醫(yī)用高等數(shù)學第五章課件學習教案

1、會計學1醫(yī)用高等數(shù)學第五章課件醫(yī)用高等數(shù)學第五章課件第一頁，共131頁。abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形（求曲邊梯形(txng)(txng)的面積）的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 第2頁/共131頁第二頁，共131頁。abxyoabxyo用矩形面積近似取代用矩形面積近似取代(qdi)曲邊梯形曲邊梯形面積面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近(jijn)曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形（四個小矩形(jxng)）（九個小矩形）（九個小矩形）第3

2、頁/共131頁第三頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形矩形(jxng)面積和與曲邊梯形面積的關系面積和與曲邊梯形面積的關系播放播放(b fn)第4頁/共131頁第四頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意觀察下列演示過程，注意(zh y)當分割加細時當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第5頁/共131頁第五頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意觀察下列演示過程，注意(zh y)當分割加細當分割加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第6頁/共131頁第六頁，共131頁。觀

3、察下列演示過程觀察下列演示過程(guchng)，注意當分割加，注意當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第7頁/共131頁第七頁，共131頁。觀察下列演示觀察下列演示(ynsh)過程，注意當分割加細時，過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第8頁/共131頁第八頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割觀察下列演示過程，注意當分割(fng)加細加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第9頁/共131頁第九頁，共131頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加細時下

4、列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第10頁/共131頁第十頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積矩形面積(min j)和與曲邊梯形面積和與曲邊梯形面積(min j)的關的關系系第11頁/共131頁第十一頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積矩形面積(min j)和與曲邊梯形面積和與曲邊梯形面積(min j)的關系的關系第12頁/共131頁第十二頁，共131頁。觀察下列演示觀察下列演示(ynsh)過程，注意當分割加過程，注意當

5、分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第13頁/共131頁第十三頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形矩形面積和與曲邊梯形(txng)面積的關系面積的關系第14頁/共131頁第十四頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形矩形(jxng)面積和與曲邊梯形面積的關系面積和與曲邊梯形面積的關系第15頁/共131頁第十五頁，共131頁。觀察下列演示觀察下列演示(ynsh)過程，注意當分割加細時，過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積

6、的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第16頁/共131頁第十六頁，共131頁。觀察下列演示觀察下列演示(ynsh)過程，注意當分割加細時，過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第17頁/共131頁第十七頁，共131頁。觀察下列演示過程，注意當分割觀察下列演示過程，注意當分割(fng)加細加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第18頁/共131頁第十八頁，共131頁。觀察下列演示過程觀察下列演示過程(guchng)，注意當分割加細，注意當分割加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第1

7、9頁/共131頁第十九頁，共131頁。曲邊梯形曲邊梯形(txng)如圖所如圖所示，示，,1210bxxxxxabann 個分點，個分點，內插入若干內插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx 第20頁/共131頁第二十頁，共131頁。iniixfA )(1 曲邊梯形曲邊梯形(txng)面積的近似值為面積的近似值為iniixfA )(lim1

8、0 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細當分割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形曲邊梯形(txng)面積面積為為第21頁/共131頁第二十一頁，共131頁。設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( ibxx

9、xan10定義定義(dngy) niiixfS1并作和第22頁/共131頁第二十二頁，共131頁。怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函被積函數(shù)數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分積分(jfn)上限上限積分下限積分下限積分積分(jfn)和和第23頁/共131頁第二十三頁，共131頁。注意注意

10、(zh y)：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.第24頁/共131頁第二十四頁，共131頁。 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理(dngl)1(dngl)1稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .第25頁/共131

11、頁第二十五頁，共131頁。, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形曲邊梯形(txng)的面積的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積(min j)的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 第26頁/共131頁第二十六頁，共131頁。幾何幾何(j h)意義意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 第27頁/共131頁第二十七頁，共131頁。例例1 1 利用定

12、義計算利用定義計算(j sun)(j sun)定積定積分分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第28頁/共131頁第二十八頁，共131頁。nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 第29頁/共131頁第二十九頁，共131頁。對定積分對定積分(jfn

13、)的補充規(guī)定的補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明(shumng) 在下面的性質中，假定定積分都存在在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限，且不考慮積分上下限(xixin)的大小的大小第30頁/共131頁第三十頁，共131頁。證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質可以推廣到有限（此性質可以推廣到有限

