2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分48分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否則一律得零分1（4分）設(shè)全集U=R若集合=1，2，3，4，=x|2x3，則U= 2（4分）若復(fù)數(shù)z滿足3z+=1+i，其中i是虛數(shù)單位，則z= 3（4分）若線性方程組的增廣矩陣為解為，則c1c2= 4（4分）若正三棱柱的所有棱長均為a，且其體積為16，則a= 5（4分）拋物線y2=2px（p0）上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p= 6（4分）若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，則其母線與軸的夾角的大小為 7（4分）方程

2、log2（9x15）=log2（3x12）+2的解為 8（4分）在報名的3名男老師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）9已知點 P和Q的橫坐標(biāo)相同，P的縱坐標(biāo)是Q的縱坐標(biāo)的2倍，P和Q的軌跡分別為雙曲線C1和C2若C1的漸近線方程為y=±x，則C2的漸近線方程為 10（4分）設(shè)f1（x）為f（x）=2x2+，x0，2的反函數(shù)，則y=f（x）+f1（x）的最大值為 11（4分）在（1+x+）10的展開式中，x2項的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）12（4分）賭博有陷阱某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片

3、中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）若隨機(jī)變量1和2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則 E1E2= （元）13（4分）已知函數(shù)f（x）=sinx若存在x1，x2，xm滿足0x1x2xm6，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|=12（m2，mN*），則m的最小值為 14在銳角三角形 A BC中，tanA=，D為邊 BC上的點，A BD與ACD的面積分別為2和4過D作D EA B于 E，DFAC于F，則= 二、選擇題（本大題共有4題，滿分

4、15分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15（5分）設(shè)z1，z2C，則“z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1z2是虛數(shù)”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件16（5分）已知點A的坐標(biāo)為（4，1），將OA繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則點B的縱坐標(biāo)為（）ABCD17記方程：x2+a1x+1=0，方程：x2+a2x+2=0，方程：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正實數(shù)當(dāng)a1，a2，a3成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程無實根的是（）A方程有實根，且有實根B方程有實根，且無實根

5、C方程無實根，且有實根D方程無實根，且無實根18（5分）設(shè) Pn（xn，yn）是直線2xy=（nN*）與圓x2+y2=2在第一象限的交點，則極限=（）A1BC1D2三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19（12分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點，證明A1、C1、F、E四點共面，并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小20（14分）如圖，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米現(xiàn)甲、乙兩警員同時從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過t小時，他們

6、之間的距離為f（t）（單位：千米）甲的路線是AB，速度為5千米/小時，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時乙到達(dá)B地后原地等待設(shè)t=t1時乙到達(dá)C地（1）求t1與f（t1）的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米當(dāng)t1t1時，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t）在t1，1上的最大值是否超過3？說明理由21（14分）已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S（1）設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標(biāo)表示點C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2x2y1|；（2）設(shè)l1與l2的斜率之積為，求面積S

7、的值22（16分）已知數(shù)列an與bn滿足an+1an=2（bn+1bn），nN*（1）若bn=3n+5，且a1=1，求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)an的第n0項是最大項，即aan（nN*），求證：數(shù)列bn的第n0項是最大項；（3）設(shè)a1=0，bn=n（nN*），求的取值范圍，使得an有最大值M與最小值m，且（2，2）23（18分）對于定義域為R的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）=0，f（T）=4（1）驗證g（x）=x+sin是以6為

8、周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)ab，證明對任意cf（a），f（b），存在x0a，b，使得f（x0）=c；（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在0，T上得解，”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間T，2T上的解”，并證明對任意x0，T，都有f（x+T）=f（x）+f（T）2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有14題，滿分48分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否則一律得零分1（4分）設(shè)全集U=R若集合=1，2，3，4，=x|2x3，則U=1，4【解答】解：全集U=R，集合=1，2，3，4，=x|2x3，（UB

9、）=x|x3或x2，A（UB）=1，4，故答案為：1，42（4分）若復(fù)數(shù)z滿足3z+=1+i，其中i是虛數(shù)單位，則z=【解答】解：設(shè)z=a+bi，則=abi（a，bR），又3z+=1+i，3（a+bi）+（abi）=1+i，化為4a+2bi=1+i，4a=1，2b=1，解得a=，b=z=故答案為：3（4分）若線性方程組的增廣矩陣為解為，則c1c2=16【解答】解：由題意知，是方程組的解，即，則c1c2=215=16，故答案為：164（4分）若正三棱柱的所有棱長均為a，且其體積為16，則a=4【解答】解：由題意可得，正棱柱的底面是變長等于a的等邊三角形，面積為aasin60°，正棱柱的

