè)步驟。第一步需要計(jì)算生成節(jié)點(diǎn)的數(shù)目,第二步根據(jù)網(wǎng)格密度分布決定各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置。要計(jì)算生成節(jié)點(diǎn)的數(shù)目,需要沿著邊界在兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之間對(duì)網(wǎng)格密度積分,即Lu (s d s =R N -1(1式中R 積分結(jié)果N 包括兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)在內(nèi)生成的節(jié)點(diǎn)數(shù)L 兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)間的連線u (s 邊界上的網(wǎng)格密度d s 沿邊界的微分在實(shí)際數(shù)值計(jì)算時(shí),式(1可以按下面的方法進(jìn)行計(jì)算:將積分連線L 分成若干等長(zhǎng)的小線段,將每一小線段的中點(diǎn)處密度值作為該段的平均密度值,用每一小段的平均密度值乘以該段的長(zhǎng)度,然后對(duì)這些乘積求和,就可以得到近似的積分結(jié)果R 。積分結(jié)果R 為

10、一實(shí)數(shù),需要四舍五入到最接近的整數(shù)N -1。另外,上述已提及到邊界節(jié)點(diǎn)總數(shù)必須是偶數(shù)個(gè),所以為了滿足這個(gè)要求,必要時(shí)還需要對(duì)N 值進(jìn)行調(diào)整。正是由于存在舍入誤差,所以最后生成的網(wǎng)格單元數(shù)目和設(shè)定值之間存在一定的偏差。確定了要生成節(jié)點(diǎn)的數(shù)目N 后,下一步就要確定這些節(jié)點(diǎn)的位置。除了第1個(gè)和第N 個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置固定之外,其余的節(jié)點(diǎn)位置都是未知的?？梢詫⒐?jié)點(diǎn)的位置(相對(duì)起點(diǎn)的長(zhǎng)度作為一維變量,則該變量應(yīng)滿足控制方程u (s d s =A d=C (2式中u (s 沿邊界的密度函數(shù)d s 實(shí)際空間上的微分d 計(jì)算空間上的微分(在計(jì)算空間上,節(jié)點(diǎn)是均勻分布的A 比例常數(shù)C 常數(shù)式(2可寫(xiě)成兩階微分形式為d

11、 du (s d sd =0(3601塑性工程學(xué)報(bào)第14卷對(duì)于式(3所示的微分方程,可以采用有限元迭代技術(shù)求得節(jié)點(diǎn)位置的數(shù)值解。將計(jì)算空間平均分成N -1個(gè)單元,共N 個(gè)節(jié)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)單元分析,可得到單元?jiǎng)偠确匠虨閡S i +S i+ 121- 1-11S i S i+1=00(4式中S i 第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置S i +1第i +1個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置對(duì)所有單元的剛度方程進(jìn)行組裝可得到整體剛度方程,將第1個(gè)節(jié)點(diǎn)位置S 1=0,第N 個(gè)節(jié)點(diǎn)位置S N =L (兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的長(zhǎng)度作為邊界條件,其余節(jié)點(diǎn)的初始位置假定是均勻分布的,對(duì)整體剛度方程進(jìn)行迭代求解,當(dāng)求解過(guò)程收斂時(shí)就可得到各節(jié)點(diǎn)的位置。圖2a 為一網(wǎng)格密

12、度分布函數(shù) ,利用上述方法計(jì)算得到生成的節(jié)點(diǎn)數(shù)目N =37,各節(jié)點(diǎn)的位置如圖2b 所示。圖2根據(jù)網(wǎng)格密度布置及節(jié)點(diǎn)位置a 網(wǎng)格密度分布;b 節(jié)點(diǎn)的位置Fig 12Nodes located based on mesh density215邊界單元的生成由于塑性成形的特點(diǎn),用有限元法模擬工件成形時(shí),邊界單元最容易發(fā)生變形,網(wǎng)格發(fā)生畸變,導(dǎo)致網(wǎng)格重劃分。如果在網(wǎng)格劃分時(shí)工件邊界單元網(wǎng)格質(zhì)量較高,則明顯地提高整個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)的抗畸變能力,減少模擬過(guò)程中的網(wǎng)格重劃分次數(shù),提高模擬精度。在網(wǎng)格生成方法中,Paving 方法將要?jiǎng)澐值膮^(qū)域由邊界逐層向內(nèi)部推進(jìn)生成網(wǎng)格單元,邊界網(wǎng)格單元形狀規(guī)整,質(zhì)量較高。本文借

