微積分下復(fù)習(xí)大綱

1、微積分（下）教案第六章定積分教學(xué)目的和要求：1、了解定積分的概念及存在定理，理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理2、掌握牛頓 -萊布尼茲公式，掌握定積分的換元法和分部積分法3、理解兩種廣義積分的概念并掌握它們的求法4、理解定積分的應(yīng)用并掌握它們的求法重點(diǎn)：1、 牛頓 -萊布尼茲公式2、 定積分的換元法和分部積分法難點(diǎn)：1、 定積分的概念2、 積分上限函數(shù)的概念與應(yīng)用3、 定積分的換元法和分部積分法中的技巧第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)教學(xué)目的和要求：1 、通過(guò)曲邊梯形的面積以及變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程實(shí)例引入定積分的概念，從中領(lǐng)會(huì)從有限到無(wú)限、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的

2、能力。2、使學(xué)生掌握定積分的概念和存在定理，并通過(guò)例題使學(xué)生學(xué)會(huì)如何處理和解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。3、理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理重點(diǎn)：定積分的概念教學(xué)過(guò)程：一、問(wèn)題的提出1、幾何上，曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形的特征（2）面積的計(jì)算方法2、物理上，變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程注：讓學(xué)生比較兩個(gè)問(wèn)題的共性（ 1）解決問(wèn)題步驟相同（ 2）所求量的結(jié)構(gòu)式相同二、定積分的定義1、定義注意問(wèn)題（ 1）在定義中，區(qū)間的劃分和點(diǎn)選取的任意性（ 2）所劃分的區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨于零和所分區(qū)間無(wú)窮多之間的關(guān)系（ 3）定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的寫(xiě)法無(wú)關(guān)(4) 定積分的實(shí)質(zhì)是特殊和式的極限2、定積分存在

3、的條件3、定積分的幾何意義四、小結(jié)教學(xué)目的和要求：1、理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理2、使學(xué)生能用定積分的性質(zhì)進(jìn)行估值、比較大小重點(diǎn)：定積分的基本性質(zhì)教學(xué)過(guò)程 ：一、定積分的性質(zhì)1、線(xiàn)性性質(zhì)（ 1）2、線(xiàn)性性質(zhì)（ 2）3、區(qū)間可加性4、用定積分求矩行面積的公式5、定積分的不等式性質(zhì)6、定積分的估值不等式7、定積分的中值定理bf ( x) dx注意問(wèn)題：（1）可以把a(bǔ)f ( ) 理解為 f ( x) 在 a, b 上的平均值ba二、例題分析例 1：估計(jì)積分1dx 的值03sinx3注：本題考察估值不等式性質(zhì)例 2：估計(jì)積分2 sinxdx 的值4 x注：本題在考察估值不等式性質(zhì)的同時(shí)，復(fù)習(xí)了求最

4、值的方法1xdx 和1例 3：比較ln (1 x )dx 的值00注：本題考察不等式性質(zhì)三、小結(jié)第一節(jié)微積分基本定理教學(xué)目的和要求：1、掌握積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、掌握微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式） ，會(huì)用這個(gè)公式求一些函數(shù)的定積分重點(diǎn)：1、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、牛頓 -萊布尼茨公式教學(xué)過(guò)程 ：一、問(wèn)題的引入1、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的關(guān)系二、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)1、積分上限函數(shù)的定義2、積分上限函數(shù)的性質(zhì)注意問(wèn)題（ 1）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的幾種重要變形3、原函數(shù)存在定理注意問(wèn)題(1) 定理的一個(gè)意義在于肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的(2) 定理的另

5、一意義在于揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系三、牛頓 -萊布尼茨公式注意問(wèn)題（ 1）求定積分實(shí)際上轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題四、例題分析sin x1)dx例 1：求下列定積分 (1) 2 (2 cos x（ 2）2dx002x2x 2注：本題考察牛頓-萊布尼茲公式例 2：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x2t sin tx2x sin t(1)0 1cos2 tdt (2)01 cos2 t dt注：本題考察積分上限函數(shù)的性質(zhì)例 3：計(jì)算曲線(xiàn) y=sinx 在 0, 上與 x 軸所圍成的平面圖形的面積注：本題考察牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用，并同時(shí)考察定積分的幾何意義2x0x12例 4： f ( x)，求f(x )dx51

6、x20注：本題考察定積分的區(qū)間可加性1t2edt例 5：求 lim cosx2x 0x注：本題考察積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和洛必達(dá)法則例 6：設(shè) f ( x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù)，且 f ( x)0 ，求證：函數(shù) F ( x)x0x0tf (t) dt在f (t )dt(0,) 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)注：本題考察商的導(dǎo)數(shù)，積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)，單增函數(shù)的判定，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合五、小結(jié)第一節(jié)定積分的換元法教學(xué)目的和要求：1、使學(xué)生掌握定積分的換元法重點(diǎn)：1、定積分的換元法教學(xué)過(guò)程：一、定積分的換元法注： (1)第一類(lèi)換元積分法：新變量不必明顯引入，不涉及到積分限的問(wèn)題(2)第二類(lèi)換元積分法：需引入新的