10、高為a，（aasin60°）a=16，a=4，故答案為：45（4分）拋物線y2=2px（p0）上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p=2【解答】解：因為拋物線y2=2px（p0）上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，所以=1，所以p=2故答案為：26（4分）若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，則其母線與軸的夾角的大小為【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐的側(cè)面積為：rl，過軸的截面面積為：rh，圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，l=2h，設(shè)母線與軸的夾角為，則cos=，故=，故答案為：7（4分）方程log2（9x15）=log2（3x12）+2的解為2

11、【解答】解：log2（9x15）=log2（3x12）+2，log2（9x15）=log24×（3x12），9x15=4（3x12），化為（3x）2123x+27=0，因式分解為：（3x3）（3x9）=0，3x=3，3x=9，解得x=1或2經(jīng)過驗證：x=1不滿足條件，舍去x=2故答案為：28（4分）在報名的3名男老師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為120（結(jié)果用數(shù)值表示）【解答】解：根據(jù)題意，報名的有3名男老師和6名女教師，共9名老師，在9名老師中選取5人，參加義務(wù)獻(xiàn)血，有C95=126種；其中只有女教師的有C65=6種情況；則男、女

12、教師都有的選取方式的種數(shù)為1266=120種；故答案為：1209已知點 P和Q的橫坐標(biāo)相同，P的縱坐標(biāo)是Q的縱坐標(biāo)的2倍，P和Q的軌跡分別為雙曲線C1和C2若C1的漸近線方程為y=±x，則C2的漸近線方程為【解答】解：設(shè)C1的方程為y23x2=，設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入y23x2=，可得4y23x2=，C2的漸近線方程為4y23x2=0，即故答案為：10（4分）設(shè)f1（x）為f（x）=2x2+，x0，2的反函數(shù)，則y=f（x）+f1（x）的最大值為4【解答】解：由f（x）=2x2+在x0，2上為增函數(shù)，得其值域為，可得y=f1（x）在上為增函數(shù)，因此y=f（x）+f1（

13、x）在上為增函數(shù)，y=f（x）+f1（x）的最大值為f（2）+f1（2）=1+1+2=4故答案為：411（4分）在（1+x+）10的展開式中，x2項的系數(shù)為45（結(jié)果用數(shù)值表示）【解答】解：（1+x+）10 =，僅在第一部分中出現(xiàn)x2項的系數(shù)再由，令r=2，可得，x2項的系數(shù)為故答案為：4512（4分）賭博有陷阱某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）若隨機(jī)變量1和2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則 E1E2=0.2（元

14、）【解答】解：賭金的分布列為112345P所以 E1=（1+2+3+4+5）=3，獎金的分布列為：若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為1，則有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為2，則有（1，3），（2，4），（3，5），3種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為3，則有（1，4），（2，5），2種，若兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值為4，則有（1，5），1種，則P（2=1.4）=，P（2=2.8）=，P（2=4.2）=，P（2=5.6）=21.42.84.25.6P所以 E2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=

15、2.8，則 E1E2=32.8=0.2元故答案為：0.213（4分）已知函數(shù)f（x）=sinx若存在x1，x2，xm滿足0x1x2xm6，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|=12（m2，mN*），則m的最小值為8【解答】解：y=sinx對任意xi，xj（i，j=1，2，3，m），都有|f（xi）f（xj）|f（x）maxf（x）min=2，要使m取得最小值，盡可能多讓xi（i=1，2，3，m）取得最高點，考慮0x1x2xm6，|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|=12，按下圖取值即可滿足條件，m的最小值為8

16、故答案為：814在銳角三角形 A BC中，tanA=，D為邊 BC上的點，A BD與ACD的面積分別為2和4過D作D EA B于 E，DFAC于F，則=【解答】解：如圖，ABD與ACD的面積分別為2和4，可得，又tanA=，聯(lián)立sin2A+cos2A=1，得，cosA=由，得則=故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分15分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15（5分）設(shè)z1，z2C，則“z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1z2是虛數(shù)”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件【解答】解：

17、設(shè)z1=1+i，z2=i，滿足z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)，則z1z2=1是實數(shù)，則z1z2是虛數(shù)不成立，若z1、z2都是實數(shù)，則z1z2一定不是虛數(shù)，因此當(dāng)z1z2是虛數(shù)時，則z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1z2是虛數(shù)”的必要不充分條件，故選：B16（5分）已知點A的坐標(biāo)為（4，1），將OA繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則點B的縱坐標(biāo)為（）ABCD【解答】解：點 A的坐標(biāo)為（4，1），設(shè)xOA=，則sin=，cos=，將OA繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則OB的傾斜角為+，則|OB|=|OA|=，則點B的縱坐標(biāo)為y=|OB|sin（