13、鑒Paving 方法的思路,在生成所有的邊界節(jié)點(diǎn)之后,通過(guò)節(jié)點(diǎn)偏移的方法,在邊界生成一層網(wǎng)格單元。這樣由偏移的節(jié)點(diǎn)組成的節(jié)點(diǎn)環(huán)在物體的內(nèi)部又形成一個(gè)新的區(qū)域。下一步的任務(wù)就是要將這個(gè)區(qū)域剖分成兩個(gè)子區(qū)域。216剖分準(zhǔn)則從區(qū)域邊界節(jié)點(diǎn)環(huán)中選擇兩個(gè)節(jié)點(diǎn),通過(guò)連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)形成一條剖分線就可以將區(qū)域一分為二。如何選擇剖分線不僅影響到最后生成的網(wǎng)格質(zhì)量,也影響到網(wǎng)格生成的效率。目前大部分文獻(xiàn)都是以剖分角度、剖分線的長(zhǎng)度,以及剖分后兩子區(qū)域的面積比作為選擇剖分線的準(zhǔn)則。如圖3所示,連接節(jié)點(diǎn)i ,j 生成一條剖分線i j ,將區(qū)域分成兩個(gè)子區(qū)域,同時(shí)在節(jié)點(diǎn)i ,j 處形成4個(gè)剖分角ij 1,ij 2和ji

14、 1,ji 2。原則上4個(gè)剖分角越接近直角,剖分線的長(zhǎng)度越短,兩子區(qū)域面積比越接近1,那么這樣的剖分線就是最佳的剖分線。通常的做法是將上述3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行量化,采用加權(quán)平均的方法得到一個(gè)量化值,對(duì)所有可能的剖分線比較其量化值,選擇量化值最小的剖分線作為最佳的剖分線。實(shí)踐中,上述方法存在如下的缺點(diǎn):13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量化權(quán)值的最優(yōu)值很難確定,文獻(xiàn)中給出的權(quán)值各不相同,所給出的經(jīng)驗(yàn)值,并不一定適用所有的情況;2計(jì)算時(shí)間長(zhǎng),對(duì)于有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)環(huán),可能的剖分線條數(shù)為n (n -3/2,由于對(duì)每條可能的剖分線都要計(jì)算剖分角、剖分線長(zhǎng)度以及子區(qū)域的面積,使得計(jì)算時(shí)間特別長(zhǎng),影響了網(wǎng)格劃分的效率。本文提出一種確定最

15、佳剖分線的新方法,在滿足網(wǎng)格劃分質(zhì)量的前提下,顯著地提高網(wǎng)格劃分的效率。該方法確定最佳剖分線的步驟是:1如果節(jié)點(diǎn)i 處的角度i <60°,該節(jié)點(diǎn)就不能與其他的節(jié)點(diǎn)連接生成剖分線;2如果連接節(jié)點(diǎn)i ,j 形成的4個(gè)剖分角ij 1,ij 2,ji 1,ji 2中有一個(gè)小于30°,節(jié)點(diǎn)i ,j 之間就不能生成剖分線;3如果連接節(jié)點(diǎn)i ,j 的線段與邊界相交,則節(jié)點(diǎn)i ,j 之間就不能生成剖分線;4除了前面幾種情況外,連接節(jié)點(diǎn)i ,j 就可以確定一條剖分線。節(jié)點(diǎn)i ,j 配對(duì)后就不再與其他節(jié)點(diǎn)配對(duì)確定剖分線。計(jì)算剖分線i j 的長(zhǎng)度和剖分后兩子區(qū)域的面積比(1;5繼續(xù)尋找其他

