對(duì)磁場(chǎng)中雙桿模型問題的解析

1、- 8 -電磁感應(yīng)中的雙桿運(yùn)動(dòng)問題江蘇省特級(jí)教師 戴儒京有關(guān)“電磁感應(yīng)”問題，是物理的綜合題，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，往往為物理卷的壓軸題。電磁感應(yīng)中的“軌道”問題，較多見諸雜志，而電磁感應(yīng)中的“雙桿運(yùn)動(dòng)”問題的專門研究文章，在物理教學(xué)研究類雜志還很咸見，茲舉例說明如下。例1.2006年高考重慶卷第21題21.兩根相距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的金屬直角導(dǎo)軌如題21圖所示放置，它們各有一邊在同一水平內(nèi)，另一邊垂直于水平面。質(zhì)量均為m的金屬細(xì)桿ab、cd與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，回路總電阻為2R。整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。當(dāng)ab桿

2、在平行于水平導(dǎo)軌的拉力F作用下以速度V1沿導(dǎo)軌勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd桿也正好以速度V2向下勻速運(yùn)動(dòng)。重力加速度為g。以下說法正確的是A.ab桿所受拉力F的大小為mg+B.cd桿所受摩擦力為零C.回路中的電流強(qiáng)度為D.與V1大小的關(guān)系為=【解析】因4個(gè)選項(xiàng)提出的問題皆不同，要逐一選項(xiàng)判斷A 因?yàn)閍b桿做勻速運(yùn)動(dòng)，所以受力平衡，有，其中, , , 所以, 所以F=mg+,A正確；B 因?yàn)閏d桿在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，所以cd桿受摩擦力大小為，或者，因?yàn)閏d桿所受安培力作為對(duì)軌道的壓力，所以cd桿受摩擦力大小為,總之，B錯(cuò)誤；C 因?yàn)橹挥衋b桿產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)（cd桿運(yùn)動(dòng)不切割磁感線），所以回路中的

3、電流強(qiáng)度為，C錯(cuò)誤；D 根據(jù)B中和，得=，所以D正確。本題答案為AD?！军c(diǎn)評(píng)】ab桿和cd桿兩桿在同一個(gè)金屬直角導(dǎo)軌上都做勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閍b桿切割磁感線而cd桿不切割磁感線，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是其中一個(gè)桿產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，即，而不是, 電流是，而不是。例2. 2006年高考廣東卷第20題16（16分）如圖11所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為的勻質(zhì)金屬桿和，開始時(shí)兩根金屬桿位于同一豎起面內(nèi)且桿與軌道垂直。設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為H，導(dǎo)軌寬為L(zhǎng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，金屬桿單位長(zhǎng)度的電阻為r。現(xiàn)有一質(zhì)量為的

4、不帶電小球以水平向右的速度撞擊桿的中點(diǎn)，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點(diǎn)。C點(diǎn)與桿初始位置相距為S。求：（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值；（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了多少熱量；（3）當(dāng)桿與桿的速度比為時(shí)，受到的安培力大小。【解析】設(shè)撞擊后小球反彈的速度為，金屬桿的速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律， 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分解，有由以上2式解得 代入得 回路內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為，電阻為，所以回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值為。 （2）因?yàn)樵诎才嗔Φ淖饔孟?，金屬桿做減速運(yùn)動(dòng)，金屬桿做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩桿速度大小相等時(shí)，回路內(nèi)感應(yīng)電流為0，根據(jù)能量守恒定律， 其中是兩桿速度大小相等時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，所以，代入式

5、得Q= （3）設(shè)金屬桿、速度大小分別為、，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，又，所以，。金屬桿、速度方向都向右，根據(jù)右手定則判斷、產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中方向相反，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，電流為，安培力為,所以受到的安培力大小為F=。當(dāng)然受到的安培力大小也如此，只不過方向相反。答案：16.(1) (2)Q= (3)F= 【點(diǎn)評(píng)】金屬桿、兩桿在同一個(gè)金屬U形導(dǎo)軌上都做變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相同（都向右），同一時(shí)刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在空間中的方向相同（都向外），但兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向相反，所以總電動(dòng)勢(shì)是這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)之差，即， 電流是，方向?yàn)榻饘贄U中感應(yīng)電流的方向，因?yàn)楸犬a(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大

6、，安培力是，方向都和速度方向相反（都向左）。例3. 2004年高考全國(guó)I卷第24題24.（18分）圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感強(qiáng)度B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌所在平面（紙面）向里。導(dǎo)軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1y1與x2y2為兩根用不可伸長(zhǎng)的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為m1、m2，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，已勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)作用于兩桿的重力的功率的大小

