同濟第六版高數(shù)課后習(xí)題1

1、習(xí)題1-11.設(shè)A=(-¥,-5)È(5,+¥),B=-10, 3),寫出AÈB,AÇB,AB及A(AB)的表達式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5,+¥),AÇB=-10,-5),AB=(-¥,-10)È(5,+¥),A(AB)=-10,-5).2.設(shè)A、B是任意兩個集合,證明對偶律: (AÇB)C=AC ÈBC.證明 因為xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或x

2、7;BÛ xÎAC或xÎBCÛ xÎAC ÈBC,所以 (AÇB)C=AC ÈBC.3.設(shè)映射f:X®Y,AÌX,BÌX.證明(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);(2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).證明(2)因為yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=yÛ(因為xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B)Û y&#

3、206;f(A)Èf(B),所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B).(2)因為yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因為xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).4.設(shè)映射f:X®Y, 若存在一個映射g:Y®X,使,其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射,即對于每一個xÎX,有IXx=x;對于

4、每一個yÎY,有IYy=y.證明:f是雙射,且g是f的逆映射:g=f-1. 證明 因為對于任意的yÎY,有x=g(y)ÎX,且f(x)=fg(y)=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因為對于任意的x1¹x2,必有f(x1)¹f(x2),否則若f(x1)=f(x2)Þg f(x1)=gf(x2)Þ x1=x2.因此f既是單射,又是滿射,即f是雙射.對于映射g:Y®X,因為對每個yÎY,有g(shù)(y)=xÎX,且滿足f(x)=fg(y)=Iyy=y,按逆映射的定義,

5、g是f的逆映射.5.設(shè)映射f:X®Y,AÌX.證明:(1)f-1(f(A)ÉA;(2)當f是單射時,有f-1(f(A)=A.證明 (1)因為xÎA Þf(x)=yÎf(A)Þf -1(y)=xÎf-1(f(A),所以 f-1(f(A)ÉA.(2)由(1)知f-1(f(A)ÉA.另一方面,對于任意的xÎf-1(f(A)Þ存在yÎf(A),使f-1(y)=xÞf(x)=y. 因為yÎf(A)且f是單射,所以xÎA. 這就證明了f-1(f(A

6、)ÌA. 因此f-1(f(A)=A.6. 求下列函數(shù)的自然定義域:(1);解由3x+2³0得.函數(shù)的定義域為.(2);解由1-x2¹0得x¹±1.函數(shù)的定義域為(-¥,-1)È(-1, 1)È(1,+¥).(3);解 由x¹0且1-x2³0得函數(shù)的定義域D=-1,0)È(0,1.(4);解由4-x2>0得 |x|<2.函數(shù)的定義域為(-2, 2).(5);解 由x³0得函數(shù)的定義D=0,+¥).(6) y=tan(x+1);解 由(k=0,&#

7、177;1,±2,×××)得函數(shù)的定義域為(k=0,±1,±2,×××).(7) y=arcsin(x-3);解 由|x-3|£1得函數(shù)的定義域D=2, 4.(8);解 由3-x³0且x¹0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0, 3).(9) y=ln(x+1);解 由x+1>0得函數(shù)的定義域D=(-1,+¥).(10).解 由x¹0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0,+¥).7. 下列各題中,

8、 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？(1)f(x)=lg x2,g(x)=2lg x;(2) f(x)=x,g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解 (1)不同.因為定義域不同.(2)不同.因為對應(yīng)法則不同,x<0時,g(x)=-x.(3)相同.因為定義域、對應(yīng)法則均相相同. (4)不同.因為定義域不同.8. 設(shè),求,j(-2),并作出函數(shù)y=j(x)的圖形.解 ,.9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:(1), (-¥, 1);(2)y=x+ln x, (0,+¥). 證明 (1)對于任意的x1,x2Î(-

