相似形中開放探索性問題的探究 (2)

1、相似形中開放探索性問題的探究國際數(shù)學委員會指出“探索與發(fā)展是數(shù)學發(fā)展 的生命線”，足見探索性的重要性.由于探索性試題的題設和結論不完整，或缺少條件、結論，或需判斷符合某個條件的點、圖形是否存在，需要解題者在觀察、分析、搜集大量信息的基礎上，進行抽象、概括、判斷和猜測，然后進行說理和論證.本文以相似三角形中的問題進行研究，舉例如下：一、探索條件型這類問題一般命題的結論明確，需讀者反溯結論成立的條件.可采取逆向思維，把結論視為題設的一部分，再結合已有的條件，并輔助于圖形結構、隱含的條件進行分析探究，方可得到所需的條件.例1、（08鹽城）如圖1，兩點分別在的邊上，與不平行，當滿足 條件（寫出一個即可

2、）時，圖1分析：根據兩個三角形相似的條件結合圖形發(fā)現(xiàn)ADE與ACB有一個公共角A，所以我們只要補充一個角，或夾這個角的兩邊對應成比例即可說明ADEACB.因為DE與BC不平行因而可補充條件ADE=C或AED=B或ADAB=AEAC圖2例2、如圖2，在直角坐標系中有兩點A(4，O)，B(0,2)，如果點C在x軸上(C與 A不重合)，當點C的坐標為_或_時，使得由點B,O，C組成的三角形與AOB相似。 (至少找出兩個滿足條件的點的坐標) 分析：由于題目中兩個三角形的相似，未給出確定的相似關系，因此有兩種可能BOCAOB或COBAOB，這樣可得出兩個不同的關于邊的比例關系，即或，結合OA=4,OB=

3、2可求出OC=1，或4；又點C在x軸上(C與 A不重合)，因而點C的坐標為 (一1，O)、(1，O)、(一4,0)、(4，O).二、探索結論型這類問題有明確的已知條件，需結合圖形猜測出相應的結論，或變換命題中的部分條件探究對結論的影響.213MHGFED4例3（08年煙臺市）如圖，在RtABC內有邊長分別為的三個正方形，猜想之間的關系并說明理.猜想之間的關系為.分析：觀察圖形，EFG=C=901+CFG=CFG +3=90易得出1=3，同理根據等角的余角相等容3=4，1=4RtDEFRtGHM =，化簡得b(a+c)=b2,而b0，所以. 例4、如圖4（1），ABBD，CDBD垂足分別為B,D

4、，AD和BC相交于點E，EFBD，垂足為F我們可以說明成立.圖4（1） 若將圖2(1)中的垂直改為斜交，圖2(2)，AB/CD，AD、BC相交于點E，過E作EF/AB交BD于F，則：(1) 還成立嗎? 請說明理由。 (2)請找出SABD,SBED和SBDC間的關系式，并給出說理. 分析：(1)本題應通過閱讀、理解探尋出證明結論在垂直條件下成立的方法利用相似三角形的性質定理，實質上是運用的平行關系。因而由垂直改為平行 （AB/CD/EF）斜交時，結論成立是當然的 (2)觀察三個三角形它們有共同的底邊(BD)，欲探究它們面積關系只需尋找它們的高之間關系。為此分別過A、E、C作AMBD，ENBD，C

5、KBD垂足為M、N、K.圖3（2）易證AMBENFCKD，所以， 所以+=+=1，兩邊同乘以，便可得出+=.三、 探索規(guī)律型命題的形式常常是給出幾個具體的數(shù)、式或圖形，根據已有的知識經驗探究其中的隱含變化規(guī)律，從而猜想出一般的結論.解決此類問題一般從特殊情況、或最簡單情況入手，進行研究.例5.（山東濰坊市中考）在RtABC中， 么C=90，AC=4，BC=3 (1)如圖3四邊形DEFG為ABC的內接正方形，求正方形的邊長 (2)如圖3三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于ABC求正方形的邊長。 (3)如圖3三角形內有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內接于ABC，求正方形的

6、邊長。 (4)如圖3，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于ABC，請寫出正方形的邊長思路分析：(1)在圖3中作ABC的高CN，交GF于M，交AB于N，設正方形的邊長為x，則有，即，解之得 (2)在3中作ABC的高CN，交GF于M，交AB于N，設正方形的邊長為x，則有，即，解之得 (3)與(1)，(2)同理設每個正方形的邊長為x，可求得X=圖3 (4)觀察、分析(1)(2)(3)中得出每個正方形的邊長，適當變形為，不難發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律：分子均為60，分母為25加上12的正整數(shù)倍，依據上述特點，容易猜想出三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于ABC時，正方形的邊

