高考動點(diǎn)軌跡方程的常用求法(含練習(xí)題及答案)

1、軌跡方程的經(jīng)典求法0).軌跡方程的經(jīng)典求法一、定義法：運(yùn)用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程.例2:在厶ABC中，BC 24, AC, AB上的兩條中線長度之和為 39,求 ABC的重心的軌跡方程. 解：以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1， M為重心，則有2BM | |CM |39 26 .3 M點(diǎn)的軌跡是以B, C為焦點(diǎn)的橢圓，其中 c 12, a 13 . b a2 C 5.2 2所求 ABC的重心的軌跡方程為 -L 1(y16925二、直接法：直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程第1頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法例 1 :已知點(diǎn) A( 2,0, B(3,0)，動點(diǎn) P(x,u

2、ur muy)滿足PA PBx2，則點(diǎn)P的軌跡是(A 圓B 橢圓C 雙曲線D 拋物線解析：由題知PA ( 2 x,uuu y) , PBurn ULJJI(3 x, y)，由 PA PBx2，得(2 x)(3 x) y2x2，即 y2 x 6 ,第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法三、代入法：此方法適用于動點(diǎn)隨已知曲線上點(diǎn)的變化而變化的軌跡問題例3:已知 ABC的頂點(diǎn)B( 3,0) C(10),頂點(diǎn)A在拋物線y3 1 xox3yo3x3x2,yo3y.y3x244x 3(y o)UJUAD2,LUUAE1 UID-(AB2HHTAD) P點(diǎn)軌跡為拋物線故選D .9x上運(yùn)動，求 ABC的重心G的軌跡方

3、程.解：設(shè)G(x, y) , A(xo , yo)，由重心公式，得又 T A(xo, yo)在拋物線 y x2上, y x0 .將，代入，得 3y (3x 2)2(y o)，即所求曲線方程是四、待定系數(shù)法：當(dāng)曲線的形狀已知時(shí)，一般可用待定系數(shù)法解決例5:已知A, B, D三點(diǎn)不在一條直線上，且A( 2,) , B(2,o),(1)求E點(diǎn)軌跡方程；(2)過A作直線交以A, B為焦點(diǎn)的橢圓于 M , N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為-，且直線MN5與E點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓方程.UUL 1 LUU LULT解：(1)設(shè) E(x y)，由 AE 丄(AB AD)知 E 為 BD 中點(diǎn)，易知 D(2

4、x 2,2y).2又 | ADI 2，則(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 點(diǎn)軌跡方程為 x2 y2 1(y o)；(2)設(shè) Mg yj, N(X2, y2)，中點(diǎn)(x°, y°).2 2由題意設(shè)橢圓方程為 與# 1 ,直線MN方程為y k(x 2).a a 4第2頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法.直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，1，解得k 昱.Jkl3(x2)代入橢圓方程并整理，得4(a22 23)x 4a x16a2 3a40，二 xoXi X222a2 ，2(a3)又由題意知Xo五、參數(shù)法:2-4，即一a-,解得a252(a2 3)5如果不易直接找出動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，

5、可考慮借助中間變量(參數(shù))8 故所求的橢圓方程為，把x ,y聯(lián)系起來例4:已知線段AA 2a，直線I垂直平分AA于O，在I上取兩點(diǎn)P, P ,使其滿足uur uuluOP-OP 4，求直線AP與AP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解：如圖2，以線段AA所在直線為x軸，以線段AA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn) P(0, t)(t 0),4則由題意，得P 0,4 .t由點(diǎn)斜式得直線AP, A P的方程分別為y (x a), y (x a). ata兩式相乘，消去t，得4x2 a2y2 4a2(y 0) 這就是所求點(diǎn) M的軌跡方程.評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動點(diǎn)；二是消參，消參

6、的途徑靈活多變配套訓(xùn)練、選擇題1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點(diǎn) Q第3頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法的軌跡是()A.圓2.設(shè)A1、A2是橢圓B.橢圓2=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn),4C.雙曲線的一支P1、P2是垂直于D.拋物線A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線 A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為2 2xyA.-942 2y x .B.1942xc.92 2y x .D.194第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法二、填空題aa13. ABC中，A為動點(diǎn),B、C為定點(diǎn)，B(- 2,0),C(2,0)，且滿足條件 si n