16、可能的剖分線,并計(jì)算各剖分線的長(zhǎng)度和剖分后兩子區(qū)域的面積比;6對(duì)所有可能的剖分線按長(zhǎng)度和子區(qū)域的面積比從小到大排序,選擇子區(qū)域面積比大于013,且長(zhǎng)度最短的剖分線作為最佳的剖分線;7按照上述步驟無(wú)法確定剖分線時(shí),將邊界節(jié)點(diǎn)環(huán)壓入棧中,用后面介紹的模式匹配方法進(jìn)行處理。701第4期馬新武等:全自動(dòng)四邊形有限元網(wǎng)格生成-I :區(qū)域分解法 確定最佳剖分線后,就可以按照網(wǎng)格密度要求在剖分線上生成新節(jié)點(diǎn),于是原區(qū)域一分為二,形成兩個(gè)新的節(jié)點(diǎn)環(huán)。對(duì)于每個(gè)子區(qū)域,按照上述方法進(jìn)行處理,直到所有子區(qū)域不可再分為止 。圖3剖分線Fig 13Splitting line217模式匹配當(dāng)物體的幾何形狀分解完成之后,

17、生成的六節(jié)點(diǎn)區(qū)域可以映射到3種基本模式之一,生成最后的四邊形單元,對(duì)于那些多于六節(jié)點(diǎn)而又不滿足剖分準(zhǔn)則的區(qū)域,可以通過(guò)遞歸的方式將該區(qū)域分解成為3種基本模式。圖4為六節(jié)點(diǎn)區(qū)域的3種基本模式,對(duì)于模式1連接相對(duì)邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),將區(qū)域分解成兩個(gè)四邊形單元;對(duì)于模式2和3,分別在區(qū)域內(nèi)部增加1個(gè)和2個(gè)新節(jié)點(diǎn),將區(qū)域分解成3個(gè)和4個(gè)四邊形單元。圖5為多于六節(jié)點(diǎn)的區(qū)域分解成基本模式的示意圖 。圖43種基本模式Fig 14The three basic patterns圖5模式匹配過(guò)程示意圖Fig 15Schematic illustration of patternmatching procedure2

18、18光滑處理和半帶寬優(yōu)化由于直線剖分和模式匹配等原因,區(qū)域分解法生成的最后單元形狀可能較差。為了改進(jìn)單元形狀,本文用到了Laplace 光滑算法對(duì)最后生成的網(wǎng)格進(jìn)行光滑處理。同樣,用該方法生成的網(wǎng)格進(jìn)行有限元分析時(shí),其剛度矩陣的帶寬分布較差。為獲得計(jì)算效率高的網(wǎng)格,必須減少網(wǎng)格的帶寬,對(duì)節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行優(yōu)化。3網(wǎng)格劃分實(shí)例基于區(qū)域分解法開(kāi)發(fā)了全自動(dòng)四邊形網(wǎng)格生成軟件AU TOM ESH 。應(yīng)用AU TOM ESH 軟件,進(jìn)行了大量的實(shí)例劃分,并結(jié)合體積成形仿真軟件CASFORM 進(jìn)行了大量的模擬分析,表明了該方法的可靠性。圖6為模擬一復(fù)雜擠壓過(guò)程時(shí)采用區(qū)域分解法對(duì)工件進(jìn)行網(wǎng)格再劃分的實(shí)例 。圖6網(wǎng)