7、變量，而且換元要換限二、例題分析例 1：計(jì)算 2cos5 x sin xdx0注：本題考察定積分換元法，可以不必引入新變量例 2：計(jì)算sin 3 xsin 5 xdx.0注：本題考察定積分換元法，不必引入新變量，由于開(kāi)方加絕對(duì)值，還要應(yīng)用區(qū)間可加性a1dx. (a 0)例 3：計(jì)算a20 xx2注：本題考察定積分換元法，需要引入新變量，換元要換限例 4：當(dāng) f(x) 在 a, a 上連續(xù)，且af ( x)dxa f(x) 為偶函數(shù)，則2 f ( x)dxa0af ( x)dx0 f(x) 為奇函數(shù)，則a注：本題結(jié)果可以作為結(jié)論使用，但要注意必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：連續(xù)、奇偶函數(shù)、對(duì)稱(chēng)區(qū)間例 5：計(jì)算

8、12 x2x cos x dx111 x2注：例 3 的應(yīng)用例 6：若 f ( x) 在 0,1 上連續(xù)，證明 (1)22f (sin x)dxf (cosx)dx00(2) xf (sin x)dxf (sin x)dx ，由此計(jì)算xsin xdx02 00 1 cos2x注：本題可作為結(jié)論用四、小結(jié) 定積分的分部積分法教學(xué)目的和要求：1、使學(xué)生掌握定積分的分部積分法重點(diǎn)：1、定積分的分部積分法教學(xué)過(guò)程：一、定積分的分部積分法注：定積分分部積分法與不定積分的分部積分法之區(qū)別二、例題分析例 1：計(jì)算12 arcsin .xdx0注：本題考察定積分分部積分法例 2：計(jì)算4xdx0 1 cos 2

9、x注：本題考察定積分分部積分法，要進(jìn)行適當(dāng)變形例 3：計(jì)算21x arcsin x1dx21 x2注：本題可以采用兩種方法，一是運(yùn)用分部積分法；一是運(yùn)用換元法，可以比較選用例 4：證明定積分公式n1 n331,n為正偶數(shù)I n2 sin n xdx2 cosn xdxnn242200n1 n342 ,n為大于 1的正奇數(shù)nn253注：本題結(jié)果可以作為結(jié)論使用x2例 5：設(shè) f ( x)1sin t1dt , 求xf ( x) dx.t0注：本題考察分部積分法和積分上限函數(shù)性質(zhì)三、小結(jié)第一節(jié)廣義積分教學(xué)目的和要求：1、使學(xué)生理解廣義積分實(shí)際上是普通定積分的極限，并會(huì)求解廣義積分2、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)廣義

10、積分尤其是無(wú)界函數(shù)廣義積分的識(shí)別能力重點(diǎn)：1、廣義積分的識(shí)別與計(jì)算教學(xué)過(guò)程：一、廣義積分的計(jì)算1、無(wú)窮限的廣義積分2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、例題分析例 1：計(jì)算 廣義積分dxx21注：本題考察無(wú)窮限廣義積分計(jì)算例 2：計(jì)算廣義積分 212sin 1 dxxx注：本題考察無(wú)窮限廣義積分計(jì)算和分部積分法例 3：證明廣義積分1pdx 當(dāng) p1時(shí)收斂， p1時(shí)發(fā)散1x注：本題考察無(wú)窮限廣義積分的定義和計(jì)算adx( a 0)例 4：計(jì)算廣義積分220ax注：本題考察無(wú)界函數(shù)廣義積分的定義和計(jì)算例 5：計(jì)算廣義積分dx .21x ln x注：本題考察無(wú)界函數(shù)廣義積分的計(jì)算和分部積分法11dx 當(dāng) q1時(shí)收

11、斂，當(dāng) q1時(shí)發(fā)散例 6：證明廣義積分xq0注：本題考察無(wú)界函數(shù)廣義積分的定義和計(jì)算三、小結(jié)第一節(jié)定積分的應(yīng)用教學(xué)目的和要求：1.理解定積分應(yīng)用于幾何、物理問(wèn)題時(shí)，元素法中的面積元素、體積元素、功元素等元素在坐標(biāo)系中的表達(dá)式，是列出積分式的關(guān)鍵。2.學(xué)習(xí)用定積分的知識(shí)求解一些實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)可以對(duì)定積分有更充分的理解。3.掌握（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）面積，體積，弧長(zhǎng)，變力作功的計(jì)算方法。重點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中列出所求問(wèn)題的積分式難點(diǎn)：建立合適的坐標(biāo)系，元素的表示。 定積分的元素法教學(xué)目的和要求：回顧定積分的引出和定義，理解被積表達(dá)式就是元素。定積分概念的鞏固，對(duì)元素法的運(yùn)用有利。重點(diǎn)：搭建出元素法