14、(yuxin)多個函數(shù)作和的情況）多個函數(shù)作和的情況）性質性質(xngzh)1(xngzh)1第31頁/共131頁第三十一頁，共131頁。 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質(xngzh)2(xngzh)2第32頁/共131頁第三十二頁，共131頁。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)(

15、 cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分（定積分(jfn)對于積分對于積分(jfn)區(qū)間具有可加區(qū)間具有可加性）性）則則假設假設bca 性質性質(xngzh)3(xngzh)3第33頁/共131頁第三十三頁，共131頁。dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質性質(xngzh)4(xngzh)4性質

16、性質(xngzh)5(xngzh)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，第34頁/共131頁第三十四頁，共131頁。例例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是(ysh)dxex 20.20dxx 第35頁/共131頁第三十五頁，共131頁。性質性質(xngzh)5(xngzh)5的的推論：推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba

17、)( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）第36頁/共131頁第三十六頁，共131頁。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質性質(xngzh)5(xngzh)5的推論：的推論：（2）第37頁/共131頁第三十七頁，共131頁。設設M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm

18、 ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質（此性質(xngzh)可用于估計積分值的大致范圍）可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質性質(xngzh(xngzh)6)6第38頁/共131頁第三十八頁，共131頁。例例 2 2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第39頁/共1

19、31頁第三十九頁，共131頁。如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間由閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函數(shù)的介上連續(xù)函數(shù)的介值定理知值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質性質(xngzh)7(xngzh)7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分積分(jfn)中值公式中值公式第40頁/共131頁第四十頁，共131頁。在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxx

20、fba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分積分(jfn)中值公式的幾何解釋：中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。第41頁/共131頁第四十一頁，共131頁。例例 4 4 設設)(xf可導，且可導，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分由積分(jfn)中值定理知有中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2

21、)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第42頁/共131頁第四十二頁，共131頁。定積分的實質：特殊定積分的實質：特殊(tsh)和式的極限和式的極限定積分定積分(jfn)的思想和方法：的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限第43頁/共131頁第四十三頁，共131頁。3 3定積分定積分(jfn)(jfn)的性質的性質（注意估值性質、積分中值定理（注意估值性質、積分中值定理(dn

22、gl)的應用的應用）4 4典型典型(dinxng)(dinxng)問題問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大小（）不計算定積分比較積分大小第44頁/共131頁第四十四頁，共131頁。思考題思考題將和式極限將和式極限(jxin)： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示表示(biosh)成定成定積分積分.第45頁/共131頁第四十五頁，共131頁。思考題解答思考題解答(jid)原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 第46頁/共131頁第四十六頁

23、，共131頁。第47頁/共131頁第四十七頁，共131頁。變速直線運動中位置函數(shù)與速度變速直線運動中位置函數(shù)與速度(sd)函數(shù)函數(shù)的聯(lián)系的聯(lián)系變速變速(bin s)直線運動中直線運動中路程為路程為 21)(TTdttv 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時是時間間隔間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內所經過的路程求物體在這段時間內所經過的路程.另一方面這段路程另一方面這段路程(lchng)可表示可表示為為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中第48頁

24、/共131頁第四十八頁，共131頁。 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設上連續(xù)，并且設x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察考察(koch)定積分定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分積分(jfn)上限函數(shù)上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，第49頁/共131頁第四十九頁，共131頁。ab xyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函

25、數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導導數(shù)數(shù)，且且它它的的導導數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限積分上限(shngxin)函數(shù)的性質函數(shù)的性質xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x第50頁/共131頁第五十頁，共131頁。 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分由積分(jfn)中值定理中值定理得得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第51頁/共131頁第五十一頁

26、，共131頁。 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數(shù)數(shù))(xF 為為補充補充(bchng) )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF第52頁/共131頁第五十二頁，共131頁。例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 2

27、1cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.第53頁/共131頁第五十三頁，共131頁。定理定理(dngl) 3(dngl) 3（微積分基本公式（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證第54頁/共131頁第五十四

28、頁，共131頁。令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓(ni dn)萊布尼茨公式萊布尼茨公式第55頁/共131頁第五十五頁，共131頁。)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式微積分基本公式(gngsh)表明：表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意(zh y)當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxf

29、ba 仍成立仍成立.求定積分求定積分(jfn)問題轉化為求原函數(shù)的問題問題轉化為求原函數(shù)的問題.第56頁/共131頁第五十六頁，共131頁。例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例3 3 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12第57頁/共131頁第五十七頁，共131頁。例例5 5 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函