7、長為.圖3圖3圖3四、 探索存在型探索存在型的問題是指在一定條件下（或給定的圖形中）判斷某種數(shù)學對象（點、圖形）是否存在的命題.解答此類問題的一般思路：先對結論作出肯定存在的假設，然后有肯定假設出發(fā)結合已知條件或圖形種隱含條件，輔助于方程思想、數(shù)形結合思想等思維方法進行計算推理，若無矛盾，則存在，否則不存在.例4(長沙市)如圖4，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3 cm， BC=7 cm，B=60,P為下底BC上一點(不與B、C重合)，連結AP過P點作PE交DC于E，使得APE=B，圖4 (1)求證：ABPPCE (2)求等腰梯形的腰AB的長； (3)在底邊BC上是否存在一點P，使得DE：

8、EC=5：3? 如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由 思路點撥 (1)由APC為ABP的外角得APC=B+BAP 又因為B=APE 所以EPC=BAP又因為B=C，所以ABPPCE (2)如圖4，過A作AFBC于F，由已知易求得BF=2 RtABF中，作斜邊AB上的中線FG，因為B=60，易知FGB 為等邊三角形，又BF=2，所以AB=4 (3)存在這樣的點P，理由如下：由DE：EC=5：3 DE+EC=DC=4得EC= 設BP=x,則PC=7-x由ABPPCE可得，即，解之得x1=1,x2=6, 經檢驗，都符合題意.所以BP=1 cm或BP=6 cm.五、探索開放性的作圖問題例5(上

9、海市)如圖5（1），44的正方形方格中，ABC的頂點A，B，C在單位正方形的頂點上請在圖中畫一個A1B1C1，使A1B1C1ABC(相似比不為1)，且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上。圖5（2）圖5（1）思路點撥 觀察網格中ABC可以發(fā)現(xiàn)ABC=135,可求出ABC的邊BC、BA的長分別為2，根據“兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似”求出A1B1C1兩邊A1B1、 B1C1的長，且使A1B1C1=135畫出A1B1C1，即為滿足條件的三角形. 由網格可求出ABC的邊長AB=，BC=2，若設相似比為或；可求得A1B1=1， B1C1=或A1B1=2， B1C1=2 ， 所以可以構造

10、出不同的符合條件的三角形見圖5（2）.點評： 當相似比確定后，A1B1C1的形狀就確定了，但A1B1C1可以有多個不同的位置而設定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形因而本題具有較強的探索性與開放性.分類討論相似三角形河北 歐陽慶紅 分類討論的思考方法廣泛地存在于相似三角形中，相似三角形中有些問題由于題設籠統(tǒng)，要進行討論；由于題情復雜，包含的內容太多，也要進行討論，分類討論一般根據其數(shù)量差異與位置差異進行分類，分類要作到不重又不漏.ABCP圖1例1 如圖1所示,在不等邊三角形ABC中,P是AB上一點,過P點作一直線,使截得的三角形與三角形ABC相似,則滿足條件的直線一共有多少條?請畫出圖形

11、.分析:可用構造法,利用“如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等,那么這兩個三角形相似”和“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構成的三角形與原三角形相似”，故過點P分別作BC，AC的平行線，或過P作與C相等的角，從而得到相似三角形.解：滿足條件的直線共有四條，如圖2所示.ABCP（1）QABCP（2）QABCP（3）QABCP（4）Q圖2例2 如圖3所示,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果邊AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，求AP的長。分析：在未明確指明相似三角形的對應頂點,要結合問題全面考慮,有時會出現(xiàn)多種情形

12、.從題意的理解可知，以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似存在兩種情形：PADPBC或PADCBP.下面通過對應邊的比相等的關系來求解.ABCDP圖3解:設AP=,則PB=7-.若PADPBC,則.即,得,符合條件.若PADCBP, 則,即,得符合條件.所以AP的長是或1或6.例2 要做兩個形狀相同的三角形框架,其中一個框架的三邊長分別是4,5,6,另一個框架的一邊長為2,怎樣選料可使這個三角形相似?下面是四名同學對上題的解答,你認為誰的解答是正確的呢?說明你的理由.甲生:解:設另一個三角形的兩邊長分別為,則有,解得即另一框架的兩邊應選取2.5、3.乙生: 解:設另一個三角

13、形的兩邊長分別為,則有,解得即另一框架的兩邊應選取1.6、2.4.丙生:解:設另一個三角形的兩邊長分別為,則有,解得即另一框架的兩邊應選取丁生: 解:設另一個三角形的兩邊長分別為,則有(1),(2) ,(3) 三種情況.解得(1) (2) (3) 分析: 遇到題目關系不明確,即沒有規(guī)定哪一邊與哪一邊對應時,要考慮各種可能情況,學會分類討論.甲、乙、丙三位同學只考慮了一種情況,邊長為2的邊與邊長為4,5,6的三邊的每一邊都可以構成對應邊,所以要分三種情況考慮,故甲、乙、丙三位同學的解答不全面,因而不正確,丁同學的解答正確.解:丁同學的解答是正確的.相似三角形探索題求解策略山西 馬志君縱觀近幾年的

