子主題三 數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用

1、子主題三 數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知道幾種不同的進(jìn)位制，了解不同進(jìn)制之間的共同點和差異，理解常見的數(shù)學(xué)符號所表示的意義，會用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系 在應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)符號的意義，知道字母表示數(shù)，初步感知在實際問題中建立兩個量的對應(yīng)關(guān)系，方程的思想方法，分類討論的方法，在交流中提高探究問題的能力及合作學(xué)習(xí)的能力 通過數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，體驗數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生和演變的必要，增進(jìn)對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解和認(rèn)識；通過主題探究活動，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，增強(qiáng)合作與交流的意識重難點分析探究數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，理解字母和數(shù)學(xué)符號能表示什么，體會字母表示數(shù)的方法、方程的思想、分類的方法；了解生活中的非十進(jìn)制事

2、例，并會用符號表示這些非十進(jìn)制數(shù)靈活運(yùn)用字母表示數(shù)量，理解“巧算年齡”的基本原理，并依其原理進(jìn)行拓展；理解非十進(jìn)制的計數(shù)原理和運(yùn)算法則活動建議方案數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用活動建議方案一、活動流程框圖數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用巧算出生日期不同的進(jìn)位制二、活動過程2.1活動1：巧算出生日期2.1.1活動任務(wù)本子主題主要探究數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，理解字母和數(shù)學(xué)符號能表示什么，探索數(shù)學(xué)符號和電腦知識的聯(lián)系探究活動按照一般探究活動的步驟，依分組合作、操作實驗、交流總結(jié)、歸納發(fā)現(xiàn)的流程，在活動中還要對新發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行探究，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，訓(xùn)練思維的靈活性和開放性2.1.2活動內(nèi)容第一步：引入探究任務(wù)教師為學(xué)生計

3、算出生日期，同時提出探究任務(wù)：出生日期是怎么計算出來的第二步：學(xué)生分組探究此活動的組織中，要注意讓學(xué)生思考自己的研究方法，可以從如下幾個方面為學(xué)生的探究過程提出建議：第一，讓學(xué)生嘗試計算自己的是生日，看看得到怎樣結(jié)果第二，觀察計算結(jié)果，和自己的生日進(jìn)行比較，兩者之間有什么聯(lián)系？第三，用字母代表生日的月份和日期，并代入計算，注意推導(dǎo)過程中式子和結(jié)果有什么特點第四，思考一下，用字母符號表示數(shù)量的有什么優(yōu)勢？第五，讓學(xué)生將小組的探究過程記錄下來，根據(jù)“過程性評價表”對自己小組的探究活動進(jìn)行評價第三步：交流總結(jié)選擇一個小組進(jìn)行全班交流，交流研究過程和結(jié)果，并由其他小組匯報小組以評價，互相補(bǔ)充完善，教師

4、總結(jié)探究結(jié)果和研究方法第四步：自編題目學(xué)生在前面探究的基礎(chǔ)上自行設(shè)計一個類似的計算方法如計算年齡，計算家庭人口數(shù)等第五步（選做）：探究資源中給出的其他拓展問題學(xué)生學(xué)有余力時可以進(jìn)行拓展探究參考資料某月某日是星期幾的心算方法 在上小學(xué)時，有一位同學(xué)做過這樣一個游戲：他讓別人隨便說出當(dāng)年的某一月某一日，他不用看日歷就能很快、準(zhǔn)確地說出這天是星期幾有人拿來了一本日歷，與他試驗了幾次果然他每次都說得很快也很準(zhǔn)大家知道他不可能把一年三百六十五天每天星期幾都背下來，所以他的本事引起了人們很大的興趣    后來他公開了他的計算方法：他心里記住了十二個數(shù)字，這十二個數(shù)字分別對應(yīng)于

5、當(dāng)年的十二個月要計算當(dāng)年的某月某日是星期幾，只要用那日的日數(shù)加上那月所對應(yīng)的數(shù)字，然后除以7，余幾就是星期幾，恰好除盡就是星期日   那年的十二個月所對應(yīng)的數(shù)字依次是    1，4，4，0，2，5，0，3，6，1，4，6碰巧，1991年的十二個月所對應(yīng)的數(shù)字依次也是這十二個數(shù)字下面就以1991年為例具體地談一下這種方法   我們先要把下表中的各數(shù)牢牢地記在心里：1991年的月份123456789101112各月對應(yīng)的數(shù)字144025036146例如要計算1991年6月25日是星期幾我們心里想到6月份對應(yīng)的