30、函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積(min j)(min j)xyo 0sinxdxA 0cosx. 2 第58頁/共131頁第五十八頁，共131頁。3.微積分基本微積分基本(jbn)公公式式1.積分積分(jfn)上限函數(shù)上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)(hnsh)的導數(shù)的導數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系之間的關系第59頁/共131頁第五十九頁，共131頁。思考題思考題 設設)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則

31、則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導導數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？第60頁/共131頁第六十頁，共131頁。思考題解答思考題解答(jid)dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 第61頁/共131頁第六十一頁，共131頁。二、分部二、分部(fn b)積分法積分法三、小結三、小結(xioji)第62頁/共131頁第六十二頁，共131頁。定理定理(dngl) 假假設設（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù)

32、)(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)；（3 3）當）當t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .第63頁/共131頁第六十三頁，共131頁。應用換元公式應用換元公式(gngsh)時應注意時應注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相

33、減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時時，積積分分限限也也相相應應的的改改變變.第64頁/共131頁第六十四頁，共131頁。例例1 1 計算計算(j (j sun)sun).sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sinxdxdt 第65頁/共131頁第六十五頁，共131頁。例例2 2 計算計算(j sun)(j sun)解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)si

34、n1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 第66頁/共131頁第六十六頁，共131頁。證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,第67頁/共131頁第六十七頁，共131頁。 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxx

35、f00)()()(. 0 第68頁/共131頁第六十八頁，共131頁。奇函數(shù)奇函數(shù)例例4 4 計算計算(j sun)(j sun)解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位單位(dnwi)圓的圓的面積面積第69頁/共131頁第六十九頁，共131頁。證證（1）設）設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t第70頁/共131頁第七十頁，共131頁。 20)(sindxxf 022sindttf 20)(

36、cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設）設tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft第71頁/共131頁第七十一頁，共131頁。 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf第72頁/共131頁第七十二頁，共131頁。 設設函函數(shù)數(shù))(xu、)

37、(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導(tudo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv第73頁/共131頁第七十三頁，共131頁。例例6 6 計算計算(j sun)(j sun).arcsin210 xdx解解令令,arcsinxu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsinxdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12

38、312 則則第74頁/共131頁第七十四頁，共131頁。例例7 7 計算計算(j sun)(j sun)解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 第75頁/共131頁第七十五頁，共131頁。例例8 8 計算計算(j sun)(j sun)解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)

39、2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 第76頁/共131頁第七十六頁，共131頁。幾個特殊幾個特殊(tsh)積分、定積分的幾個等積分、定積分的幾個等式式1.定積分定積分(jfn)的換元法的換元法dxxfba )(dtttf )()(2.定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）第77頁/共131頁第七十七頁，共131頁。思考題思考題1指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯錯誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解令令,sectx ,4332: t,sectant

40、dttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 第78頁/共131頁第七十八頁，共131頁。思考題解答思考題解答(jid)計算計算(j sun)中第二步是錯誤的中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確正確(zhngqu)解法是解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 第79頁/共131頁第七十九頁，共131頁。思考題思考題2設設)(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2

41、(dxxfx.第80頁/共131頁第八十頁，共131頁。思考題解答思考題解答(jid) 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 第81頁/共131頁第八十一頁，共131頁。第四節(jié)第四節(jié) 定積分定積分(jfn)(jfn)的近似計的近似計算算( (自學自學) )一、矩形一、矩形(jxng)(jxng)法法二、梯形二、梯形(txng)(txng)法法三、拋物線法三、拋物線法第82頁/共131頁第八十二頁，共131頁。第五節(jié)第五節(jié) 廣義廣義(gungy)(gungy)積分積分一、無窮(w

42、qing)限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分第83頁/共131頁第八十三頁，共131頁。這時稱廣義積分這時稱廣義積分 收斂；若極限不存收斂；若極限不存在，稱廣義積分在，稱廣義積分 發(fā)散發(fā)散. . dxxfa dxxfa babdx)x(flim dxxfa 一、無窮限的廣義(gungy)積分第84頁/共131頁第八十四頁，共131頁。類似地，設函數(shù)類似地，設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取bt ，如果極限，如果極限 bttdx)x(flim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(.

