空間角的求法

1、高中數(shù)學(xué)知識(shí)專項(xiàng)系列講座（十三）空間角的求法（1）定義法求解空間角的大小，一般都是根據(jù)有關(guān)角的定義（如異面直線所成的角、斜線和平面所成的角、二面角的平面角），把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來求解的。例1、如圖，在棱長為2的正方體中，是底面的中心，E、F分別是、的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）ABCDEFMO圖2BACDEFO圖1A、B、C、D、解：（方法一）如圖2，取的中點(diǎn)M，連結(jié)MOO為底面中心，O為BD中點(diǎn)，從而FO為的中位線，四邊形為平行四邊形，故（或其補(bǔ)角）即為異面直線和OE所成的角。在中，OE 由余弦定理得： 故選B（方法二）如圖3，取的中點(diǎn)N，連結(jié)NF、，易知NFEO，（或

2、其補(bǔ)角）即為異面直線和OE所成的角。在中，由余弦定理得： 故選BBACDEFO圖3NBACDEFO圖4PQ(方法三) 如圖4，設(shè)BC中點(diǎn)為P，PC中點(diǎn)為Q，連結(jié)、EQ、OQ、OP，易知（或其補(bǔ)角）即為異面直線和OE所成的角。在中，由余弦定理得 故選B點(diǎn)評(píng)：求異面直線所成的角，一般都是通過“選點(diǎn)平移”將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為其面相交的兩直線的夾角來完成，但要特別注意兩條異面直線所成的角的范圍是。例2如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=PC,E是PC中點(diǎn)。（1）證明PA平面EDB；BPEDAC圖5PECDABOF圖6（2）求EB與底面ABCD所成的角的

3、正切值。（1）證明：如圖6，連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO，底面ABCD為正方形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)。在中，EO是中位線，又平面EDB，且平面EDB，平面EDB（2）解：作交DC于F，連結(jié)BF，設(shè)正方形ABCD的連長為。底面ABCD，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故為直線EB與底面ABCD所成的角。在中： ，中，EB與底面ABCD所成的角的正切值為。點(diǎn)評(píng)：求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是抓射影，而由斜線上一點(diǎn)作平面的垂線時(shí)，需要確定垂足的位置，然后再將這個(gè)角放在三角形中利用三角形的邊角關(guān)系求解。例3、如圖7，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD

4、交于點(diǎn)E，C1B于BC1交于點(diǎn)F。（1）求證：AC1平面BDC1；B1C1圖7ABCDFA1D1BHB1C1圖8ABCDFA1D1（2）求二面角B-EF-C的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（1）證明：底面ABCD，在底面ABCD的射影，又， 同理 AC1平面BDC1（2）解：如圖8，取EF的中點(diǎn)H，連BH、CH。 同理是二面角B-EF-C的平面角。又E、F分別是AC、的中點(diǎn)，是兩個(gè)全等的正三角形，故：。 二面角B-EF-C的大小為點(diǎn)評(píng)：求兩平面所成二面角的大小，一般是先根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，然后在三角形中求解。（2）垂線法當(dāng)已知條件中出現(xiàn)二面角中的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)半平

5、面的垂線時(shí)（或雖未給出這樣的垂線，但由已知條件能夠作出這樣的垂線），可依據(jù)三垂線定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解。例7、如圖16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。（1） 求證：AM平面BDE；（2） 求證：AM平面BDF；（3） 求二面角ADFB的大小；MCDABEF圖17OMCDABEF圖16MCDABEF圖19GHMCDABEF圖18（1）證明：如圖17，連AC、BD交于點(diǎn)O，連EO，矩形AFEC的邊長AF=1，AC=2。分別為AC與EF的中點(diǎn)，四邊形AOEM是平行四邊形，又OE平面BDE，AM平面BDE，平面BDE。（2）證

6、明：如圖18，平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影為OF。 ，AOMF是正方形，由三垂線定理得：同理：，平面BDF。（3）解：設(shè)，由（2）知平面BDF。如圖19，作交DF于G，連結(jié)GH，由三垂線定理知，是二面角A-DF-B的平面角。又，。二面角A-DF-B的大小為點(diǎn)評(píng)：利用三垂線定理或其逆定理作二面角的關(guān)鍵是找垂線，即過其中一個(gè)半平面內(nèi)的一點(diǎn)作與另一個(gè)半平面垂直的直線。例8、如圖20，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為棱AA1的中點(diǎn)，P是BC上的一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線

