國(guó)家開(kāi)放大學(xué)《工程數(shù)學(xué)》綜合練習(xí)題參考答案

1、國(guó)家開(kāi)放大學(xué)工程數(shù)學(xué)綜合練習(xí)題參考答案本套練習(xí)題包括題型：一、單項(xiàng)選擇題（40）二、填空題（35）三、計(jì)算題（28）四、證明題（6）一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 2.下列命題正確的是AS（C）AEA個(gè)維向量組成的向量組一定線性相關(guān)；B向量組是線性相關(guān)的充分必要條件是以為系數(shù)的齊次線性方程組 有解C向量組,0的秩至多是 D設(shè)是矩陣，且，則的行向量線性相關(guān)3.設(shè)線性方程組的兩個(gè)解為，（）則下列向量中（D）一定是的解A. B. C. D. 4.設(shè)，則隨機(jī)變量（B ）。A. B. C. D. 5.對(duì)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，檢驗(yàn)解決的問(wèn)題是（A）

2、A. 已知方差，檢驗(yàn)均值B. 未知方差，檢驗(yàn)均值C. 已知均值，檢驗(yàn)方差D. 未知均值，檢驗(yàn)方差 6.設(shè)為矩陣，為矩陣，當(dāng)為（B）矩陣時(shí)，乘積有意義A. B. C. D. 7.向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是（A）ABCD.8.若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（D）時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解 A1B4C2 D9.擲兩顆均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為4”的概率是（C）.A. B. C. D. 10.在對(duì)單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，檢驗(yàn)法解決的問(wèn)題是（B）A. 已知方差，檢驗(yàn)均值B. 未知方差，檢驗(yàn)均值C. 已知均值，檢驗(yàn)方差D. 未知均值，檢驗(yàn)方差11.設(shè)都是方陣，則下列命題中正確的是（A）A. B.若 ，則

3、或 C.若 ，且，則D.12.若齊次線性方程組只有零解，則非其次線性方程組解的情況是（C）A有唯一解B有無(wú)窮多解C可能無(wú)解D.有非零解13.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列等式中不準(zhǔn)確的是（B）.A B C D14.袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩次都取到紅球的概率是（D）.A. B. C. D. 15.對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體，未知時(shí)，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)采用（D）A. 檢驗(yàn)法 B. 檢驗(yàn)法 C. 檢驗(yàn)法D. 檢驗(yàn)法 16.設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 17.下列命題正確的是AS（）AEA個(gè)維向量組成的向量組一定線性相關(guān)；B向量組是線

4、性相關(guān)的充分必要條件是以為系數(shù)的齊次線性方程組 有解C向量組,0的秩至多是 D設(shè)是矩陣，且，則的行向量線性相關(guān)18.設(shè)線性方程組的兩個(gè)解為，（）則下列向量中（ ）一定是的解A. B. C. D. 19.設(shè)，則隨機(jī)變量（ ）。A. B. C. D. 20.對(duì)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，檢驗(yàn)解決的問(wèn)題是（）A. 已知方差，檢驗(yàn)均值B. 未知方差，檢驗(yàn)均值C. 已知均值，檢驗(yàn)方差D. 未知均值，檢驗(yàn)方差21.下列命題中不正確的是（D）AA與有相同的特征多項(xiàng)式B若是A的特征值，則的非零解向量必是A對(duì)應(yīng)于的特征向量C若=0是A的一個(gè)特征值，則必有非零解DA的特征向量的線性組合仍為A的特征向量22.設(shè)A，B

5、都是階矩陣，則下列等式中正確的是(C) A BCD 23.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，下列命題中不正確的是(B) A. B. C. D. 24.設(shè)袋中有6只紅球，4只白球，從其中不放回地任取兩次，每次取1只，則兩次都取到紅球的概率是（A）A. B. C. D. 25.對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體總體，已知時(shí)，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)采用（B）At檢驗(yàn)法BU檢驗(yàn)法C檢驗(yàn)法DF檢驗(yàn)法26.設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（A）ABCD27.方程組相容的充分必要條件是(B)，其中，ABCD 28.設(shè)矩陣的特征值為0，2，則3A的特征值為 (D) A0，2 B2，6 C0，0 D0，629.若事件與互斥，則下列等式中正確的是（A