43、. bdxxf)(.dx)x(flimbtt 這時稱這時稱 收斂；若極限不存在，稱收斂；若極限不存在，稱 發(fā)散發(fā)散. . dxxfb dxxfb 第85頁/共131頁第八十五頁，共131頁。 設設)(xf在在),( 上連續(xù)上連續(xù), ,若若 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂， 則稱上述兩廣義積分之和為都收斂， 則稱上述兩廣義積分之和為)(xf在在),( 上 的 廣 義 積 分 ， 記 作上 的 廣 義 積 分 ， 記 作 dxxf)(，即，即 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0ttdx)x(flim.dx)x(flimtt 0第86頁/共131頁第八十六頁，共131頁。兩極

44、限均存在稱兩極限均存在稱 收斂，兩極限至少收斂，兩極限至少有一個不存在稱有一個不存在稱 發(fā)散發(fā)散. dxxf dxxf 上述各廣義(gungy)積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義(gungy)積分， 簡稱無窮積分. 第87頁/共131頁第八十七頁，共131頁。 .FFtFlimtFlimdxxftt說明說明(shumng) (shumng) （1）設 ，則 xfxF dxxfa ；aFFaFtFlimt ；FbFtFlimbFt dxxfb第88頁/共131頁第八十八頁，共131頁。解解 . 100 xxedxe例例1 計算廣義積分計算廣義積分 . dxex0 這個廣義積分值的幾這個廣義積分值的幾t時，圖

45、中陰影部時，圖中陰影部其面積卻有極限值其面積卻有極限值1 1 .分向左無限延伸，但分向左無限延伸，但何意義是何意義是, ,當當yxo1txey 第89頁/共131頁第八十九頁，共131頁。解解 00 xdxsinxdxsindxxsin.xcosxcos00極限不存在極限不存在 dxxsin是發(fā)散的是發(fā)散的 例例2 計算廣義積分計算廣義積分 . dxxsin若認為積分區(qū)間關于原點對稱，被積函數(shù)若認為積分區(qū)間關于原點對稱，被積函數(shù)為為奇函數(shù)，按定積分公式計算就錯了奇函數(shù)，按定積分公式計算就錯了.第90頁/共131頁第九十頁，共131頁。 ,dxxflimdxxfBABA這里這里A A與與B B是

46、相互獨立的是相互獨立的. . （2 2）當）當 為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時, , 不能按不能按積積分區(qū)間關于原點對稱的定積分處理為零。因為分區(qū)間關于原點對稱的定積分處理為零。因為 xf dxxf第91頁/共131頁第九十一頁，共131頁。. .dxxflimdxxfbtatba 即即二、無界函數(shù)的廣義(gungy)積分 定義定義 設設 在在 上連續(xù)，在點上連續(xù)，在點 的右鄰的右鄰 域內無界域內無界 ,取取 ，若，若 存在，則稱此極存在，則稱此極 限為限為 在在 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 b ,aat dxxflimbtat xf b ,a dxxfba xfa這時稱廣義積分這時稱廣義積分

47、 收斂收斂；若極限不存在，；若極限不存在，稱廣義積分稱廣義積分 發(fā)散發(fā)散. dxxfba dxxfba 第92頁/共131頁第九十二頁，共131頁。 類似地，設類似地，設 在在 上連續(xù)，在點上連續(xù)，在點 的的左鄰域內無界，取左鄰域內無界，取 ，若，若 存存在，則稱此極限為在，則稱此極限為 在在 上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 ，即，即 xf b ,abbt dxxflimtabt xf b ,a dxxfba . dxxflimdxxftabtba 這時稱廣義積分這時稱廣義積分 收斂；若極限不存在，收斂；若極限不存在，稱廣義積分稱廣義積分 發(fā)散發(fā)散. dxxfba dxxfba 第93頁

48、/共131頁第九十三頁，共131頁。 設設 在在 上除點上除點 外連續(xù)，在點外連續(xù)，在點 的的鄰域內無界，若廣義積分鄰域內無界，若廣義積分 和廣義積分和廣義積分 都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為 在在 上的廣義積分，記為上的廣義積分，記為 ， xf b ,acc dxxfca dxxfbc xf b ,a dxxfba .dxxflimdxxflimbtcttact dxxfdxxfdxxfbccaba 即即第94頁/共131頁第九十四頁，共131頁。這時稱廣義積分這時稱廣義積分 收斂，若上述兩極限收斂，若上述兩極限至少有一個不存在，則稱廣義積分至少有一個不存在

