兩條直線的夾角

1、11.3(2) 兩條直線的夾角教學目標設(shè)計理解直線夾角公式的推導，能正確使用夾角公式求兩條直線的夾角.進一步理解運用平行、垂直、夾角等概念求直線方程的一般方法.通過兩條直線夾角公式的推導，形成運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決問題的能力教學重點及難點理解兩條直線夾角公式的推導，會求兩條直線的夾角.教學用具準備多媒體設(shè)備教學流程設(shè)計課堂小結(jié)并布置作業(yè)兩條直線的夾角公式兩條直線夾角的定義兩直線的夾角復習引入運用與深化(例題解析、鞏固練習)一、復習引入1引例：判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，則求出交點的坐標（課本p16例1）（1）， ； （2）， ； （3）， 解：（參考課本p1617）說明復習

2、判斷兩直線的平行、重合、相交，以及求相交直線的交點坐標的方法.由此引出新的課題.思考并回答下列問題1（對于上述（1）、（2）這樣），當兩條直線相交時，用什么“量”來描述兩條直線的相對位置呢？ 教具演示：兩條直線相交，使其中一條直線繞定點旋轉(zhuǎn)，讓學生觀察這兩條直線的關(guān)系.解答：兩條直線的夾角.2回顧舊知：在初中平面幾何中“兩直線夾角”的定義是什么？解答：角是有公共端點的兩條射線所組成的幾何圖形（如右圖）說明在復習舊知的基礎(chǔ)上引人新課.二、學習新課關(guān)于兩直線的夾角1、概念形成兩條直線的夾角如右圖，兩條直線相交，一共構(gòu)成幾個角？它們有什么關(guān)系？怎樣定義兩條直線的夾角呢？平面上兩條直線和相交構(gòu)成四個角

3、，它們是兩組互補的對頂角，因為相對而言，銳角比較簡單.我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條直線的夾角.如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們的夾角為0.因此,兩條直線的夾角的取值范圍是 ，而兩條相交直線夾角的取值范圍是（.現(xiàn)在我們可以用夾角來描述兩直線的相對位置關(guān)系，當給出兩條直線的方程時，它們的相對位置就確定了，它們的夾角也隨之確定，那么，如何根據(jù)直線方程求兩直線的夾角呢？說明為什么規(guī)定銳角或直角為兩直線的夾角，說明其合理性；提出問題，給學生造成認知沖突，激發(fā)學生探索欲2、夾角公式的推導分析：直線的方向方向向量斜率傾斜角夾角之間的關(guān)系.由于直線的方向是由直線的方向向量或者斜率決定的，下面我們

4、借助于這兩條直線的方向向量來求得兩直線的夾角.說明 引導學生畫圖分析，尋找夾角、傾斜角、方向向量之間的關(guān)系.通過類比，尋求思路.設(shè)兩條直線的方程分別為：（不全為零）：（不全為零）.設(shè)與的夾角為，與的一方向向量分別為與，其夾角為，且=,=，當時，則如圖甲所示;當時，則,如圖乙所示.于是得:.即為直線與的夾角公式.特別地,當且僅當時, 與的夾角為,即與垂直.也就是說:垂直垂直(其中,分別為與的一個法向量)而由,易得當時,有,即當兩條直線的斜率都存在時, 與垂直的充要條件是其中分別為直線與的斜率. 說明培養(yǎng)學生周密分析，嚴格論證的能力.由于直線的夾角與兩個向量的夾角有區(qū)別,前者的范圍是.后者的范圍是

5、,因此必須考慮兩種情況與; 允許學生從斜率的角度考慮,但是不作為本課的重點,可留做課后探討.3、例題分析例1：（回到引例）求下列各組直線的夾角：（1）， ； （2）， ；解：設(shè)與的夾角為，則由兩條直線的夾角公式得(1)即為所求;(2) 即為所求.說明解決本課開頭提出的問題, 本環(huán)節(jié)的設(shè)計目的是使學生熟悉夾角公式的初步應(yīng)用;鼓勵學生一題多解,對于小題(2),由于直線的斜率不存在,還可以數(shù)形結(jié)合(圖略)，求得的傾斜角,得出與的夾角為）例2：若直線：與：互相垂直，求實數(shù)的值.（補充）解：先把直線的方程化為一般形式：.兩直線垂直,，為所求說明 通過練習強調(diào)兩條直線垂直的充要條件，指出公式適合的前提條件