6、）ABCD 30.設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，則檢驗(yàn)假設(shè)采用統(tǒng)計(jì)量U =（C）AB CD 31.A，B都是階矩陣（，則下列命題正確的是( D ) AAB=BAB若AB =O，則或CD 32.向量組的秩是（C）ABCD33.設(shè)矩陣A的特征多項(xiàng)式，則A的特征值為 ( D )AB CD，34.若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則方差=（B）A BCD 35.已知總體，未知，檢驗(yàn)總體期望采用（A）At檢驗(yàn)法 BU檢驗(yàn)法 C檢驗(yàn)法DF檢驗(yàn)法36.方程組相容的充分必要條件是( B )，其中，A BC D 37.設(shè)都是n階方陣，則下列等式中正確的是( C )A BC D38.下列命題中不正確的是（ A）AA與有相同的特

7、征值BA與有相同的特征多項(xiàng)式C若A可逆，則零不是A的特征值DA與有相同的特征值39.若事件與互斥，則下列等式中正確的是（ D ）ABCD40.設(shè)隨機(jī)變量，則下列等式中不正確的是（ A ）ABCD二、填空題1.設(shè)均為n階可逆矩陣，逆矩陣分別為，則B(A-1)´C-12.線性方程組有解的充分必要條件是r(A)=r(A|b)3.若，則0.34.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則1/85.設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則6.設(shè)均為3階矩陣，且，則-87.當(dāng)= 0 時(shí)，矩陣的秩最小8.設(shè)是三個(gè)事件，那么發(fā)生，但至少有一個(gè)不發(fā)生的事件表示為.9.設(shè)隨機(jī)變量，則1510.設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則1

8、1.設(shè)均為3階矩陣，且，則1212.設(shè)為階方陣，若存在數(shù)和非零維向量，使得矩陣，則稱(chēng)為相應(yīng)于特征值的特征向量.13.若，則3元齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解析系中含有2個(gè)解向量.14.若，則0.115.設(shè)隨機(jī)變量，若，則716.若3階方陣，則217.設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)和 非零 n維向量，使得，則稱(chēng)數(shù)為的特征值，為相應(yīng)于特征值的特征向量18.設(shè)，那么3元齊次線性方程組AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有 2 個(gè)解向量19.設(shè)隨機(jī)變量，則0.320.設(shè)為隨機(jī)變量，已知，那么1821.設(shè)，則的根是1，-1，2，-2 22.設(shè)4元線性方程組AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3

9、 個(gè)解向量23.設(shè)互不相容，且，則024.設(shè)隨機(jī)變量X B（n，p），則E（X）= np25.若樣本來(lái)自總體，且，則26.設(shè)三階矩陣的行列式，則=227.線性方程組中的一般解的自由元的個(gè)數(shù)是2，其中A是矩陣，則方程組增廣矩陣= 3 28.若事件A，B滿足，則 P（A - B）= 29.設(shè)隨機(jī)變量，則0.930.設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)，且滿足，則稱(chēng)為的無(wú)偏 估計(jì)31.若三階方陣，則=0 32.設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)和非零n維向量，使得，則稱(chēng)數(shù)為的特征值 33.已知，則當(dāng)事件,相互獨(dú)立時(shí)，0.0834.設(shè)隨機(jī)變量，則0.135.不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量 三、計(jì)算題1已知，其中，求解：利用初

10、等行變換得即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得 2.求線性方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量） 令=0，得到方程的一個(gè)特解. 方程組相應(yīng)的齊方程的一般解為 （其中為自由未知量）令=1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系 于是，方程組的全部解為 （其中為任意常數(shù)）3.設(shè)，試求；（已知）解： 4.某一批零件重量，隨機(jī)抽取4個(gè)測(cè)得重量（單位：千克）為14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克(已知)？解：零假設(shè)由于已知，故選取樣本函數(shù)經(jīng)計(jì)算得，已知，故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克.5.解矩陣方程，其中解：利用初等行

11、變換得 即由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得6.為何值時(shí)，下列方程組有解，有解時(shí)求出其全部解.解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量） 令=0，得到方程的一個(gè)特解 不計(jì)最后一列，令=1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系 于是，方程組的全部解為 （其中為任意常數(shù)）7.設(shè)，試求；（已知）解： 8.據(jù)資料分析，某廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布，今從該廠最近生產(chǎn)的一批磚中隨機(jī)抽取9塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度（單位：）的平均值為31.18.假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有改變，在0.05的顯著水平下，文這批磚的抗斷強(qiáng)度是否合格？（ ）解：零假設(shè)；由于標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有改變，故已知選取樣本函數(shù)由已知，于是得在0.05的顯著水平下，

