浙江師范大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》d12_4函數(shù)展開成冪級數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第四節(jié)兩類問題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級數(shù)求 和展 開本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 第十二章 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) 其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式)()(0 x

2、fxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 在在x0點(diǎn)處點(diǎn)處的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(x

3、xf在高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 xU則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式余項(xiàng)滿足:.0)(limxRnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xUxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xUx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院定理定理2. 若 f (x)

4、 能展成 x 的冪級數(shù),唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn則;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 則這種展開式是高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 展開成冪級數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;

5、第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式是否為0. 的函數(shù)展開高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xxfe)(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: ,e)()(xnxf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!211e32nxxnxxxnRlim!1n! )

6、1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級數(shù) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例2. 將將xxfsin)(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: )()(xfn)0()(nf得級數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,R對任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxx

7、x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos對上式兩邊求導(dǎo)可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3. 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1 ()(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 級數(shù) mx12!2) 1(xmm由于1

8、limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù) m, 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F則為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為兩邊各乘（1+x），并整理得：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)

9、院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院)(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nxnnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(例例3 附注附注高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定

10、理二項(xiàng)式定理.由此得 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x對應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2. 間接展開法間接展開法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4.

11、將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因?yàn)閚nxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例5. 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 域?yàn)?11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂

12、 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例6. 將將xsin展成展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級數(shù)的冪級數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4( x3)4(!31x5)4(!51x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例7. 將將3412 xx展成展成 x1 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: )3)(1(1

13、3412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x121x 18141x1141x)21(x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式

14、的函數(shù) .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院作作 業(yè)業(yè) P289 2 (3) , (5) , (6); 3 (2) ;4 ;6 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師

15、范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)0)(xxf在處 “有泰勒級數(shù)” 與 “能展成泰勒級數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明, 0)(limxRnn前者無此要求.2. 如何求xy2sin的冪級數(shù) ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院備用題備用題 1.將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx 1 時, 此級數(shù)條件收斂,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 高等數(shù)