9、65;, 1),有1-x1>0, 1-x2>0. 因為當x1<x2時,所以函數(shù)在區(qū)間(-¥, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的.(2)對于任意的x1,x2Î(0,+¥),當x1<x2時, 有,所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的.10.設(shè)f(x)為定義在(-l,l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0,l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加.證明 對于"x1,x2Î(-l, 0)且x1<x2,有-x1,-x2Î(0,l)且-x1>-x2. 因為f(x)在(0,l)內(nèi)單調(diào)

10、增加且為奇函數(shù), 所以f(-x2)<f(-x1),-f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1),這就證明了對于"x1,x2Î(-l, 0),有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加.11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-l,l)上的, 證明:(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù);(2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù),偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則F(-x)=f(-x)+g(-x)=f

11、(x)+g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數(shù),即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù).(2)設(shè)F(x)=f(x)×g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則F(-x)=f(-x)×g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)×g(x)=F(x)

12、,所以F(x)為偶函數(shù),即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)是偶函數(shù),而g(x)是奇函數(shù), 則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數(shù),即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3;(3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6).解 (1)因為f(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).(2)由f(

13、-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(3)因為,所以f(x)是偶函數(shù).(4)因為f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(6)因為,所以f(x)是偶函數(shù).13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期:(1)y=cos(x-2);解 是周期函數(shù),周期為l=2p.(2)y=cos 4x;解是周期函數(shù),周期為.(3)y=1+sin px;解是周期函數(shù),周期為

14、l=2.(4)y=xcos x;解不是周期函數(shù).(5)y=sin2x.解 是周期函數(shù),周期為l=p.14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1);解 由得x=y3-1,所以的反函數(shù)為y=x3-1.(2);解 由得,所以的反函數(shù)為.(3)(ad-bc¹0);解 由得,所以的反函數(shù)為.(4) y=2sin3x;解 由y=2sin 3x得,所以y=2sin3x的反函數(shù)為.(5) y=1+ln(x+2);解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2.(6).解 由得,所以的反函數(shù)為.15.設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X

15、上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.證明 先證必要性.設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界,則存在正數(shù)M,使|f(x)|£M,即-M£f(x)£M.這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再證充分性.設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1£f(x)£ K2.取M=max|K1|, |K2|,則-M£ K1£f(x)£ K2£M,即 |f(x)|£M.這就證明了f(x)在X上有界.16.在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:

16、 (1) y=u2,u=sin x,;解 y=sin2x,.(2) y=sin u,u=2x,;解 y=sin2x,.(3),u=1+x2,x1=1,x2= 2;解 ,.(4) y=eu,u=x2,x1 =0,x2=1;解 ,.(5) y=u2 ,u=ex,x1=1,x2=-1.解 y=e2x,y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2.17.設(shè)f(x)的定義域D=0,1, 求下列各函數(shù)的定義域:(1) f(x2); 解 由0£x2£1得|x|£1,所以函數(shù)f(x2)的定義域為-1,1.(2) f(sinx);解 由0£si

17、n x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0,±1,±2×××),所以函數(shù)f(sin x)的定義域為2np, (2n+1)p (n=0,±1,±2×××).(3) f(x+a)(a>0); 解 由0£x+a£1得-a£x£1-a,所以函數(shù)f(x+a)的定義域為-a,1-a.(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0).解 由0£x+a£1且0£x-a£1得:當時,a

18、63;x£1-a; 當時, 無解. 因此當時函數(shù)的定義域為a,1-a,當時函數(shù)無意義.18.設(shè),g(x)=ex, 求fg(x)和gf(x), 并作出這兩個函數(shù)的圖形.解 ,即.,即.19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40°(圖1-37). 當過水斷面ABCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域.圖1-37解 ,又從得,所以. 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h>0,確定,定義域為.20.收斂音機每臺售價為90元,成本為60元.廠方為鼓勵銷售商大量采購,決定凡是訂購量超過100臺以上的,每多訂購1臺,售

19、價就降低1分,但最低價為每臺75元.(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù);(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù);(3)某一商行訂購了1000臺,廠方可獲利潤多少？解 (1)當0£x£100時,p=90. 令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此當x³1600時,p=75.當100<x<1600時,p=90-(x-100)´0.01=91-0. 01x. 綜合上述結(jié)果得到.(2).(3)P=31´1000-0.01´10002=21000(元).習(xí)題1-21. 觀察一般項xn如下的數(shù)列x