12、因此拒絕零假設(shè)，即這批磚的抗斷強(qiáng)度不合格.9.已知，其中，求參考答案：10.為何值時(shí)，線性方程組 有解，并求出一般解參考答案：11.設(shè)，試求；（已知）參考答案：12.隨機(jī)抽取某班28名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得平均分為分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分，若全年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且平均成績(jī)?yōu)?5分，試問(wèn)在顯著水平下，能否認(rèn)為該班的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5分？ 參考答案：13.設(shè)矩陣，求參考答案：解：利用初等行變換可得 因此， =14.為何值時(shí)，下列方程組有解？有解時(shí)求出其全部解參考答案：解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 由階梯陣可知：當(dāng)即時(shí)，方程組有解 此時(shí)，由最后一個(gè)行簡(jiǎn)化階梯陣得方程組的一般解為：，（其中為自由元）

13、令，得方程組的一個(gè)特解 不計(jì)最后一列，令x3 = 1，得到相應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1 = 于是，方程組的通解為：，(其中k是任意常數(shù))15.設(shè)，試求：(1)；(2)（已知）參考答案：解：（1） （2） 16.設(shè)某種零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布，今從中任取100個(gè)零件抽檢，測(cè)得平均長(zhǎng)度為84.5 cm，試求此零件長(zhǎng)度總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間參考答案：解：由于已知，故選取樣本函數(shù) 零件長(zhǎng)度總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間 由已知，于是可得，因此，零件長(zhǎng)度總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間：7.設(shè)矩陣，求參考答案：解：由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得利用初等行變換得即 18.求下列線性

14、方程組的通解參考答案：解:利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即®®®方程組的一般解為：，其中，是自由未知量 令，得方程組的一個(gè)特解方程組的導(dǎo)出組的一般解為：，其中，是自由未知量令，得導(dǎo)出組的解向量；令，得導(dǎo)出組的解向量 所以方程組的通解為： ，其中，是任意實(shí)數(shù).19.設(shè)隨機(jī)變量X N（3，4）求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9成立的常數(shù)a (已知，) 參考答案：解：（1）P（1< X < 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 （2）因?yàn)?P（X <

15、 a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.5620.從正態(tài)總體N（，4）中抽取容量為625的樣本，計(jì)算樣本均值得= 2.5，求的置信度為99%的置信區(qū)間.(已知 )參考答案：解：已知，n = 625，且 因?yàn)?= 2.5， 所以置信度為99%的的置信區(qū)間為： .21.設(shè)矩陣，解矩陣方程參考答案：解：因?yàn)?，得 所以22.設(shè)齊次線性方程組，為何值時(shí)方程組有非零解？在有非零解時(shí)，求出通解參考答案：解：因?yàn)?A = 時(shí)，所以方程組有非零解 方程組的一般解為： ，其中為自由元 令 =1得X1=，則方程組的基礎(chǔ)解系為X1 通解為k1X1，其中k1為任意常數(shù)23.設(shè)隨機(jī)變量（1）求；（2）若，求k的

16、值 （已知） 參考答案：解：（1）1 = 11（） = 2（1）0.0454 （2） 1 1 即k4 = -1.5， k2.524.從正態(tài)總體N（，9）中抽取容量為64的樣本，計(jì)算樣本均值得= 21，求的置信度為95%的置信區(qū)間(已知 )參考答案：解：已知，n = 64，且 因?yàn)?= 21，且 所以，置信度為95%的的置信區(qū)間為： 25.設(shè)矩陣，求參考答案：解：利用初等行變換可得 因此， 于是由矩陣乘法可得 26.求線性方程組的通解參考答案：解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 方程組的一般解為 ，(其中x3是自由元) 令x3 = 0，得到方程組的一個(gè)特解X0 =；不計(jì)最后一列，x3 = 1，得到相應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1 = 于是，方程組的通解為： ，(其中k是任意常數(shù))27.設(shè)，試求: (1) ； (2) （已知）參考答案：解： 28.某廠生產(chǎn)日光燈管根據(jù)歷史資料,燈管的使用壽命X服從正態(tài)總體在最近生產(chǎn)的燈管中隨機(jī)抽取49件進(jìn)行測(cè)試，平均使用壽命為1520小時(shí)假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有改變，在0.05的顯著性水平下，判斷最近生產(chǎn)的燈管質(zhì)量是否有顯著變化(已知 )參考答案：解：零假設(shè)；由于標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有改變，故已知，選取樣本函數(shù)由已知，于是得 在0.05的顯著性水平下， ，因此拒絕零假設(shè)，即最近生產(chǎn)的燈管質(zhì)量出現(xiàn)顯著變化