7、C sin B=-s inA,則動點(diǎn)A的軌跡方程為4.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m ,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A( 5,0)、B(5, 0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是 .三、解答題B、C作O O'異于I的5.已知A、B、C是直線I上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6,O O'切直線I于點(diǎn)A，又過兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程x26.雙曲線a2 y b1=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，引AiQ 丄 AiP,A2Q 丄 A2P, AiQ 與 A2Q第4頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程

8、的經(jīng)典求法的交點(diǎn)為Q,求Q點(diǎn)的軌跡方程第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法2 27.已知雙曲線 篤 爲(wèi)=i(m>0,n>0)的頂點(diǎn)為Ai、A2,與y軸平行的直線I交雙曲線于點(diǎn)P、Q.m n(1)求直線AiP與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；當(dāng)n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率8已知橢圓x22y牙=1(a> b> 0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為橢圓的焦點(diǎn),bF1PF2的外角平分線為I，點(diǎn)第5頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法F2關(guān)于I的對稱點(diǎn)為Q , F2Q交I于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，求R形成的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C,直線I:

9、 y=k(x+ . 2 a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng) AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案yy。xXo A2、P2、P 共線,y y。XXo配套訓(xùn)練一、1解析：T |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, |PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|-2a,.動點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動點(diǎn)Q的軌跡是圓./ r答案：A2解析：設(shè)交點(diǎn) P(x,y) ,A1( 3,o),A2(3,o),P1(xo,yo),P2(xo, yo)第6頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法2 2 2 2解得xo= 9, yo聖,代入得乞 生1,即二

10、1x x9494答案：C11、3解析：由 sinC sinB= sinA,得 c b= a,22答案：2 216X1(X 4)a3a4應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為設(shè)P(x,y),依題意有4解析a16 x216y2a2,故方程為丁時(shí)1(x 4).53(x 5)2 y2，化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y2 85x+100=0.第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法yyo1x aXoa由條件yyo1x axoa而點(diǎn)P(xo,yo)在雙曲線上,Xo得yo答案：4x2+4y2 85x+100=0、5解：設(shè)過B、C異于I的兩切線分別切O O'于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn) P.由切

11、線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|,|PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 >6=|BC|,故由橢圓定義知，點(diǎn) P的軌跡是以 B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以I2 2所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)P的軌跡方程為-=1(y 0)81726解：設(shè) P(X0,y°) (xm 土 a),Q(x,y). / A1( a,0),A2(a,0).x(Xoa)2 2x ay2 2b2xo2 a2yo2=a2b2,即 b2( x2) a2

12、(- )2=a2b2y第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為: a2x2 b2y2=a4(xM± a).第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法7解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi),則Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(xi，-yi),又有 Ai( - m,0),A2(m,0),第7頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法則AiP的方程為：y=亠xxi mm)A2Q的方程為：y=一里 (xx mm)x得：/=2 yi 2 XiI-7(x2mm2)第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法又因點(diǎn)P在雙曲線上,2Xi2m2At i,即 yi2n

13、2n / 22、2 (xi m ) m第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法2 =i.此即為M的軌跡方程 n2代入并整理得nm2當(dāng)n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法(i )當(dāng)m> n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土 . m2 n2 ,0),準(zhǔn)線方程為x=±"H、 m2 m2n，離心率2 2m ne=mI oo(ii)當(dāng)mv n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,± . m n )，準(zhǔn)線方程為y= ±2n2.n_2-,離心率m22 2n me=n第#頁共7頁軌跡方程的經(jīng)典求法R(xo,yo) ,Q(xi,yi),Fi( c,0),F2(c,0).2a si nAOB28解：(i) 點(diǎn)F2關(guān)于I的對稱點(diǎn)為Q,連接PQ,/ F2PR=Z QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2|又因?yàn)镮為/ FiPF2外角的平分線，故點(diǎn)Fi、P、Q在同一直線上，設(shè)存在 |FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|PF2|=2a,則(xi+c)2+yi2=(2 a)2.Xi cX