6、數(shù)字是5，就用25加上5，得到30；再用30除以7，余2，則1991年6月25日是星期二    再如，要計算1991年9月1日是星期幾9月對應(yīng)的數(shù)字是6，167，7除以7沒有余數(shù)，所以1991年9月1日是星期日    可見，只要心里熟記144025036146這一串?dāng)?shù)字，就能算出1991年的幾月幾日是星期幾144025036146這一串?dāng)?shù)字是從哪兒來的呢？它們就是分別所對應(yīng)的月份的上一個月的最后一天的星期數(shù)例如，1991年1月31日是星期四，所以1991年2月份對應(yīng)的數(shù)字就是4每月1日的星期數(shù)，當(dāng)然是頭一天（即上個月的最后一天）的星期

7、數(shù)的基礎(chǔ)上加上1；以后每過1天，星期數(shù)就增加1；7天一個周期（即一個星期），所以很容易想通這個方法    為了找出1992年12個月份所對應(yīng)的各個數(shù)字，也就只需記下1992年每個月份的上一個月的最后一天是星期幾利用年歷容易查得下表：1992年的月份123456789101112各月對應(yīng)的數(shù)字256240251361    例如要計算1992年8月15日是星期幾我們查到1992年8月份對應(yīng)的數(shù)字是5，15520，20除以7余6，所以1992年8月15日是星期六    平年每年有365天36552×

8、71，即：平年每年有52個星期零1天所以，如果連續(xù)兩年都是平年，則第二年每月對應(yīng)的數(shù)字就是在第一年對應(yīng)月份對應(yīng)的數(shù)字的基礎(chǔ)上加上1   閏年的2月有29天閏年全年365天，是52個星期零兩天從閏年的3月份開始的連續(xù)12個月中，每個月對應(yīng)的數(shù)字等于一年前同一月份對應(yīng)的數(shù)字加上2    例如，1992年是閏年1992年3月至12月各月對應(yīng)的數(shù)字都等于1991年對應(yīng)月份的數(shù)字加上2從1992年3月份到1993年2月份才滿12個月，所以1993年1月和2月對應(yīng)的數(shù)字也分別等于1992年1月和2月對應(yīng)的數(shù)字加上2（逢7變0，逢8變1） 

9、;   1993年是平年從1993年3月份開始，直到下一個閏年（1996年）的2月份，每個月所對應(yīng)的數(shù)字都等于一年前同一月份所對應(yīng)的數(shù)字加上12.1.3活動組織方式教師提出活動任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生先獨立思考，完成探究任務(wù)，再和組內(nèi)的同學(xué)進(jìn)行交流；全班交流、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果2.1.4活動評價方式兩個活動都結(jié)束后，采用學(xué)生自評和教師評價相結(jié)合的方式進(jìn)行評價學(xué)生根據(jù)過程性學(xué)習(xí)評價表和效果測試題對自己的探究過程和學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價；教師根據(jù)學(xué)生課堂上的探究情況，參考學(xué)生完成的效果測試題對學(xué)生進(jìn)行評價2.1.5所需學(xué)習(xí)資源巧算出生日期（1）.swf巧算出生日期（2）.

10、swf巧算小組成員人數(shù).swf車牌號碼之謎.swf數(shù)字黑洞.doc符形數(shù)謎符號謎.doc某月某日是星期幾的心算方法.doc神奇的“無8數(shù)” .doc數(shù)字的回文.doc美麗的數(shù)字梯形.doc奇妙的自然數(shù)平方鏡反數(shù).doc數(shù)學(xué)皇冠上的明珠哥德巴赫猜想.doc不可思議的平方和.doc2.1.6所需學(xué)習(xí)時間20分鐘2.2活動2：不同的進(jìn)位制2.2.1活動任務(wù)本子主題主要探究數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，理解字母和數(shù)學(xué)符號能表示什么，探索數(shù)學(xué)符號和電腦知識的聯(lián)系探究活動按照一般探究活動的步驟，依分組合作、操作實驗、交流總結(jié)、歸納發(fā)現(xiàn)的流程，在活動中還要對新發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行探究，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，訓(xùn)練