49、，則稱廣義積分 發(fā)發(fā)散散. dxxfba dxxfba 說明說明(shumng) （1 1）在定義中在定義中 在點在點 的鄰域內都無的鄰域內都無界，這些點均為界，這些點均為 的無界間斷點，也稱為的無界間斷點，也稱為 的瑕點，故無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分的瑕點，故無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分. . xfc , b ,a xf xf xfxF（2）設）設，則則當當 為為 的瑕點時，的瑕點時， ax xf ；aFbFtFlimbFdxxfatba第95頁/共131頁第九十五頁，共131頁。當當 為為 的瑕點時，的瑕點時， bx xf ,aFbFaFtFlimdxxfbtba,當當 為為 的瑕點

50、時的瑕點時 cx xf,bca dxxfdxxfdxxfbccaba cFcFaFbF第96頁/共131頁第九十六頁，共131頁。例例4 4 計算廣義積分 . axadx022.arctanatarctanlimxadxata20022解解 ， 是瑕點， 221xalimaxax 第97頁/共131頁第九十七頁，共131頁。這個廣義積分的幾何意義是當這個廣義積分的幾何意義是當 時，時，圖中陰影部分趨近于圖中陰影部分趨近于 的面積值的面積值. . atax yxotaa1221xay第98頁/共131頁第九十八頁，共131頁。例例5 5 計算廣義積分計算廣義積分 . dxx20211解解 因為因

51、為 ，所以，所以 是瑕點是瑕點， 2111xlimx1xdxxdxxdxx212102202111111而而 ， 111111102tlimdxxt所以所以 發(fā)散發(fā)散. dxx20211第99頁/共131頁第九十九頁，共131頁。. 注注：若按定積分計算（不考慮若按定積分計算（不考慮 是瑕點是瑕點),),就會導致以下的錯誤就會導致以下的錯誤. . 1x.xdxx2111120202(3)(3)若積分區(qū)間若積分區(qū)間(q jin)(q jin)是有限的，必須先考察是有限的，必須先考察是定積分還是瑕積分，如是瑕積分而按定積分計是定積分還是瑕積分，如是瑕積分而按定積分計算就會出現(xiàn)錯誤，即使是按定積分求

52、得的結果與算就會出現(xiàn)錯誤，即使是按定積分求得的結果與按瑕積分求得的結果相同，前者的概念也是錯誤按瑕積分求得的結果相同，前者的概念也是錯誤的的. . 第100頁/共131頁第一百頁，共131頁。例例6 6 考察廣義積分考察廣義積分 的斂散性的斂散性. . 010pdxxp解解 是瑕點，積分區(qū)間是無窮區(qū)間，是瑕點，積分區(qū)間是無窮區(qū)間， 0 xa,dxxdxxdxxapapp011100第101頁/共131頁第一百零一頁，共131頁。先考察先考察 的斂散性的斂散性. . 010pdxxap當當 時，時， 1p0atlnlimalndxxta001當當 時，時， 1p0apptaptalimpdxx1

53、10011111011p,p,pap第102頁/共131頁第一百零二頁，共131頁。 當當 時收斂，當時收斂，當 時發(fā)散；時發(fā)散； dxxap0110 p1p再考察再考察 的斂散性的斂散性. . 01pdxxap當當 時，時， 1p0a,alntlnlimdxxta1當當 時，時， 1p0apptapatlimpdxx11111第103頁/共131頁第一百零三頁，共131頁。10111p,p,papdxxap11p10 p 當 時收斂(shulin)，當 時發(fā)散. 則廣義積分則廣義積分 發(fā)散發(fā)散. . dxxp01(4)(4)若積分區(qū)間是無窮區(qū)間，被積函數(shù)是無界若積分區(qū)間是無窮區(qū)間，被積函數(shù)是

54、無界函數(shù)的廣義積分，應把廣義積分分拆函數(shù)的廣義積分，應把廣義積分分拆(fn (fn chi)chi)成幾項，使每項是單純的無窮積分或瑕成幾項，使每項是單純的無窮積分或瑕積分，再按各自的積分方法計算積分，再按各自的積分方法計算. . 第104頁/共131頁第一百零四頁，共131頁。傳染病分析傳染病分析(fnx)(fnx)在傳染病流行期間人們被傳染患病的速度可以近似地在傳染病流行期間人們被傳染患病的速度可以近似地表示為表示為 rt這里這里 的單位是人的單位是人/ /天，天， 為傳染病開始流行的天數(shù)。為傳染病開始流行的天數(shù)。 （1 1）什么時候）什么時候(sh hou)(sh hou)人們患病速度人

