含絕對值的不等式

1、含絕對值的不等式     學(xué)習(xí)要求    （1）理解并掌握解含絕對值的不等式的基本思路是化去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式（或不等式組）來解。      （2）弄懂去絕對值符號的理論依據(jù)，掌握去絕對值符號的主要方法，會解簡單的含有絕對值的不等式。重點難點1實數(shù)絕對值的定義:|a|=這是去掉絕對值符號的依據(jù)，是解含絕對值符號的不等式的基礎(chǔ)。2最簡單的含絕對值符號的不等式的解。若a>0時，則 |x|<a -a<x<a；|x|>a x<-a或x&

2、gt;a。注:這里利用實數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動點P(x)到原點的距離。3常用的同解變形|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；|f(x)|<|g(x)| f2(x)<g2(x)。4三角形不等式: |a|-|b|a±b|a|+|b|。例題選講:第一階梯    例1：實數(shù)絕對值的涵義是什么？     探路：實數(shù)絕對值的定義是分類給出的。 &

3、#160;   解：正數(shù)的絕對值就是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。     即：        評注：絕對值的概念是分類定義的，因此，在解決這類問題時，必須要分類討論。例2：型如：|x|<a，|x|>a，（其中a>0）不等式的解法。        探路：利用不等式的乘方法則或絕對值意義均可。    解：當a>0時， |x|<ax2<

4、a2 a<x<a；其幾何意義為        |x|>a x2>a2 x>a或x<a；其幾何意義為    評注：    解：型如|x|<a，（a>0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化為關(guān)于x的二次不等式來解；也可以利用定義法來解，均可求得它們的解集。今后，要熟記|x|<a（a>0）的解集為a<x<a；|x|>a，（a>0）的解集為x>a或x<

5、a是十分重要的。     例3：由定理“|a|b|a+b|a|+|b|”導(dǎo)出定理：“|a|b|ab|a|+|b|”     探路：利用“代換法”     證明：由定理一可知，|a|b|a+(b)|a|+|b|，即|a|b|ab|a|+|b|    評注：關(guān)于和、差、積、商的絕對值與絕對值的和、差、積、商，有下面性質(zhì)。     （1）|a·b|=|a|·|b|；（2） ，（b0）；

6、0;    （3）|a|b|a+b|a|+|b|；（4）|a|b|ab|a|+|b|    例4：不等式| |<1的解集是（ ）     （A）x|5<x<16；（B）x|6<x<18     （C）x|7<x<20；（D）x|8<x<22探路：    根據(jù)不等式的性質(zhì)|f(x)|<a a<f(x)<a，（a>0）求解。  

7、60; 解：    <1 1< 3<1 2< <4 4<x2<16 6<x<18，    即x|6<x<18，故應(yīng)選擇（B）    評注：本題考查含絕對值不等式的解法。     例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4     探路：    含多個絕對值符號的不等式，利用零點、分區(qū)間、討論法。  

8、0; 解：由3x+2=0，得x= ；由x-2=0，得x=2，     原式或 或    或 或    x<1或0<x2或x>2     x<1或x>0故原不等式的解集為x|<1或x>0評注：    解含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，一般采用零點、分區(qū)間、討論法；即先求出使每個含絕對值符號的解析式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標注出來，它們把序軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)解析式

9、在每一個區(qū)間上的符號，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解。     分類討論思想、 解關(guān)于x的不等式，若對x討論，所求不等式的解集是各種情況所得解集的并集。 第二階梯    例1：解下列不等式    （1）| -2|3；（2）|x2-3x|>4    探路：當a>0時，有|f(x)| a af(x)a；|f(x)|>af(x)>a或f(x)<a    解：    （1

10、）原不等式323 1 5，0，    05 03x-225 23x27x9    原不等式的解集為x|x9；（2）原不等式 x2-3x>4或x2-3x <-4 x2-3x-4>0或x2-3x+4<0    解x2-3x-4>0，得x<-1或x>4；解x2-3x+4<0，得x        原不等式的解集是x|x<-1或x>4。    評注：

11、0;   依據(jù)a>0，xR時，有|x|<a a<x<a；|x|>a x>a或x<a     可知，去掉絕對值符號的主要方法，為 |f(x)|<aa<f(x)<a，（a>0）；|f(x)|>af(x)>a或f(x)<a，（a>0）    例2.解下列不等式     （i）|x29|x+3；     探路：根據(jù)實數(shù)絕對值的意義，即|a|=去掉絕對值符號

12、，再行解之。    解：原不等式（I）或（II）    不等式組（I）x=3或3x4；    不等式組（II）2x3；    原不等式的解集是x|x=3或2x4。     探路（2）：根據(jù)不等式的性質(zhì)|f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x)去掉絕對值符號，再行解之。    解：原不等式 (x+3)x29x+3     x=3或2x4。    原不等式的