20、n的變化趨勢,寫出它們的極限:(1);解 當n®¥時,®0,.(2);解 當n®¥時,®0,.(3);解 當n®¥時,®2,.(4);解 當n®¥時,®0,.(5) xn=n(-1)n.解 當n®¥時,xn=n(-1)n沒有極限.2.設(shè)數(shù)列xn的一般項.問=? 求出N,使當n>N時,xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e,當e=0.001時,求出數(shù)N.解 ."e>0, 要使|xn-0|<e,只要,也就是.取,則"n>

21、N,有|xn-0|<e.當e=0.001時,=1000.3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1);分析 要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當n>N時,有,所以. (2);分析 要使, 只須,即.證明因為"e>0,$, 當n>N時,有,所以.(3);分析要使,只須.證明因為"e>0,$, 當"n>N時,有,所以. (4).分析要使|0.99 ××× 9-1|,只須<e,即.證明因為"e>0,$, 當"n>N時,有|0.99 ××&

22、#215; 9-1|<e,所以.4., 證明.并舉例說明:如果數(shù)列|xn|有極限,但數(shù)列xn未必有極限.證明 因為, 所以"e>0,$NÎN, 當n>N時, 有, 從而|un|-|a|£|un-a|<e.這就證明了.數(shù)列|xn|有極限,但數(shù)列xn未必有極限. 例如, 但不存在.5.設(shè)數(shù)列xn有界,又,證明:.證明因為數(shù)列xn有界,所以存在M,使"nÎZ,有|xn|£M.又,所以"e>0,$NÎN, 當n>N時,有.從而當n>N時,有,所以.6.對于數(shù)列xn, 若x2k-1&

23、#174;a(k®¥),x2k®a(k®¥),證明:xn®a(n®¥). 證明 因為x2k-1®a(k®¥),x2k®a(k®¥),所以"e>0,$K1,當2k-1>2K1-1時,有| x2k-1-a|<e;$K2,當2k>2K2時,有|x2k-a|<e.取N=max2K1-1, 2K2,只要n>N,就有|xn-a|<e.因此xn®a (n®¥).習(xí)題1-31.根據(jù)函數(shù)極限的

24、定義證明:(1);分析因為|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|(3x-1)-8|<e,只須.證明因為"e>0,$,當0<|x-3|<d時,有 |(3x-1)-8|<e,所以.(2);分析 因為|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,所以要使|(5x+2)-12|<e,只須.證明因為"e>0,$,當0<|x-2|<d時,有 |(5x+2)-12|<e,所以.(3);分析 因為,所以要使,只須.證明因為"e>0,$,當0<|x-(-2)|<d時,有,所以

25、.(4).分析 因為,所以要使,只須.證明因為"e>0,$,當時,有,所以.2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1);分析 因為,所以要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當|x|>X時,有,所以.(2).分析 因為.所以要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當x>X時,有,所以.3.當x®2時,y=x2®4.問d等于多少,使當|x-2|<d時, |y-4|<0.001？解由于當x®2時, |x-2|®0,故可設(shè)|x-2|<1,即1<x<3. 要使|x2-4|=|x+2|

26、x-2|<5|x-2|<0.001,只要. 取d=0.0002,則當0<|x-2|<d時,就有|x2-4|<0. 001.4.當x®¥時,問X等于多少,使當|x|>X時, |y-1|<0.01?解要使,只要,故.5.證明函數(shù)f(x)=|x|當x®0時極限為零.證明 因為 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|,所以要使|f(x)-0|<e, 只須|x|<e.因為對"e>0,$d=e, 使當0<|x-0|<d, 時有|f(x)-0|=|x|-0|<e,所以.6.求當x

