第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1下列命題正確的個數(shù)為()經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0 B1 C2 D3解析錯誤，正確答案C2若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 ()A平行 B異面C相交 D平行、異面或相交解析經(jīng)驗證，當平行、異面或相交時，均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D.答案D3若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分為()A5部分 B6部分C7部分 D8部分解析 垂直于交線的截面如圖，把空間分為7部分答案 C 4

2、在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論錯誤的是 ()AA1、M、O三點共線 BM、O、A1、A四點共面CA、O、C、M四點共面 DB、B1、O、M四點共面解析因為O是BD1的中點由正方體的性質(zhì)知，點O在直線A1C上，O也是A1C的中點，又直線A1C交平面AB1D1于點M，則A1、M、O三點共線，A正確；又直線與直線外一點確定一個平面，所以B、C正確答案D5一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中()AABCD BAB與CD相交CABCD DAB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開圖中的

3、各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項A、B、C不正確正確選項為D.圖(b)中，DEAB，CDE為AB與CD所成的角，CDE為等邊三角形，CDE60°.答案D6如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析選項A正確，因為SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD；而BD與SD相交，所以，A

4、C垂直于平面SBD，進而垂直于SB.選項B正確，因為AB平行于CD，而CD在平面SCD內(nèi)，AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD.選項C正確，設(shè)AC與BD的交點為O，連接SO，則SA與平面SBD所成的角就是ASO，SC與平面SBD所成的角就是CSO，易知這兩個角相等選項D錯誤，AB與SC所成的角等于SCD，而DC與SA所成的角是SAB，這兩個角不相等答案D二、填空題7已知a，b為不垂直的異面直線，是一個平面，則a，b在上的射影有可能是：兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)解析只有當ab時，a，b在上的

5、射影才可能是同一條直線，故錯，其余都有可能答案8. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)解析直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故錯誤答案9如圖，矩形ABCD中，AB2，BC4，將ABD沿對角線 BD折起到ABD的位置，使點A在平面BCD內(nèi)的射影點O恰 好落在BC邊上，則異面直線AB與CD所成角的大小為_解析 如題圖所示，由AO平面ABCD，可得平面AB

6、C平面ABCD，又由DCBC可得DC平面ABC，DCAB，即得異面直線AB與CD所成角的大小為90°.答案 90°10在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條解析法一在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點如圖所示法二在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交

7、，即PQ為所求直線由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交答案無數(shù)三、解答題11 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分別為FA、FD的中點(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉B(tài)C，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解由BE綉AF，G為FA中點知，BE綉FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C、D、F、E四點共面12在長方

8、體ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖所示，其中P點不在對角線B1D1)上(1)過P點在空間作一直線l，使l直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由；(2)過P點在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成角，其中，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使lB1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a)B1D1BD，lB1D1，l直線BD.圖(a)(2)BDB1D1，直線m與直線BD也成角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角.當時，這樣的直線m有且只有一條，當時，這樣的直線m有兩條圖(b)13

9、.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AD、AB的中點，G、H分別在BC、CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)設(shè)FG與HE交于點P，求證：P、A、C三點共線證明(1)ABD中，E、F為AD、AB中點，EFBD.CBD中，BGGCDHHC12，GHBD，EFGH(平行線公理)，E、F、G、H四點共面(2)FGHEP，PFG，PHE，P直線AC.P、A、C三點共線14在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60°，對角線AC與BD交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值解(1)在四棱錐PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB與面ABCD所成的角，即PBO60°，在RtPOB中，BOAB·sin 30°1，又POOB，POBO·tan 60°，底面菱形的面積S菱形ABCD2.四棱錐PABCD的體積VPABCD×2×