7、長；（2）PC和NC的長；（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）MCAA1B1C1BNP圖22P1HMCAA1B1C1BNP圖21P1MCAA1B1C1BNP圖20解：（1）正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長為（2）如圖21，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)1200使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連結(jié)MP1，則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點(diǎn)M的最短路線。 設(shè)PC=，則在中，由勾股定理得：（3）如圖22，連結(jié)PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線。作于H，又平面ABC，連結(jié)CH，由三

8、垂線定理得：，。在中，故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為點(diǎn)評(píng)：當(dāng)兩個(gè)平面的交線不清楚的時(shí)候，首先應(yīng)探求出這兩個(gè)平面的交線（即棱），然后才能求其二面角的大小。（3）垂面法在求解二面角的問題中，若能找到或者作出棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角。例9、如圖23，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)。（1）證明：平面PED平面PAB圖23（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值。 (1)證明：底面ABCD是菱形AB=AD，DAB=60°，ADB為等邊三角形又E是AB中點(diǎn)，ABDE又PD面ABCD，

9、PE在平面ABCD上的射影為DE，ABPE（三垂線定理）PEDE=E，AB面PEDAB面PAB，面PED面PAB圖24(2)解：AB平面PED，PE面PED,ABPE.如圖24，連接EF，EF面PED，ABEFPEF為二面角P-AB-F的平面角設(shè)PD=AD=，則PF=FD=，DE=，二面角P-AB-F的平面角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：這里由已知條件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故運(yùn)用垂面法可順利找出二面角的平面角。例10、如圖25，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于D，E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的大小。解

10、： SB=BC且E是SC的中點(diǎn)，又，平面BDE，又SA平面ABC，SABD，平面SAC又DE，DC分別是棱BD的垂面SAC與二面角的兩個(gè)半平面BDE，SABCDE圖25BDC的交線即為所求二面角的平面角。 SA底面ABC，設(shè)SA=，則AB=，BC=SB=，又。在RtSAC中，SCA30°，EDC60°，故所求二面角的大小為60°點(diǎn)評(píng)：找到二面角的平面角后，求解其大小時(shí)，這里并沒有拘泥于CDE，而是巧妙地運(yùn)用了所求角與SCA的互余關(guān)系進(jìn)行求解，這樣做，簡化了運(yùn)算。圖26ABC（4）公式法求空間角的大小，有時(shí)可以直接根據(jù)一些公式來求解。公式1 如圖26，若斜線AB與平

11、面內(nèi)直線AC所成的角為，是AB與平面所成的角，是AB在內(nèi)的射影與AC的夾角，則。此公式揭示了平面內(nèi)的一條直線和平面的斜線及其在平面內(nèi)的射影這三條直線所成角之間的關(guān)系，運(yùn)用它可以求線面夾角。例11、正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（ ）BPACDO圖27A75°B60°C45°D30°解：如圖27，作平面ABCD，連結(jié)AO，PAO就是側(cè)棱與底面所成的角，根據(jù)公式1可得，即：側(cè)棱與底面所成的角為點(diǎn)評(píng)：此題由已知條件很容易看出，故可直接利用公式1求解，類似于此題的一些選填題，利用公式1會(huì)非常方便、快捷。公式2 設(shè)的面積為，在平面上的射影

12、面積為，所在平面與平面所成的角為，則，該定理稱為面積射影定理，利用該定理可以來求一些二面角的大?。ㄔ摴綄?duì)任意的多邊形也同樣適用）例12、如圖28，在正三棱柱中，AB=2，AA1=2，M為AA1的中點(diǎn)，求平面C1MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小。解：設(shè)平面C1MB與平面ABC所成二面角為銳角，則ABCA1B1C1M圖28又，又，即平面C1MB與平面ABC所成二面角為450。點(diǎn)評(píng)：由于本題中平面C1MB與平面ABC的交線不是很明顯，因此要作出二面角的平面角有一定難度，這里利用面積射影定理，將求二面角大小的問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形和面積，化難為易，實(shí)現(xiàn)了從立體幾何到平面幾何的轉(zhuǎn)化。PABMN