27、®0時的左右極限,并說明它們在x®0時的極限是否存在.證明因為 ,所以極限存在. 因為,所以極限不存在.7.證明: 若x®+¥及x®-¥時,函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A,則.證明 因為,所以"e>0,$X1>0,使當x<-X1時,有|f(x)-A|<e;$X2>0,使當x>X2時,有|f(x)-A|<e.取X=maxX1,X2,則當|x|>X時,有|f(x)-A|<e,即.8.根據(jù)極限的定義證明:函數(shù)f(x)當x®x0時極限存在的充分必要條件是左極限、右極

28、限各自存在并且相等.證明先證明必要性.設(shè)f(x)®A(x®x0),則"e>0,$d>0, 使當0<|x-x0|<d時,有|f(x)-A|<e.因此當x0-d<x<x0和x0<x<x0+d時都有|f(x)-A|<e.這說明f(x)當x®x0時左右極限都存在并且都等于A.再證明充分性.設(shè)f(x0-0)=f(x0+0)=A,則"e>0,$d1>0, 使當x0-d1<x<x0時,有| f(x)-A<e;$d2>0, 使當x0<x<x0+d2時,有

29、| f(x)-A|<e.取d=mind1,d2,則當0<|x-x0|<d時,有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2,從而有| f(x)-A|<e,即f(x)®A(x®x0).9.試給出x®¥時函數(shù)極限的局部有界性的定理,并加以證明.解 x®¥時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x®¥時的極限存在, 則存在X>0及M>0, 使當|x|>X時,|f(x)|<M.證明 設(shè)f(x)®A(x®¥), 則對于e

30、=1,$X>0, 當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e=1. 所以|f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.這就是說存在X>0及M>0, 使當|x|>X時,|f(x)|<M, 其中M=1+|A|.習(xí)題1-41. 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之.解 不一定.例如,當x®0時,a(x)=2x,b(x)=3x都是無窮小, 但,不是無窮小.2. 根據(jù)定義證明: (1)當x®3時為無窮小;(2)當x®0時為無窮小.證明(1)當x¹3時.因為"e>

31、;0,$d=e, 當0<|x-3|<d時,有,所以當x®3時為無窮小.(2)當x¹0時.因為"e>0,$d=e, 當0<|x-0|<d時,有,所以當x®0時為無窮小.3. 根據(jù)定義證明:函數(shù)為當x®0時的無窮大.問x應(yīng)滿足什么條件,能使|y|>104？證明 分析,要使|y|>M,只須,即.證明 因為"M>0,$,使當0<|x-0|<d時,有,所以當x®0時,函數(shù)是無窮大. 取M=104,則. 當時, |y|>104.4. 求下列極限并說明理由: (1); (2

32、).解 (1)因為, 而當x®¥時是無窮小,所以. (2)因為(x¹1),而當x®0時x為無窮小,所以.5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義,填寫下表:f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-¥x®x0"e>0,$d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)-A|<e."M>0,$d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0,$d>0,

33、 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)>M."M>0,$d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)<-M.x®x0+"e>0,$d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒|f(x)-A|<e."M>0,$d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0,$d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒f(x)>M."M>0,$d>0, 使當0<x-x0&l

34、t;d時, 有恒f(x)<-M.x®x0-"e>0,$d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒|f(x)-A|<e."M>0,$d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0,$d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)>M."M>0,$d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)<-M.x®¥"e>0,$X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f

35、(x)-A|<e."e>0,$X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)|>M."e>0,$X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)>M."e>0,$X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)<-M.x®+¥"e>0,$X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)-A|<e."e>0,$X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)|>M."e>0,$X>0, 使當x>X時, 有

36、恒f(x)>M."e>0,$X>0, 使當x>X時, 有恒f(x)<-M.x®-¥"e>0,$X>0, 使當x<-X時, 有恒|f(x)-A|<e."e>0,$X>0, 使當x<-X時, 有恒|f(x)|>M."e>0,$X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)>M."e>0,$X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)<-M.6. 函數(shù)y=xcos x在(-¥,+¥)內(nèi)是否有界？這