6、是把直線的方程化成一般式方程，以便確定系數(shù)例3：已知直線過點，且與直線的夾角為，求直線的方程.(補充)解：（方法一）設(shè)的方程為（其中為的一法向量），則即化簡為 解方程，得當時，則，此時方程為當時，方程為，即綜上, 的方程是或.（方法二）設(shè)點斜式，按直線的斜率是否存在分兩類討論 若直線的斜率不存在，則過點直線的方程為，設(shè)它與直線的夾角，則，滿足題意. 若直線的斜率存在，那么設(shè)直線的方程為,即,設(shè)它與直線的夾角，則 則即,解得, 所以直線的方程為,化簡得 , 由可知, 的方程是或.說明 啟發(fā)學生探討“求過某定點，且與已知直線夾角為的直線方程”這類基本問題的處理方法；一般地, 求直線方程時,往往采用

7、待定系數(shù)法:先設(shè)出的直線方程，再利用直線的夾角公式列式，求解；分析思路，啟發(fā)學生一題多解.若設(shè)點斜式，學生可能只求出一條直線，啟發(fā)學生從平面幾何分析，應(yīng)有兩條直線.但為什么有的學生求到只有一條呢？讓學生在矛盾中頓悟：需要按斜率是否存在分兩類討論，而且利用直線的夾角公式時，都必須先化為直線方程的一般形式.例3類同于教材中的例4，教材中例4給出的夾角為特殊值，本例為，目的讓學生熟悉反三角的表示.例4：已知的三個頂點為(1)求中的大小;(2)求的平分線所在直線的方程. （補充）解:（1）方法一:直線的方程為:，直線的方程為:, 設(shè)它們的夾角為,又為銳角,所以=，則即為所求;方法二:數(shù)形結(jié)合,因為即為

8、所求. （2）方法一：設(shè)角平分線所在直線方程，即.由角平分線與兩邊成等角，運用夾角公式得 解得 ,由題意,舍所以角平分線的方程為：.方法二: 數(shù)形結(jié)合,利用半角公式先求角平分線所在直線的斜率為, 又已知它過點（2，1），所以，角平分線的方程為：說明鞏固提高.因為本題中,直線的方程為:,因此采用方法二更簡潔些.但是方法一卻是解決此類問題的基本方法.小題（1）,求三角形的內(nèi)角,一般先求過的兩條邊所在直線方程，由夾角公式可求得.需要注意夾角公式所得的角是三角形內(nèi)角或其補角；小題（2）,注意結(jié)合圖形,正確取舍.三、鞏固練習練習11.3（2） -1,3 四、課堂小結(jié)1本節(jié)課研究了兩條直線的夾角，推導出兩

9、條直線的夾角公式的方法，要理解、體會其中的思想方法；2會用兩條直線垂直的充要條件解決與垂直有關(guān)的問題；3熟練運用夾角公式求兩條直線的夾角.注意不垂直的兩條相交直線的夾角為銳角； 4進一步討論了求直線方程的方法：運用待定系數(shù)法時，可設(shè)直線方程為點法向式、或點斜式方程，而在用點斜式方程時，需要分類討論.五、作業(yè)布置1、書面作業(yè)：練習11.3（2） -2,4習題11.3 A組-10,11,122、思考題：光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程.解 由.設(shè)的方程為（其中為一法向量，不同時為零）由反射原理,直線與的夾角等于與的夾角，得,舍去(否則與1重合) ,所以,得的方程為.3思考題：在y軸的正半軸上給定兩點A（0，a），B