13、解集為x|x=3或2x4。     評注：    解含絕對值符號不等式的基本方法是去掉絕對值符號，然后再解；去絕對值符號的常用手段有三種，即根據(jù)實數(shù)絕對值的意義，去絕對值符號；根據(jù)不等式性質(zhì)：去絕對值符號，在這里不必考慮g(x)的符號問題；也可以根據(jù)|a|2=a2，（aR），將不等式兩邊平方，此時要注意不等式兩邊平方的條件。 （ii） >2x；    探路：    |f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<g(x)（請同學(xué)們直接使用，證明略

14、）    解：原不等式>2x或 <2x；    由>2x，得x<或x>；    由<2x，得<x<；    原不等式的解集為x|x< 或x>     評注：熟練應(yīng)用“|f(x)|>g(x)Ûf(x)>g(x)或f(x)<g(x)”解不等式是介紹此法的目的，只求會用，不必證明。    例3：解下列各不等式  &#

15、160;  (i)    探路：    利用，將原不等式化為關(guān)于|x|的含絕對值二次不等式，先求出|x|的取值范圍，再求x的取值范圍。     解：x2=|x|2        原不等式的解集為    評注：對上面介紹的五種去掉絕對值符號的方法，不要盲目套用，要分析題目的結(jié)果特征，選擇解題的最佳途徑是我們要培養(yǎng)的基礎(chǔ)功。    (ii)  

16、0; 探路：不等式兩邊均為非負數(shù)，可以利用“平方法”     解：不等式兩邊都是非負數(shù)，不等式兩邊分別平方，得 ，整理得    又此不等式兩邊都是非負數(shù)，兩邊分別平方，得    整理，得    原不等式的解集為 ；     評注：在利用“平方法 ”去絕對值符號時，必須注意不等式兩邊都非負的條件。     探路：可以利用零點、分段、討論法（即零點區(qū)間法）     解4：

17、求零點：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3 。分段：兩個零點將R分為三段；   （i）當x3時，原不等式化為|x+3-x+3|>3，此不等式恒成立；x3     （ii）當x-3時，原不等式化為|-x-3+x-3|>3，此不等式恒成立，x-3     （iii）當-3<x<3時，原不等式化為|2x|>3，    求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集為第三階梯   

18、例1：設(shè)集合，若AÍB，求實數(shù)a的取值范圍。    探路：分別解絕對值不等式，分式不等式，化簡集合A，B，再將集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之等價的不等式組，求a的取值范圍。注意此時應(yīng)包括端點。        解：|x-a|<2-2<x-a<2a-2<x<a+2,     A=x|a-2<x<a+2;<1 -1<0 <0(x+2)(x-3)<0-2<x<3  

19、0; B=x|-2<x<3;     AB, 于是0a1。    評注：    本題考查的方向是求滿足條件實數(shù)a的取值范圍；考查的知識點為：絕對值不等式，分式不等式的解法以及集合的知識；考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，必須指出的是集合的包含關(guān)系，可直觀地解釋為數(shù)軸上區(qū)間的覆蓋關(guān)系，從而將集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之等價的不等式組，求得a的取值范圍。    例2：求證：    探路：    用綜合法不易得手時，可從結(jié)論

20、分析入手，逐步尋找使前一個不等式成立的充分條件或充要條件。        成立，原不等式成立。    評注：    本題考查用分析法證明不等式，是對課本P27。例4，證明方法的挖潛，每一個不等式都是前一個不等式成立的充分條件或充要條件，因而相鄰兩個不等式之間要用反向單箭頭“”（表示后一個不等式是前一個不等式成立的充分條件），或用雙向箭頭“”（表示后一個不等式是前一個不等式成立的充要條件）連結(jié)。也可以用“需證”、“即證”等語句連結(jié)。通過練習(xí)，落實數(shù)學(xué)思想和方法。 &#

21、160;  例3：已知| a | < 1, | b |< 1，試比較| a+b | + | a-b | 與2的大小。     探路：    要比較大小的對象含有絕對值符號，可聯(lián)想算術(shù)平方根，對其進行變形，再利用不等式的性質(zhì)進行放縮處理。    評注：    對于含有絕對值符號的比較大小問題，可視為絕對值不等式的證明，要結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)，利用放縮等方法解決問題。     探路：本題也可以按a+b與a-b的符號分類討論，解

22、答問題。    解：    (i) 當a+b與a-b同號時，有        (ii)當a+b與a-b異號時，有            (iii)當a+b與a-b至少一者為零時，結(jié)論顯然     綜上所述：|a+b|+|a-b|<2          僅供參考，不必深究。&

