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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔精彩文案等腰直角三角形中的常用模型一【知識(shí)精析】1、等腰直角三角形的特征:邊、角方面的特征:兩直角邊相等,兩銳角相等(都是 45o )邊之間的關(guān)系:已知任意一邊長,可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形:以等腰直角三角形為背景的幾何問題中,常常包含全等三角形,發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下基本模型,對(duì)解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一:一條直線(不與三角形的邊重合)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)(1)以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)斜邊,必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形:E,過C作CF,AD于點(diǎn)F。(1)求證:BE-CF=EF(2)若D在BC
2、的延長線上(如圖(2), (1)的結(jié)論并證明。如圖1,等腰Rt ABO43,AB=CBABC90O,點(diǎn)P在線段BC上(不與 R C重合),以AP為腰長作等腰直角 PAQ QEL AB于E ,連CQ AB于M (1)求證:M為BE的中點(diǎn)(2)若PC=2PB求PC的值 MB必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形:(2)以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)直角邊,B3、如圖:RtAABC / BA(=90o , ABAC 點(diǎn) D是 BC上任意一點(diǎn),過 B作 BE! AD點(diǎn) E,交AC于點(diǎn)G過C作CH AW AD的延長線與于點(diǎn) F。結(jié)論并證明。(2)若D在BC的延長線上(如圖(2), (1)中的結(jié)論還成立嗎?
3、若不成立,請寫出新的(1)求證:BG=AF于點(diǎn)F,連接DF,求證:/ 1 = /2。變式 1:如圖,在 Rt ABO43, / ACB45, Z BA(=90 , AB=AC 點(diǎn) D是 AB的中點(diǎn),AF CD于H交BC于F, BE/ AC交AF的延長線于 E,求證:變式 2:等腰 Rt ABC, AC=AB / BAC= 90 ,點(diǎn) D是 AC的中點(diǎn),AFBD于點(diǎn) E,交 BC變式 3:等腰 RtAABC, AC=AB/BAC= 90 ,點(diǎn) D E是 AC上兩點(diǎn)且 AD=CE AFBD于點(diǎn)G交BC于點(diǎn)F連接DF,求證:/ 1=7 2。Dc實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔模型二:等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形共斜
4、邊等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形有公共斜邊,一定可以以兩腰為對(duì)應(yīng)邊構(gòu)造全等三角形例 1:等腰 Rt ABC, AC=AB Z BAC= 90 , AD 求證:/ ADB= 45 。E是AC上一點(diǎn),過C作CDL BE于D,連接,E是AC上一點(diǎn),點(diǎn)D為BE延長線上一點(diǎn),變式 1:等腰 RtABC中,AC=AB / BAC= 90且/ADC= 135 求證:BDL DC變式 2:等腰 Rt ABC, AC=AB / BAC= 90于D, DML AB交BA的延長線于點(diǎn)M,BE平分/ ABC AC于 E,過 C作 CDL BEBMAM(1)求AB +BC的值;(2)求BC - AB的值。模型三:兩個(gè)
5、等腰直角三角形共一個(gè)頂點(diǎn)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔例1、如圖1, ABC 是AF的中點(diǎn),連 BEFtB是等腰直角三角形,/ME將 BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。猜想AB(=/BEf=90o ,連接 AF、CF, MCF與EM勺數(shù)量關(guān)系并證明;(2)兩個(gè)等腰直角三角形 共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相同 ,必定含一對(duì)相似三角形:精彩文案(3)兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相反,必定可利用平移構(gòu)造含一對(duì)全FA如圖,ABCEBDIB是等腰直角三角形,/ BA(=/BE*90o 。把DE平移到CF,使E與C重合,連接 AE AF則AEBWAFCir等(關(guān)鍵是利用平行證明/ ABE=/ACF例.如圖:兩個(gè)直角三角形 ABC
6、 ADE勺頂點(diǎn)A重合,P是線段BD的中點(diǎn),連PC Pb(1)如圖1,若/ BA(=Z DAE45 ,當(dāng) A、C、D在同一直線上時(shí),線段 PC PE的關(guān)系(2)如圖2、3,將BAC繞A旋轉(zhuǎn)“度,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?任意選擇一個(gè)證明 你的結(jié)論?!眷柟叹毩?xí)】1.如圖,在 RtAABC 中,AB =AC , / BAC =90, D、E 為 BC 上兩點(diǎn),/ DAE =45,F為 MBC外一點(diǎn),且FB,BC , FA _L AE ,則下列結(jié)論:CE = BF ;222BD +CE =DE ; S國DEAC1222=AD,EF;CE +BE = 2AE,其中正確的是 4B、2.已知:Rt/ABC
7、3,AC于點(diǎn)M No(1)若/ MON90AB=AC/BAG90 ,若 O是 BC的中點(diǎn),(如圖 1),求證: OM=QN BM+CN=MN;(2)若/ MON45(如圖2),求證:AM+MNCNA3、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AOB等腰直角三角形, A (4, 4)。(1)若C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以 AC為直角邊作等腰直角 ACD / ACD=90 ,連OD求/ AODW度數(shù);AFOF(2)過A作y軸的垂線交y軸于E, F為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),G在EF的延長線上,以 EG為 直角邊作等腰 RtAEGH過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M,連FM等式AM - FM = 1是否成立?若成立,請證明;若不成
8、立,說明理由。H4 .在4ABC和4DCE中,ABAC DGDE / BAB/ EDC90 ,點(diǎn) E 在 AB 上,連 AD DH AC 于點(diǎn)F。試探索AE AR AC的數(shù)量關(guān)系;并求出/ DAC勺度數(shù)。5 .如圖:等腰 RtABCF口等腰 RtAEDB AC=BC DE=BD Z ACB= Z EDB= 90 , E為 AB是 一點(diǎn),P為AE的中點(diǎn)。連接PC PD則PC PD的位置關(guān)系是 ;數(shù)量關(guān)系是 ;并證明你的當(dāng)E在線段AB上變化時(shí),其它條件不變,作EFl BC于F,連接PF,試判斷 PCF的形狀;在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中, PCF是否可為等邊三角形?若可以,試求ACBAEDB的兩直角邊之比。6 (2013年湖南常德 10分)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt ABC; RtCEF, / ABC=ZCEF=90 ,連接 AF, M是AF的中點(diǎn),連接 MB ME(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上日求證:MB/ CF;(2)如圖 1,若 CB=a CE=2a 求 BM ME的長;(3)如圖 2,當(dāng)/ BCE=45 時(shí),求證:BM=MEFC圖二7、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,/ ONB=45 +/ MON(1)求證:BN平分/ OBA(2)十OM MN佻古求的值;BNA (4 , 0) , B (0 , 4)。(3)若點(diǎn)P為第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且/ APO135 ,問A
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