14、中考題，已不再是單純的考查某部分知識的識別和性質了，而且有了新的嘗試和跨越，出現(xiàn)了許多特色題，探究型就是其中的一種，下面例談解答探究型試題的策略。 一、條件探究型例1 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG、BH，請?zhí)骄浚寒旤cE運動到AD的何位置時，BEHBAE？分析：這是一道條件探究型試題，解條件探究型題一般需要從結論入手，運用所學知識，通過觀察、聯(lián)想、分析等思維活動，尋求結論成立的條件。解：當E點是AD的中點時，BEHBAE，理由如下：ABGFHDEC）（123圖1正方形ABCD和正方形BEFGA=D

15、=FEB=90，1+2=90，2+3=901=3，又A=DABEDEH=，E是AD的中點，AE=，DE=DH=又ABEDEH=，又=BEHBAE。二、結論探究型例2 （2005年武漢市）如圖3，已知ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結DE并延長交BC的延長線于點F，聯(lián)結DC、BE，若BDE+BCE=180（1）寫出圖中相似的三角形（注意不得加字母和線）（2）請要你所找的相似三角形中選取一對，說明它們相似的理由。ABCDEF圖3分析：這是一道結論探究型試題，結論探究型試題的解題思路是：從所給的條件出發(fā)，經過探究、分析、歸納、猜想得出結論，然后對所得的結論進行證明。解：（1）通過探究可得：

16、ADEACB，AEBADC，CEFDBF，F(xiàn)EBFCD（2）請同學們從中任選一對相似三角形，自己去完成證明過程。例3 如圖4，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F，CE在F左邊，以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H（1）求PEF的長（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由。ABCDGHPQEF圖4（3）若PEF的EF在線段BC上移動，試猜想：PH與BE有何數(shù)量關系？并證明你猜想的結論。解：（1）過P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBCPQ=AB=PEF是等邊三角形PF

17、Q=60，在RtPQF中，sin60=ABCDGHP）EF圖54（23）（5786（1PF=2PEF的邊長為2（2）ABCCDA理由：矩形ABCD，ACB=CADB=D=90ABCCDA（3）猜想：PH與BE的數(shù)量關系是：PH-BE=1證明：如圖5，在RtABC中，AB=，BC=3tan1=1=30PEF是等邊三角形2=60，PF=EF=22=1+3，3=301=3，F(xiàn)C=FHPH+FH=2，BE+EF+FC=3PH-BE=1解答相似三角形探究型試題的策略山西 馬志君縱觀近幾年考查相似三角形的中考題，已不再是單純的考查相似三角形的識別和性質了，而且有了新的嘗試和跨越，出現(xiàn)了許多特色題，探究型就

18、是其中的一種，下面例談解答相似三角形探究型試題的策略。一、條件探究型例1 （2008湖北省咸寧市）如圖1DAB=CAE，請補充一個條件： ，使ABCADE。圖1分析：這是一道條件探究型試題，解條件探究型題一般需要從結論入手，運用所學知識，通過觀察、聯(lián)想、分析等思維活動，尋求結論成立的條件。解：D=B或AED=C或=。二、結論探究型例2（2008安徽?。┤鐖D2，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q。圖2（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR。分析：這是一道結論探究型試題，結論探究型試題的解題思路是：從所

19、給的條件出發(fā)，經過探究、分析、歸納、猜想得出結論，然后對所得的結論進行證明。解：（1）BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ（2）四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形BC=AD=CE，ACDE，PB=PR，=又PCDR，PCQRDQ。點R是DE中點，DR=RE=，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR=3：1：2練習題1、如圖1，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG、BH，請?zhí)骄浚哼B接，當點E運動到AD的何位置時，BEHBAE？ABGFHDEC）（123圖12、如

20、圖2，已知ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結DE并延長交BC的延長線于點F，聯(lián)結DC、BE，若BDE+BCE=180（1）寫出圖中相似的三角形（注意不得加字母和線）（2）請在你所找的相似三角形中選取一對，說明它們相似的理由。ABCDEF圖2答案：1、解：當E點是AD的中點時，BEHBAE，理由如下：正方形ABCD和正方形BEFGA=D=FEB=90，1+2=90，2+3=901=3，又A=DABEDEH=，E是AD的中點，AE=，DE=DH=又ABEDEH=，又=BEHBAE2、解：（1）通過探究可得：ADEACB，AEBADC，CEFDBF，F(xiàn)EBFCD請同學們從中任選一對相似三角形，自己去完成證明過程。中考相似三角形話探索河北 歐陽慶紅 為了考查相似三角形的有關知識，不少創(chuàng)新題型脫穎而出，其中探索型題更是值得關注，現(xiàn)舉例說明一、條件探索性問題條件探索性問題是指所給問題中結論明確,而需要完備使結論成立的條件的題目.圖1例1 （08甘肅慶陽）如圖1，D、E分別是的邊AB、AC上的點，則使的條件是 解析：本題考查了相似三角形的判定若根據兩角對應相等，兩三角形相似,添加AED=B或ADE=C;若根據兩邊對應成比例,兩三角形相似需要添加，就可以兩個三角形相似.二、結論探索性問題結論探索型問題是指題目結論不確定,不唯一,或題目結論需要通