19、格劃分實(shí)例Fig 16Examples of mesh generation4網(wǎng)格劃分質(zhì)量和效率反映平面四邊形網(wǎng)格質(zhì)量的指標(biāo)通常有兩個(gè):801塑性工程學(xué)報(bào)第14卷一是網(wǎng)格單元相鄰邊的長(zhǎng)度比,一是網(wǎng)格單元各內(nèi)角的角度。對(duì)于均勻劃分的網(wǎng)格,單元鄰邊長(zhǎng)度比越接近1,單元各內(nèi)角越接近90°,網(wǎng)格質(zhì)量就越高;對(duì)于密度變化的網(wǎng)格,要求網(wǎng)格尺寸大小從密度大的區(qū)域到密度小的區(qū)域應(yīng)過(guò)渡均勻?？紤]到要?jiǎng)澐志W(wǎng)格的區(qū)域形狀復(fù)雜程度不一樣,通常要求網(wǎng)格單元的內(nèi)角在30°150°之間。從大量的劃分實(shí)例結(jié)果來(lái)看,采用區(qū)域分解法生成的網(wǎng)格單元的內(nèi)角通常都在30°150°之間,

20、尤其是邊界單元,其質(zhì)量更高。由于采用了密度控制技術(shù),該方法生成的網(wǎng)格大小疏密過(guò)渡均勻。區(qū)域分解法生成網(wǎng)格的效率非常高,通常只需要輸入幾何形狀和要求劃分的網(wǎng)格數(shù)目及最大單元和最小單元的面積比兩個(gè)參數(shù),即可自動(dòng)生成過(guò)渡均勻的網(wǎng)格密度;并且根據(jù)網(wǎng)格密度自動(dòng)生成網(wǎng)格,整個(gè)過(guò)程不需要人工的干預(yù),這對(duì)于通常需要多次網(wǎng)格重劃的體積成形有限元模擬來(lái)說(shuō)特別重要。區(qū)域分解法生成網(wǎng)格的速度也非常快,在Pentium III 微機(jī)上生成1000個(gè)單元僅需1s 3s 的時(shí)間。5結(jié)論本文提出了一種用于金屬體積成形有限元分析的四邊形網(wǎng)格生成算法區(qū)域分解法,該算法具有算法可靠、劃分速度快、劃分質(zhì)量高、網(wǎng)格密度和單元數(shù)目易于控

21、制、輸入?yún)?shù)少、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。區(qū)域分解法不僅可用來(lái)生成用于有限元分析的初始網(wǎng)格,也可用于有限元分析過(guò)程中網(wǎng)格畸變后的再劃分,因此特別適合于金屬體積成形有限元網(wǎng)格劃分。同時(shí)適用于其他結(jié)構(gòu)有限元分析的網(wǎng)格生成。參考文獻(xiàn)1J A Talbert ,A R Parkinson.Development of an Auto 22W T Wu ,S I Oh et al.Automated Mesh G eneration forForming Simulation I C .ASM E International Com 2puters in Engineering Conference Procee

22、dings ,Boston ,Massachusetts ,1990.1,5073郭曉霞.特別適用于金屬成形模擬的四邊形網(wǎng)格劃分方法J .塑性工程學(xué)報(bào),2003.(6:50544郭曉霞.四邊形有限元網(wǎng)格劃分方法二分法的改進(jìn)J .塑性工程學(xué)報(bào),2005.12(5:961005J Sarrate ,A Huerta.Efficient Unstructured Quadrilat 26T D Blacker ,M B Stephenson.Paving :A New Ap 27馬新武,趙國(guó)群.體積成形有限元模擬軟件CASFORM的開(kāi)發(fā)研究J .鍛壓技術(shù),2003.(1:9138趙國(guó)群,馬新武.全自

23、動(dòng)自適應(yīng)四邊形有限元網(wǎng)格生成/再生成方法與軟件AU TOM ESH 22D/PCJ .金屬成形工藝,2003.(2:42449T Pavlidis.Algorithms for Graphics and Image Pro 2cessingM .Computer Science Press ,1982The autom atic generation of qu adrilateral mesh 2I :the method of dom ain divisionMA Xin 2wu 1ZHAO Guo 2qun 3(Die &Mold Engineering Research Center ,Shandong University ,Jinan ,Shandong 250061China WAN G Fang 2(College of Mechanical and Electronic Engineering ,Shandong Jianzhu University ,Jinan ,Shandong 250101China Abstract :A me