7、和回路電阻上的熱功率。【解析】（1）設(shè)x1y1與x2y2勻速向上運(yùn)動(dòng)的速度為，根據(jù)右手定則，x1y1與x2y2切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都向左，在回路中的方向相反，大小分別為和，因?yàn)?，所以總電?dòng)勢(shì)為，方向與x2y2產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相同，感應(yīng)電流為, 方向?yàn)轫槙r(shí)針，如下圖。設(shè)x1y1與x2y2受到的安培力分別為、,根據(jù)左手定則判斷安培力的方向?yàn)橄蛏?、向下，大小?、=，受力圖如下圖。根據(jù)力的平衡，有：=聯(lián)立以上各式，解得：R，所以作用于兩桿的重力的功率的大小為P R（m1m2）g。（2）回路電阻上的熱功率, 將以上式代入得2R答案：P R（m1m2）g p2R【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓷U切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)

8、勢(shì)在回路中的方向相反，所以總電動(dòng)勢(shì)為，方向與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大的相同，感應(yīng)電流為, 方向?yàn)榭傠妱?dòng)勢(shì)的方向。兩桿受到的安培力分別為、,根據(jù)左手定則判斷安培力的方向，大小為=、=。例4. 2004年高考廣東卷第15題 M 2 1 N P Q15(15分)如圖，在水平面上有兩條平行導(dǎo)電導(dǎo)軌MN、PQ,導(dǎo)軌間距離為，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在的平面（紙面）向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，兩根金屬桿1、2擺在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直，它們的質(zhì)量和電阻分別為和,兩桿與導(dǎo)軌接觸良好，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，已知：桿1被外力拖動(dòng)，以恒定的速度沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)；達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，桿2也以恒定速度沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌的電阻可忽略，求此時(shí)桿2克服

9、摩擦力做功的功率。 【解析】 根據(jù)右手定則，桿1產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向向上，則桿2中電流方向向下，桿2受的安培力向右，速度向右，設(shè)為，由于兩桿運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向相反，所以，總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 感應(yīng)電流 桿2作勻速運(yùn)動(dòng)，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， 聯(lián)立以上3式解得： 導(dǎo)體桿2克服摩擦力做功的功率 解得 【點(diǎn)評(píng)】本例中桿2中由于桿1產(chǎn)生的感應(yīng)電流流過而受安培力，才產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因?yàn)闂U2產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與桿1產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向相反，所以總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，感應(yīng)電流為，安培力為=,兩桿受的安培力大小相等、方向相反，對(duì)桿1，是阻力，對(duì)桿2，是動(dòng)力。如維持勻速運(yùn)動(dòng)，

10、桿2的速度必小于桿1的速度。例5.（2010年南京市三模第15題）如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌由傾斜和水平兩部分連接組成，導(dǎo)軌間距，傾斜角，水平部分處于磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向上，磁場(chǎng)左邊界MN與導(dǎo)軌垂直，金屬棒ab質(zhì)量，電阻,金屬棒cd質(zhì)量，電阻,導(dǎo)軌電阻不計(jì)。兩棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)。開始時(shí)，棒ab放在斜導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌高度差，棒cd放在水平導(dǎo)軌上，距MN距離為，兩棒均與導(dǎo)軌垂直，現(xiàn)將ab棒由靜止釋放。取，求：（1） 棒ab運(yùn)動(dòng)到MN處的速度大??；（2） 棒cd運(yùn)動(dòng)的最大加速度；（3） 若導(dǎo)軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒cd距MN的最小距離。解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)a

11、b棒有：，解得：（2）棒ab運(yùn)動(dòng)到MN處，棒cd運(yùn)動(dòng)的加速度最大，,所以代入數(shù)據(jù)，解得。（3）若要不相碰，兩桿最終速度相等，設(shè)為，因兩棒都是在大小相等的安培力作用下，所以兩棒的加速度大小任何時(shí)刻都相等，所以ab棒速度的減小量等于cd棒速度的增加量，即，所以，速度的變化為。設(shè)某時(shí)刻，ab棒速度為，cd棒速度為，則該時(shí)刻回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，電流為,安培力為，加速度為，對(duì)短時(shí)間，速度的變化為，當(dāng)速度變化為時(shí)，因?yàn)檫@就是在這段時(shí)間內(nèi)ab棒壁cd棒多運(yùn)動(dòng)的位移，所以。歸納總結(jié)：1. 電磁感應(yīng)中“軌道”中的“雙桿運(yùn)動(dòng)”問題，或者由于兩桿的長(zhǎng)度不同（如例3），或者由于兩桿的速度不同（如例2、例4），兩桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)往往不等。2. 兩桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向是否相同，不是看空間方向（如力的方向），而是看回