23、#160;   例4：設(shè)a>0，且a1，解關(guān)于x的不等式    探路：利用“同底法”。    解：    原不等式    (i)當0<a<1時        不等式組（），無解，原不等式的解集為 ；     (ii)當a>1時        不等式組（），無解，原不等式的解集為 評注：

24、    本題是含字母系數(shù)a的對數(shù)不等式，參數(shù)a的作用有兩個：一是由0<a<1和a>1來決定對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；在對數(shù)不等式變換為代數(shù)不等式時，決定不等號的方向是否改變；二是決定所得代數(shù)不等式的解集，還需指出的是，對數(shù)函數(shù)的定義域為R+的制約作用也不可忽視。第四階梯例1解不等式 |x2+4x-1|<4. 解: -4<x2+4x-1<4 -5<x<-3或-1<x<1。 即原不等式的解集是（-5，-3）（-1，1）。 例2解不等式|x2-3|>2x. 解: x2-3<-2x或x2-3>2x x2

25、+2x-3<0或x2-2x-3>0 -3<x<1或x<-1或x>3 x<1或x>3。 即原不等式的解集（-，1）（3，+）。 例3解不等式| |1. 解: (2) |2x+3|2|x-1|2 (2x+3)2-(x-1)20 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)0 (x+4)(3x+2)0, -4x- 。 (3) x1。 原不等式的解集為-4，- 。例4解不等式|x+1|+|x-2|<5.分析:為了去掉絕對值符號，首先找到兩式的零點-1和2，它們把（-，+）分成了三個區(qū)間；（-，-1），-1，2，（2，+）。從而可將不等式化為三個不等式組

26、。求它們的解集的并集即可。 解:將不等式化為三個不等式組 （I） -2<x<-1； （II） -1x2；（III） 2<x<3。 原不等式的解集為(-2,-1)-1,2(2,3)，即（-2，3）。例5解不等式|x+1|+|x-2|<1。 解: |x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3， 原不等式無解。 說明:本題沒有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結(jié)果。它提示我們今后解這一類問題，應(yīng)先判斷。例6已知:|a|<1, |b|<1。求證:| |<1. 證法1：欲證，只需證 <1, 只需證|a+b|<|1+ab|, 只

27、需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0, 只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0. |a|<1, |b|<1。a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。式成立， 原不等式成立。 證法2：欲證，只需證-1< <1, 只需證（ +1）（ -1）<0, 只需證 · <0, 只需證 <0, 只需證 <0. |a|<1, |b|<1, a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1

28、<0, 又(1+ab)2>0, 式成立， 原不等式成立。例7求證: + 。 證法1: |a+b|(1+|a|+|b|)(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|a|+|b|。 上式顯然成立， 成立。 又 = + + 。 原命題成立。證法2：這里只證明 分析:觀察兩式結(jié)構(gòu)均為 的形式，又|a+b|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數(shù)y= 在0，+）上單調(diào)遞增即可。 證明:設(shè)0x1x2, 則 - = ， 0x1x2, x2-x10, 1+x1>0, 1+x2>0, 0。 - 0, 即 , 設(shè)x1=|a+b|, x2=|a|+|b| |a+b|a|+|b|, 。

29、參考練習(xí): 1解不等式 |x2+3x-8|10。 2解不等式 |x+7|-|x-2|<3。 3解不等式 | -3|>1。 4解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|1。 5求y= 的值域。 6設(shè)f(x)=x2+ax+b是整系數(shù)二次三項式，求證:|f(1)|< , |f(2)|< , |f(3)|< ,不可能同時成立。 7已知|x|< , |y|< , |z|< , (>0)。求證:|x+2y-3z|<。參考答案: 1. -6, -2-1, 3；2. (-, -1)； 3. , 2)(6, +)； 4. 提示:首先求定義域（0，

30、3）。其次求出二零點1，2。分三個區(qū)間（0，1，（1，2，（2，3）解即可。解集（0， ） ，3。 5提示:可用反解法解出sinx= ，則解不等式| |1得y-4, - 。 6提示:用反證法 略證:假設(shè)|1+a+b|< , |4+2a+b|< , 及|9+3a+b|< 同時成立。 由題設(shè)a, bZ, 1+a+bZ, 1+a+b=0. 同理4+2a+b=0. 9+3a+b=0. 由，解得a=-3, b=2。 但不滿足式，故假設(shè)不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時小于 。 7證明略。測試選擇題1求不等式(1+|x|)(|2x+1|-4)>0的解集是