11、思維的靈活性和開放性2.2.2活動內(nèi)容第一步：老師提出問題，請學(xué)生討論常用的十進(jìn)制的原理，包括符號的個數(shù)、計數(shù)法則、計算法則；第二步：請同學(xué)思考其他進(jìn)制的例子，例如時間單位間的7進(jìn)制、12進(jìn)制、60進(jìn)制等，請同學(xué)試著按照這些進(jìn)制一些運(yùn)算，討論這些進(jìn)制下的符號個數(shù)、計數(shù)法則、計算法則；第三步：老師介紹了2進(jìn)制、5進(jìn)制、8進(jìn)制、12進(jìn)制、16進(jìn)制、20進(jìn)制等，進(jìn)一步認(rèn)識各種進(jìn)制中的原理，包括符號的個數(shù)、計數(shù)的原理和計算法則參考資料1十進(jìn)位值制中國的發(fā)明隨著社會的發(fā)展，需要計算財產(chǎn)的數(shù)目，這促使人們創(chuàng)造數(shù)的名稱和記數(shù)方法由于計算大數(shù)的需要，慢慢地各種進(jìn)位制也就應(yīng)運(yùn)而生其中十進(jìn)制始終是主流我國早在原始

12、社會就形成了十進(jìn)制系統(tǒng)，距今6000年前的西安半坡村人和陜西姜寨人已掌握了一到九的全部數(shù)目，而且會刻畫符號如用表示5，表示6，表示7，表示8，表示9，表示10，表示20據(jù)史料也可以認(rèn)為，在5000年以前原始社會的中國人至少已經(jīng)掌握了30以內(nèi)的自然數(shù)，而且是一個十進(jìn)制系統(tǒng)我國數(shù)的概念大約形成于新石器時代末期，距今約4600年以前我國上古時期知道算數(shù)的就有伏羲、倕、商高、周公、榮方、陳子等人，說明距今4600年到2000年這段時間里，我國不僅已經(jīng)有了數(shù)的概念，而且有了算數(shù)的專家，至遲到商代我國就有了完整的十進(jìn)位值制系統(tǒng)，有了固定的大數(shù)名稱十、百、千、萬至少可以寫出三萬以內(nèi)的任意自然數(shù)，殷契粹縮中記

13、有：“其三萬”的數(shù)字后來到春秋戰(zhàn)國時代又出現(xiàn)了億、兆、京、垓等單位，都是十進(jìn)制的例如書經(jīng)中言及“兆民”，逸周書世俘篇中有：“凡武王俘商舊玉億有百萬”，這證明古代是十萬為一億，是十進(jìn)制數(shù)，不像我們現(xiàn)在這樣規(guī)定的“萬萬為億”，現(xiàn)在我們采用的進(jìn)制其實是我國古代的三種進(jìn)制的結(jié)合使用歷史傳說紛紜，呂氏春秋的勿射篇中說：“黔如為慮首，史言作算之始也”，世本中記載：“隸首作算數(shù)”“隸首”、“慮首”都指的是一些善算者數(shù)術(shù)記遺中寫道：“隸首注術(shù)，乃有多種”及“黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉”“十等”指億、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載十個大數(shù)名稱“三等”指大數(shù)有三種進(jìn)位制下數(shù)十進(jìn)位，中數(shù)萬進(jìn)位，上數(shù)則“

14、數(shù)窮則變”，即上數(shù)是“萬萬為億，億億為兆，兆兆為京，”我們將這三等數(shù)列表比較就是下面的關(guān)系：萬億兆京垓秭壤溝澗正載上等104108101610321064101281025610512101024102048104096中等104108101210161020102410281032103610401044下等10410510610710810910101011101210131014從表中我們可以看出，下等數(shù)完全是十進(jìn)制的我國最先能用九個數(shù)字表示任意大的數(shù)，并且知道用空位來表示零，是完整的十進(jìn)位值制春秋戰(zhàn)國時期普片使用籌算，十進(jìn)位值制就更加明確了世界各國各地區(qū)所創(chuàng)造出來的記數(shù)方法，各有優(yōu)點，

15、但遠(yuǎn)比不上我國十進(jìn)位值制記數(shù)法看了下文您就清楚古巴比倫人，用楔形符號記數(shù)他們用一種斷面呈三角形的小木條當(dāng)筆，在泥板上按不同方向刻出楔形符號，而且只由兩個基本符號（表示1）和（表示10）構(gòu)成，這樣一來，就表示2，表示3，或表示4，表示11，表示12，表示20.古巴比倫人的記數(shù)法是六十進(jìn)位值制，他們不僅懂得滿六十向高位進(jìn)一位，還懂得位置制，一個數(shù)碼表示的數(shù)要看它所處的位置來決定，在第一位表示1，在第二位表示60，在第三位則表示3600，要表示3664，就刻成，其中這一堆算第一位，表示4，表示第二位和第三位，右邊的表示60，左邊的表示3600，加起來就是3664.這是距今4000多年以前的東西，是很