55、們患病速度最快？最快？（2 2）共有多少）共有多少(dusho)(dusho)人患病？人患病？tter5 . 01000第105頁/共131頁第一百零五頁，共131頁。05001000)1000(5 . 05 . 05 . 0ttttteeter解解（1 1）設在）設在 t t 時刻人們時刻人們(rn men)(rn men)患病速度最快患病速度最快，由題意得，由題意得解得解得2t解得解得)21 (4000ex（2 2）設當）設當 共有共有 x 人患病人患病，由題意得，由題意得dttext205 . 010002t第106頁/共131頁第一百零六頁，共131頁。三、小結三、小結(xioji)(

56、xioji)無窮無窮(wqing)(wqing)限的廣義積限的廣義積分分無界函數(shù)的廣義無界函數(shù)的廣義(gungy)(gungy)積分積分第107頁/共131頁第一百零七頁，共131頁。一、一、 定積分定積分(jfn)應用的微元法應用的微元法二、用定積分二、用定積分(jfn)求平面圖形的面積求平面圖形的面積三、用定積分三、用定積分(jfn)(jfn)求旋轉體的體求旋轉體的體積積四、平面曲線的弧長四、平面曲線的弧長第108頁/共131頁第一百零八頁，共131頁。變力沿直線變力沿直線(zhxin)所做的功所做的功 badxxFW)(已知質點已知質點(zhdin)的運動速度，求質點的運動速度，求質點(

57、zhdin)的運動路程的運動路程 badttvs)( badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dA面積元面積元素素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則dxxfdAA)( ，第109頁/共131頁第一百零九頁，共131頁。用定積分來計算用定積分來計算(j sun)的量的量A具有以下特具有以下特點：點：1量量A與函數(shù)與函數(shù) f(x)及及x的變化的變化(binhu)區(qū)間區(qū)間 a, b有關。有關。1 若若 f(x)常數(shù)，則常數(shù)，則 A= f(x)(ba)。1量量A對區(qū)間對區(qū)間(q jin)具有可加性。即：把具有可加性。即

58、：把a，b分成分成若干若干1 部分區(qū)間部分區(qū)間(q jin)， 則則 A相應地被分成了許多部分相應地被分成了許多部分量之和。量之和。1在區(qū)間在區(qū)間 a, b的任一個子區(qū)間的任一個子區(qū)間x, x+x 上，上， 部分量部分量Af (x)x。第110頁/共131頁第一百一十頁，共131頁。設設A A是可用定積分是可用定積分(jfn)(jfn)表達的量，則計算量表達的量，則計算量A A的步驟為的步驟為：定積分定積分(jfn)(jfn)的微元法的微元法 選擇函數(shù)選擇函數(shù) f(x)，并確定自變量，并確定自變量 x 的變化的變化(binhu)區(qū)間區(qū)間a, b; 在在a, b內考慮典型小區(qū)間內考慮典型小區(qū)間x

59、, x+dx，求出相應于這個小，求出相應于這個小區(qū)間的部分量區(qū)間的部分量A的近似值的近似值 f(x)dx。稱。稱f(x)dx為量為量A的微的微元，記為元，記為dA= f(x)dx。 計算計算 A= badxxf)(應用方向：應用方向： 平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長；平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長；功、水壓力、功、水壓力、 引力和平均值等引力和平均值等第111頁/共131頁第一百一十一頁，共131頁。（1 1） 曲線曲線),0)()(xfxfybxax ,及及 Ox軸所圍軸所圍圖形圖形，如下圖，如下圖，面積微元面積微元xxfAd)(d，面積，面積baxxfAd)(. . O y x

60、 x x d x a b ) ( x f y 用微元法將平面圖形的面積表示用微元法將平面圖形的面積表示(biosh)(biosh)成定積分成定積分第112頁/共131頁第一百一十二頁，共131頁。x O y x x d x a ) ( x f y ) ( x g y b （2 2） 由上、 下兩條曲線由上、 下兩條曲線)()()(),(xgxfxgyxfy及及bxax ,所圍成的圖形所圍成的圖形，如下，如下圖，圖，面積微元面積微元,d)()(dxxgxfA，面積，面積baxxgxfAd)()(. . 第113頁/共131頁第一百一十三頁，共131頁。O y x y c d ( )xy ( )x