37、個函數(shù)是否為當x®+¥時的無窮大？為什么？解 函數(shù)y=xcos x在(-¥,+¥)內(nèi)無界.這是因為"M>0,在(-¥,+¥)內(nèi)總能找到這樣的x,使得|y(x)|>M.例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2,×××),當k充分大時,就有| y(2kp)|>M. 當x®+¥時,函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為"M>0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x,都有|y(x)|>M. 例如(k=0,

38、 1, 2,×××),對任何大的N,當k充分大時,總有,但|y(x)|=0<M.7. 證明:函數(shù)在區(qū)間(0,1上無界,但這函數(shù)不是當x®0+時的無窮大.證明 函數(shù)在區(qū)間(0,1上無界.這是因為"M>0, 在(0, 1中總可以找到點xk,使y(xk)>M. 例如當(k=0, 1, 2,×××)時,有,當k充分大時,y(xk)>M.當x®0+時,函數(shù)不是無窮大.這是因為"M>0, 對所有的d>0,總可以找到這樣的點xk,使0<xk<d, 但y(xk)&

39、lt;M.例如可取(k=0, 1, 2,×××),當k充分大時,xk<d,但y(xk)=2kpsin2kp=0<M.習(xí)題1-51.計算下列極限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解(分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零).或 .(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解 (分子與分母的次數(shù)相同,極限為最高次項系數(shù)之比).或 .(14);解 .2. 計算下列極限:(1);解 因為,所以.(2);解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).(3).解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).3. 計算

40、下列極限:(1);解 (當x®0時,x2是無窮小,而是有界變量).(2).解 (當x®¥時,是無窮小,而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題1-61.計算下列極限:(1); 解 .(2); 解 .(3); 解 .(4); 解 .(5); 解 .或 .(6)(x為不等于零的常數(shù)). 解 .2.計算下列極限:(1); 解 .(2); 解 .(3); 解 .(4)(k為正整數(shù)). 解 .3.根據(jù)函數(shù)極限的定義,證明極限存在的準則I¢.證明 僅對x®x0的情形加以證明. 設(shè)e為任一給定的正數(shù), 由于, 故由定義知, 對e&

41、gt;0, 存在d1>0, 使得當0<|x-x0|<d1時, 恒有|g(x)-A|<e, 即A-e<g(x)<A+e.由于, 故由定義知, 對e>0, 存在d2>0, 使得當0<|x-x0|<d2時, 恒有|h(x)-A|<e, 即A-e<h(x)<A+e.取d=mind1,d2, 則當0<|x-x0|<d時,A-e<g(x)<A+e與A-e<h(x)<A+e同時成立, 又因為g(x)£f(x)£h(x),所以A-e<f(x)<A+e,即 |f(x)

42、-A|<e,因此.證明 僅對x®x0的情形加以證明. 因為,所以對任一給定的e>0, 存在d>0, 使得當0<|x-x0|<d時, 恒有|g(x)-A|<e及|h(x)-A|<e,即 A-e<g(x)<A+e及A-e<h(x)<A+e.又因為g(x)£f(x)£h(x),所以A-e<f(x)<A+e,即 |f(x)-A|<e,因此.4.利用極限存在準則證明:(1);證明 因為,而 且,由極限存在準則I,.(2);證明 因為,而,所以 .(3)數(shù)列,×××

43、;的極限存在;證明 ,(n=1, 2, 3,×××). 先證明數(shù)列xn有界. 當n=1時,假定n=k時xk<2,則當n=k+1時,所以xn<2(n=1, 2, 3,×××),即數(shù)列xn有界.再證明數(shù)列單調(diào)增.因為,而xn-2<0,xn+1>0,所以xn+1-xn>0,即數(shù)列xn單調(diào)增. 因為數(shù)列xn單調(diào)增加有上界,所以此數(shù)列是有極限的.(4);證明 當|x|£1時,則有 1+x£1+|x|£(1+|x|)n,1+x³1-|x|³(1-|x|)n,從而有.因