31、( )A.x> B. x>或x<- C. x<- D. x<-1 2不等式|x-2|+|x+2|<10的解是( )A.x>5B.x<2C. -5<x<5D.x>7 3解關(guān)于x的不等式x2-2ax-a2+1( )A.a-1xa+1B.a+1xa-1C.axa+1D.a-1xa 4解不等式( )A.x>2B.x=-2或C.D.x=-2 5解不等式：( )A.B. C. D.答案與解析答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、A解析：1.分析：首先觀察不等式，不難發(fā)現(xiàn)(1+|x|)是非負的，所以(|2x+1|-4)必須

32、大于0。解(|2x+1|-4)>0就可以了。2.分析：首先尋找零點，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2x2和2<x三個區(qū)間分別去掉絕對值符號求解。 注：也可取特殊值代入驗證：0滿足不等式，所以解集中應(yīng)該有0，排除A、D；再代入-5驗證。3.分析：原不等式等價于 x2-2ax+a21。 即 (x-a)21，-1x-a1。 原不等式的解集為a-1xa+1。 4.分析：原不等式5.分析：原不等式  絕對值不等式內(nèi)容歸納1、含有絕對值的不等式的性質(zhì) (1) |a|-|b|a+b|a|+|b| 證明： -|a|a|a|, -|b|b

33、|b|, -(|a|+|b|)a+b(|a|+|b|), |a+b|a|+|b|. 又 a=a+b-b, |-b|=|b| 由得|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|，即|a|-|b|a+b|. 由得 |a|-|b|a+b|a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的結(jié)論： (2) |a|-|b|a-b|a|+|b| (3) |a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3| 2 幾個基本不等式的解集 (1) |x|<a-a<x<a(a>0) (2) |x|>ax>a或x<-a(a>0) (3) |x-m|<a(a>0)-a<x-m&

34、lt;a m-a<x<m+a (4) |x-m|>a(a>0)x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<m-a 3絕對值的定義：|a|=  由定義可知：|ab|=|a|b|, .4絕對值不等式的解法(1)解含有絕對值不等式的基本思路，絕對值符號的存在是解不等式的一大障礙。因此如何去掉絕對值符號使其轉(zhuǎn)化為等價的不含絕對值符號的不等式是解決這類問題的關(guān)鍵，常采取劃分區(qū)間逐段討論，從而去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一般不等式，或利用絕對值表達的幾何意義轉(zhuǎn)化為圖像或曲線為解決。(2)幾種主要的類型 |f(x)|>|g(x)|f2(x)>g

35、2(x) |f(x)|>g(x)f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) |f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x) 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間”討論的方法來脫去絕對值符號去求解。 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可以用圖像法來解決5關(guān)于“絕對值”的四則運算規(guī)律 1) |ab|=|a|·|b|(2) (3) |a|-|b|a+b|a|+|b|(4) |a|-|b|a-b|a|+|b|在一般情況下，兩個數(shù)的和或差的絕對值與這兩個數(shù)的絕對值的和差是不相等的，但在某些情況下，可以取等號。 6不等式取等號的條件

36、 (1) |a|-|b|a+b|取等號a,b異號且|a|>|b| (2) |a+b|a|+|b|取等號a,b同號 (3) |a|-|b|a-b|取等號a,b同號且|a|>|b| (4) |a-b|a|+|b|取等號a,b異號7拓展 (1)定理在形式上包含兩部分：|a+b|a|+|b|和|a|-|b|a+b|，但|a|-|b|a+b|a+b+(-b)|a+b|+|(-b)|，這說明前者與后者在本質(zhì)上是一致的，故可先證明前者，再由前者推出后者。 (2)定理可改寫為|a|-|b|a+b|a|+|b|，當a,b同號或至少有一個為0時右側(cè)等號成立，當a,b異號或至少有一為0時左側(cè)等號成立。等

37、號成立的條件?？捎糜谇笞钪祮栴}。 (3)推論1：|a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3|，可推廣到多個數(shù)的情況：|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|，當且僅當a1,a2an非異號時等號成立。它是不等式的證明中“放縮”的依據(jù)，同時也使求函數(shù)的最值有了更簡潔的途徑。(4)定理可與向量模的不等式： 聯(lián)系起來，因此也可稱為三角形不等式。        檢測題 1、選擇題     （1）若|x-a|<h, |y-a|<h，則下面的不等式一定成立的是（）     A、|x-y|<hB、|x-y|<2hC、|x-y|>hD、|x-y|>2h     （2）實數(shù)x, y，滿足xy>0，則有     A、|x+y|>|x-y|B、|x+y|>|x|+|y|C、|x-y|>|x|-|y|D、|x|+|y|>|x+y|     （3）設(shè)全集為R，A=x|x2-5x-6>0，B=x| |x-5|<a，（a為常數(shù)），且11B，則（ ）