16、了不起不過有些時候也令人分辨不清，因為它的某位上可以有一堆符號，也可以只有一個符號，所以到底是表示3664還是124呢？很難說如果把算作第二位，它就表示120，而不是3660，另外他們規(guī)定表示100，那么就表示300，即表示100×3，表示1000，即100的十倍，表示10000，即100×10×10，這到底算什么進(jìn)位制呢？又像是十進(jìn)制了，也有些叫人分辨不清還有，它沒有零的符號，也是個缺點古埃及有象形文字，用（1豎）表示1，用（一根錘骨）表示10，用或（一卷繩）表示100，（一朵蓮花）表示1000，（一個伸著的手指）或（彎著的手指）表示10000，（一只鳥）表示1

17、00000，（一個受驚的人）表示1000000，表示10000000.這種記數(shù)方法是十進(jìn)制，不過他們還不懂得位置制，所以計算起來非常麻煩，例如把3420寫成，就得畫9個符號才行，要表示數(shù)689就得畫23個符號才行因為他們雖然懂得十進(jìn)制，但不懂得位置制，無法簡便，同時他們也沒有表示零的符號古希臘人數(shù)字也很笨重，他們用的符號是13表示為，18是，50寫成.，500寫成，3420表示為，表示689也要用一長串符號他們也是只懂得十進(jìn)制而不懂得位置制到公元5世紀(jì)，希臘人采用了字母記數(shù)法，他們把頭9個字母表示19，接著的9個字母表示100900，并規(guī)定在任何數(shù)的前面劃一道，就表示原數(shù)的1000倍，這樣一來

18、，大數(shù)雖好寫，但計算困難，而一旦把字母全部用完了，這給代數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來困難，不好再把字母代表任何數(shù)了古羅馬的記數(shù)符號有于是20表示為，1987表示為也很笨拙，做加減法都很困難會做乘除法簡直是專家了他們也是吃了不懂位置制的虧但12世紀(jì)以前的歐洲流行這種方法，還有國家知道16世紀(jì)還用公元初年中美洲的瑪雅人的記數(shù)方法也很有趣，他們只用三個符號（點、橫和橢圓）就可以寫出任意自然數(shù)“·”表示1.“”表示5，加一個橢圓表示放大20倍，加第二個橢圓表示乘以18瑪雅人懂得位置制，但是他們使用的是20進(jìn)制，基數(shù)很大，符號比較少，使用也不方便從以上介紹我們知道，古代巴比倫和瑪雅的記數(shù)法，不是十進(jìn)制埃及、

19、希臘、羅馬等地雖使用十進(jìn)制，但沒有使用位置制所以盡管他們有各自的優(yōu)勢，也克服不了其致命的缺點，他們不能把十進(jìn)制和位置制統(tǒng)一于一體，記數(shù)不能做到簡便，運(yùn)算就更麻煩了相比之下顯得我們的祖先聰明多了，一開始就知道結(jié)合使用位置制，這是我國古人對世界數(shù)學(xué)的一項杰出的貢獻(xiàn)公元6世紀(jì)以前，印度人還不懂得位置制，印度關(guān)于位置制的最早刻板記錄見于公元595年，比我國約晚了2000年但印度人學(xué)習(xí)了我國的記數(shù)方法后，創(chuàng)造了一套數(shù)字，8世紀(jì)印度數(shù)字傳到阿拉伯，阿拉伯?dāng)?shù)字是由希臘和印度數(shù)字傳入而發(fā)展形成的有了阿拉伯?dāng)?shù)字，十進(jìn)位值制得到了最后的完善表達(dá)形式2其他進(jìn)制二進(jìn)制是計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和

20、1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn)。當(dāng)前的計算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)。20世紀(jì)被稱作第三次科技革命的重要標(biāo)志之一的計算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，其運(yùn)算模式正是二進(jìn)制.一只手有5個手指，表示數(shù)“5”五進(jìn)制以羅馬數(shù)字為代表，大寫字母“V”表示5，實際上是一個手掌的形象（4指合并，大拇指分開）羅馬數(shù)字每增五，就創(chuàng)立一個新的符號，如1、2、3、4的符號是I、II、III、IIII，5的符號不是IIIII而是V；6、7、8、9的符號分別是VI、VII、VIII、VIIII，10的符號是X，表示兩只手VV，后來又改為一上一下，變?yōu)閄，這就是5進(jìn)制數(shù)碼的雛形一直到1800年，德國農(nóng)民日歷還用5進(jìn)制