18、+）=7（sincos+cossin）=7（×+）=+6=，故選：D17記方程：x2+a1x+1=0，方程：x2+a2x+2=0，方程：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正實數(shù)當(dāng)a1，a2，a3成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程無實根的是（）A方程有實根，且有實根B方程有實根，且無實根C方程無實根，且有實根D方程無實根，且無實根【解答】解：當(dāng)方程有實根，且無實根時，1=a1240，2=a2280，即a124，a228，a1，a2，a3成等比數(shù)列，a22=a1a3，即a3=，則a32=（）2=，即方程的判別式3=a32160，此時方程無實根，故選：B18（5分）設(shè) Pn（x

19、n，yn）是直線2xy=（nN*）與圓x2+y2=2在第一象限的交點，則極限=（）A1BC1D2【解答】解：當(dāng)n+時，直線2xy=趨近于2xy=1，與圓x2+y2=2在第一象限的交點無限靠近（1，1），而可看作點 Pn（xn，yn）與（1，1）連線的斜率，其值會無限接近圓x2+y2=2在點（1，1）處的切線的斜率，其斜率為1=1故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19（12分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點，證明A1、C1、F、E四點共面，并求直線CD1與

20、平面A1C1FE所成的角的大小【解答】解：連接AC，因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF是ABC的中位線，所以EFAC由長方體的性質(zhì)知ACA1C1，所以EFA1C1，所以A1、C1、F、E四點共面以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得，設(shè)平面A1C1EF的法向量為則，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小arcsin20（14分）如圖，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米現(xiàn)甲、乙兩警員同時從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過t小時，他們之間的距離為f（t）（單位：千米

21、）甲的路線是AB，速度為5千米/小時，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時乙到達(dá)B地后原地等待設(shè)t=t1時乙到達(dá)C地（1）求t1與f（t1）的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米當(dāng)t1t1時，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t）在t1，1上的最大值是否超過3？說明理由【解答】解：（1）由題意可得t1=h，設(shè)此時甲運動到點P，則AP=v甲t1=5×=千米，f（t1）=PC=千米；（2）當(dāng)t1t時，乙在CB上的Q點，設(shè)甲在P點，QB=AC+CB8t=78t，PB=ABAP=55t，f（t）=PQ=，當(dāng)t1時，乙在B點不動，設(shè)此時甲在點P，f（t）=PB=ABAP=55tf（t）

22、=當(dāng)t1時，f（t）0，故f（t）的最大值沒有超過3千米21（14分）已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S（1）設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標(biāo)表示點C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2x2y1|；（2）設(shè)l1與l2的斜率之積為，求面積S的值【解答】解：（1）依題意，直線l1的方程為y=x，由點到直線間的距離公式得：點C到直線l1的距離d=，因為|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2x2y1|；當(dāng)l1與l2時的斜率之一不存在時，同理可知結(jié)論成立；（2）方法一：設(shè)直線l

23、1的斜率為k，則直線l2的斜率為，設(shè)直線l1的方程為y=kx，聯(lián)立方程組，消去y解得x=±，根據(jù)對稱性，設(shè)x1=，則y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2x2y1|=方法二：設(shè)直線l1、l2的斜率分別為、，則=，所以x1x2=2y1y2，=4=2x1x2y1y2，A（x1，y1）、C（x2，y2）在橢圓x2+2y2=1上，（）（）=+4+2（+）=1，即4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2x2y1）2=，即|x1y2x2y1|=，所以S=2|x1y2x2y1|=22（16分）已知數(shù)列an與bn滿足an+1an=2（bn+1bn），nN*（1）若bn=3n+5

24、，且a1=1，求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)an的第n0項是最大項，即aan（nN*），求證：數(shù)列bn的第n0項是最大項；（3）設(shè)a1=0，bn=n（nN*），求的取值范圍，使得an有最大值M與最小值m，且（2，2）【解答】（1）解：an+1an=2（bn+1bn），bn=3n+5，an+1an=2（bn+1bn）=2（3n+83n5）=6，an是等差數(shù)列，首項為a1=1，公差為6，則an=1+（n1）×6=6n5；（2）an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（bnbn1）+2（bn1bn2）+2（b2b1）+a1=2bn+a12b1，數(shù)列bn的第n0項是最大

25、項；（3）由（2）可得，當(dāng)10時，單調(diào)遞減，有最大值；單調(diào)遞增，有最小值m=a1=，（2，2），當(dāng)=1時，a2n=3，a2n1=1，M=3，m=1，（2，2），不滿足條件當(dāng)1時，當(dāng)n+時，a2n+，無最大值；當(dāng)n+時，a2n1，無最小值綜上所述，（，0）時滿足條件23（18分）對于定義域為R的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）=0，f（T）=4（1）驗證g（x）=x+sin是以6為周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)ab，證明對任意cf（a），f（b），存在x0a，b，使得f（x0）=c；（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在0，T上得解，”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間T，2T上的解”，并證明對任意x0，T，都有f（x+T）=f（x）+f（T）【解答】解：（1）g（x）=x+sin；=cosg（x）g（x）是以6為周期的余弦周期函