44、為,根據(jù)夾逼準則,有.(5).證明 因為,所以.又因為,根據(jù)夾逼準則,有.習(xí)題 1-71.當x®0時, 2x-x2與x2-x3相比, 哪一個是高階無窮?。?解 因為,所以當x®0時,x2-x3是高階無窮小,即x2-x3=o(2x-x2).2.當x®1時, 無窮小1-x和(1)1-x3,(2)是否同階？是否等價？解 (1)因為,所以當x®1時, 1-x和1-x3是同階的無窮小,但不是等價無窮小.(2)因為,所以當x®1時, 1-x和是同階的無窮小,而且是等價無窮小.3.證明: 當x®0時, 有: (1) arctan xx; (2).證

45、明 (1)因為(提示:令y=arctan x,則當x®0時,y®0),所以當x®0時, arctanxx.(2)因為,所以當x®0時,.4.利用等價無窮小的性質(zhì), 求下列極限:(1); (2)(n,m為正整數(shù));(3); (4).解 (1).(2).(3). (4)因為(x®0),(x®0),(x®0),所以 .5.證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì):(1)a a (自反性); (2) 若a b, 則ba(對稱性); (3)若a b,bg, 則ag(傳遞性).證明(1),所以a a; (2) 若a b, 則,從而.因此ba;

46、(3) 若a b,bg,.因此ag.習(xí)題1-81.研究下列函數(shù)的連續(xù)性,并畫出函數(shù)的圖形:(1);解已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù),所以函數(shù)f(x)在0, 1)和(1, 2內(nèi)是連續(xù)的.在x=1處,因為f(1)=1, 并且,.所以,從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的.綜上所述，函數(shù)f(x)在0, 2上是連續(xù)函數(shù).(2).解只需考察函數(shù)在x=-1和x=1處的連續(xù)性. 在x=-1處,因為f(-1)=-1, 并且,所以函數(shù)在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處,因為f(1)=1,并且=f(1),=f(1),所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論,函數(shù)在(-¥,-1)和(-1,+¥)內(nèi)

47、連續(xù),在x=-1處間斷,但右連續(xù).2.下列函數(shù)在指出的點處間斷,說明這些間斷點屬于哪一類,如果是可去間斷點,則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù):(1),x=1,x=2;解.因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義,所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點. 因為,所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點;因為,所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點,并且是可去間斷點.在x=1處,令y=-2,則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的.(2),x=k, (k=0,±1,±2,×××);解 函數(shù)在點x=kp(kÎZ)和(kÎZ)處無定義,因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k

48、5;0),故x=kp(k¹0)是第二類間斷點; 因為,(kÎZ),所以x=0和(kÎZ) 是第一類間斷點且是可去間斷點. 令y|x=0=1,則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的; 令時,y=0,則函數(shù)在處成為連續(xù)的.(3),x=0;解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點. 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點.(4),x=1.解 因為,所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點.3.討論函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點,判別其類型.解 . 在分段點x=-1處,因為,所以x=-1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 在分段點x=1處,因為,所以x=1為函數(shù)的第一類不可去

49、間斷點.4.證明:若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)¹0,則存在x0的某一鄰域U(x0),當xÎU(x0)時,f(x)¹0.證明 不妨設(shè)f(x0)>0.因為f(x)在x0連續(xù),所以,由極限的局部保號性定理,存在x0的某一去心鄰域,使當xÎ時f(x)>0,從而當xÎU(x0)時,f(x)>0.這就是說,則存在x0的某一鄰域U(x0),當xÎU(x0)時,f(x)¹0.5.試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子:(1)x=0,±1,±2,×××,

50、7;n,×××是f(x)的所有間斷點,且它們都是無窮間斷點;解 函數(shù)在點x=0,±1,±2,×××,±n,×××處是間斷的,且這些點是函數(shù)的無窮間斷點.(2)f(x)在R上處處不連續(xù),但|f(x)|在R上處處連續(xù);解 函數(shù)在R上處處不連續(xù),但|f(x)|=1在R上處處連續(xù).(3)f(x)在R上處處有定義,但僅在一點連續(xù).解 函數(shù)在R上處處有定義,它只在x=0處連續(xù).習(xí)題1-91.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間,并求極限,及.解 ,函數(shù)在(-¥,+¥)內(nèi)除點x=2和x=-