13、圖29公式3 在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作出垂直于棱AB的兩條異面直線MP與（如圖29），則這兩條異面直線所成的角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)。故可用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：來求二面角的大小。例13、如圖30，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M.圖31（）求證CD平面BDM；圖30（）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.（）證明：如圖31，連結(jié)CA1、AC1、CM，則CA1= CB=CA1=，CBA1為等腰三角形，又知D為其底邊A1B的中點(diǎn)， CDA1B. A1C1=1，C1B

14、1=，A1B1= 又BB1=1，A1B=2. A1CB為直角三角形，D為A1B的中點(diǎn)， CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M. CDMCC1M，CDM=CC1M=90°，即CDDM. 因?yàn)锳1B、DM為平在BDM內(nèi)兩條相交直線，所以CD平面BDM.（）解：設(shè)F、G分別為BC、BD的中點(diǎn)，連結(jié)B1G、FG、B1F，則FG/CD，F(xiàn)G=CD. FG=，F(xiàn)GBD. 由側(cè)面矩形BB1A1A的對(duì)角線的交點(diǎn)為D知BD=B1D=A1B=1， 所以BB1D是邊長為1的正三角形. 于是B1GBD，B1G= B1GF是所求二面角的平面角， 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（

15、=， 即所求二面角的大小為點(diǎn)評(píng)：異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式在用來求二面角的大小時(shí)，統(tǒng)一演變?yōu)?，它可以看成是空間的余弦定理，這時(shí)就表示上述背景下二面角的大小。圖32PABDC公式4 如圖32，在三棱錐P-ABC中，設(shè)PC，AC，BC兩兩互相垂直，是二面角P-AB-C的平面角設(shè)，則，應(yīng)用此式可以使求二面角的問題得到一個(gè)新穎便捷的解法。例14、如圖33，在棱長為的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）。ABCO圖33解：設(shè)BF，三棱錐的體積：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。在三棱錐中，設(shè)二面角=，由已知條件知兩兩垂直，三棱錐

16、的體積取得最大值時(shí)，故有.應(yīng)用公式，可得，則故當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，二面角的大小為點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用該公式，可以避開作二面線的平面角所帶來的麻煩，把求二面角的問題轉(zhuǎn)化為較易解決的線面角的問題。(5)向量法(文科可選用)利用向量的知識(shí)來求空間角，有時(shí)會(huì)非常簡捷。例4、如圖9,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值.ABCDA1B1C1D1EF圖10ABCDA1B1C1D1EF圖9解：如圖10，以A為原點(diǎn)， 、分別為x軸、y軸、

17、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有：D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），C1（4，3，2）。于是：（3，0） 、（1，3，2）、=（，2，2）設(shè)向量 =（）與平面C1DE垂直，則有整理得 其中取，則是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量與平面垂直.為二面角C-DE-C1的平面角（2）設(shè)EC1與FE1所成的角為，則點(diǎn)評(píng)：利用空間向量求二面角時(shí)沒有必要一定要從棱上同一點(diǎn)出發(fā)引垂直于棱的垂線，只需用兩個(gè)面的法向量（垂向量）表示即可，而求異面直線所成的角也只需用這兩條異面直線所表示的向量來表示即可。例5、如圖11，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的

18、中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.(1)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(2)設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；·B1PACDA1C1D1BOH圖12AZ·B1PACDA1C1D1BOH·圖11(1)解：平面BCC1B，與平面BCC1B1所成的角即為如圖12，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為D，A（4，0，0），P（0，4，1），B（4，4，0）直線AP與平面BCC1B1所成的角為（2）連結(jié)D1O，由（1）有D1（0，0，4），O（2，2，4），平面D1AP的斜線D1O在這個(gè)平面內(nèi)的射影是D1H，點(diǎn)評(píng)：由于此題的背景是正方體，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于容易作出空間直角坐標(biāo)系的圖形，作出坐標(biāo)系容易求解且準(zhǔn)確率較高，空間問題一般采用空間向量法解決，顯得簡捷明快。例6、如圖13,已知四棱錐PABCD，PBAD，側(cè)面PAD為邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與平面ABCD所成的二面角為120o。（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（2）求面APB與面CPB所成的二面角的大小。OE圖14圖13解：（1）如圖14，作平面ABCD，垂足為點(diǎn)O，連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE。 于是OB平分