51、3外是連續(xù)的,所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-¥,-3)、(-3, 2)、(2,+¥).在函數(shù)的連續(xù)點x=0處,.在函數(shù)的間斷點x=2和x=-3處,.2.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點x0連續(xù),證明函數(shù)j(x)=maxf(x),g(x),y(x)=minf(x),g(x)在點x0也連續(xù).證明 已知,. 可以驗證,.因此 ,.因為 =j(x0),所以j(x)在點x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點x0也連續(xù).3.求下列極限:(1); (2);(3); (4);(5); (6); (7).解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù),f(x)在點x=0有定義,所以.(2)因為函數(shù)f(x)=(si

52、n 2x)3是初等函數(shù),f(x)在點有定義,所以.(3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù),f(x)在點有定義,所以.(4). (5). (6). (7).4.求下列極限:(1); (2); (3);(4);(5); (6).解 (1) .(2) .(3) .(4) .(5). 因為,所以. (6).5.設(shè)函數(shù), 應(yīng)當如何選擇數(shù)a,使得f(x)成為在(-¥,+¥)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？解 要使函數(shù)f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)連續(xù),只須f(x)在x=0處連續(xù),即只須.因為,所以只須取a=1.習(xí)題1-101.證明方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之

53、間.證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1,則f(x)是閉區(qū)間1, 2上的連續(xù)函數(shù). 因為f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零點定理,在(1, 2)內(nèi)至少有一點x(1<x<2),使f(x)=0,即x=x是方程x5-3x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間.2.證明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一個正根,并且它不超過a+b.證明 設(shè)f(x)=asin x+b-x,則f(x)是0,a+b上的連續(xù)函數(shù).f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-1

54、£0.若f(a+b)=0,則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根; 若f(a+b)<0,則f(0)f(a+b)<0,由零點定理,至少存在一點xÎ(0,a+b),使f(x)=0,這說明x=x也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之,方程x=asinx+b至少有一個正根,并且它不超過a+b.3.設(shè)函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間a,b上的任意兩點x、y,恒有|f(x)-f(y)|£L|x-y|,其中L為正常數(shù),且f(a)×f(b)<0.證明:至少有一點xÎ(a,b),使得f(x)=0.證明 設(shè)x0為

55、(a,b)內(nèi)任意一點.因為,所以,即 .因此f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù),在點b處右連續(xù),所以f(x)在a,b上連續(xù). 因為f(x)在a,b上連續(xù),且f(a)×f(b)<0,由零點定理,至少有一點xÎ(a,b),使得f(x)=0.4.若f(x)在a,b上連續(xù),a<x1<x2<×××<xn<b,則在x1,xn上至少有一點x,使.證明顯然f(x)在x1,xn上也連續(xù).設(shè)M和m分別是f(x)在x1,xn上的最大值和最小值.因為xiÎx1,xn(1£i£n

56、),所以有m£f(xi)£M,從而有,.由介值定理推論,在x1,xn上至少有一點x, 使.5.證明:若f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)連續(xù),且存在,則f(x)必在(-¥,+¥)內(nèi)有界.證明 令,則對于給定的e>0,存在X>0,只要|x|>X,就有|f(x)-A|<e,即A-e<f(x)<A+e.又由于f(x)在閉區(qū)間-X,X上連續(xù),根據(jù)有界性定理,存在M>0,使|f(x)|£M,xÎ-X,X.取N=maxM, |A-e|, |A+e|,則|f(x)|£N,xÎ

57、(-¥,+¥),即f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)有界.6. 在什么條件下, (a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習(xí)題一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列xn有界是數(shù)列xn收斂的_條件.數(shù)列xn收斂是數(shù)列xn有界的_的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的_條件.存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的_條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的_條件.是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的_條件. (4)f(x)當x®x0時的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的_條件.解 (1) 必要,充分. (2) 必要