12、的基本框架教學(xué)過(guò)程：從討論過(guò)的曲邊梯形的面積開(kāi)始，分割大化小，乘積常代變，近似求和，再取極限。注意： 突出面積元素f ( x)dx 是所分割面積元的近似值，是積分式中的被積表達(dá)式。 以曲邊梯形的面積為例，說(shuō)明函數(shù)在坐標(biāo)系中有確切的位置和形狀，面積元的分割法與坐標(biāo)系有關(guān)，積分限與閉區(qū)間有關(guān)。面積還符合一個(gè)條件：具有可加性。 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用教學(xué)目的和要求：1.通過(guò)平面面積的計(jì)算，領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)系是為計(jì)算方便服務(wù)的。面積形狀各不相同，但采用面積元素法的方法是相同的。同時(shí)掌握積分上、下限的確定 （直角坐標(biāo)系、 極坐標(biāo)系）。2.通過(guò)旋轉(zhuǎn)體體積的求法，學(xué)會(huì)體積元素的確定（兩種：薄圓片和薄圓筒）。已知橫截

13、面積求體積的思想應(yīng)掌握，以后二重積分還要用到。3.通過(guò)計(jì)算平面光滑曲線(xiàn)弧長(zhǎng)（雖然積分式繁一點(diǎn)，但是理解起來(lái)很直觀(guān)），進(jìn)一步體會(huì)微積分是個(gè)很有用的工具。4.掌握面積、體積、弧長(zhǎng)的計(jì)算方法。重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系中面積、體積、弧長(zhǎng)的求法，極坐標(biāo)系中面積的求法。分割元素，如何列式是重點(diǎn)，積分方法是前一章的知識(shí)。難點(diǎn)：極坐標(biāo)系中求面積，弧長(zhǎng)。直角坐標(biāo)系中選薄圓筒為旋轉(zhuǎn)體體積的體積元素教學(xué)過(guò)程：通過(guò)例題分析介紹元素法一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系例 1：計(jì)算由兩條拋物線(xiàn)：y 2x,yx2 所圍成圖形的面積。注：求兩條拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，確定圖形范圍，就是確定面積元素的范圍，從而確定積分上、下限。窄長(zhǎng)條與坐標(biāo)軸平行

14、，讓學(xué)生確定它的長(zhǎng)和寬。如果面積元素與坐標(biāo)軸不平行，行不行？分別以x 和 y 為自變量，方法與式子結(jié)構(gòu)完全一樣。積分上、下限是自變量的變化范圍。例 2.：計(jì)算拋物線(xiàn) y 22x 與直線(xiàn) yx4所圍成圖形的面積。注：分別以x 和 y 為自變量列式求解，比較它們的不同。本題當(dāng)以x 為自變量時(shí)，面積元素不能用一個(gè)表達(dá)式來(lái)表示，須分別求兩塊面積，再求和。例 3：求橢圓 x2y 21 所圍成圖形的面積。a 2b2注：利用對(duì)稱(chēng)性，利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行定積分換元法，可以使求解過(guò)程簡(jiǎn)捷。再按直角坐標(biāo)系找出y 的顯函數(shù)，列出積分式，比較繁與簡(jiǎn)。例 4：求擺線(xiàn) xa(tsin t),ya(1cost)的一拱與

15、X 軸所圍成平面圖形的面積。其中（ a>0）注：介紹擺線(xiàn)（旋輪線(xiàn)），一拱對(duì)應(yīng)t2 , x2 a 。鞏固前面的方法。2. 極坐標(biāo)系當(dāng)面積的邊界曲線(xiàn)用極坐標(biāo)形式表示時(shí)，把它放在極坐標(biāo)系中計(jì)算比較方便。畫(huà)圖，利用扇形面積公式，寫(xiě)出中心角為的曲邊扇形（面積元素）的面積近似表達(dá)式，的變化范圍對(duì)應(yīng)積分限。例 5：計(jì)算雙紐線(xiàn)2a 2 cos2所圍成圖形的面積。（ a>0）例 6：計(jì)算心形線(xiàn)a(1cos) 所圍成圖形的面積。（a>0）例 7：計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)a所圍成圖形的面積。（ a>0）注：讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住列定積分式的關(guān)鍵。二、體積1. 旋轉(zhuǎn)體的體積一般情況，閉區(qū)間 a,b上連續(xù)曲線(xiàn)

16、f ( x) 構(gòu)成的曲邊梯形繞X 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。用垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平行平面切割，得到的薄圓片就是體積元素，用圓柱體體積公式近似。畫(huà)圖。例 8：原點(diǎn) O，點(diǎn) P（h,r），得直線(xiàn) OP，與 X 軸、 xh 圍成三角形，繞X 軸一周成圓錐體，其半徑為r，高為 h，計(jì)算該圓錐體的體積。注：強(qiáng)調(diào)體積元素就是被積表達(dá)式。例 9：計(jì)算擺線(xiàn)xa(tsin t),ya(1cost ) 的一拱，直線(xiàn) y=0 所圍圖形分別繞X 軸、 Y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。注：求繞Y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以介紹兩種分割體積元素的方法方法一 : 用垂直 Y 軸的平行平面切割，薄片的厚度，薄片的面積是個(gè)圓環(huán)。或者看

17、成兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體積相減，列出式子基本相同。說(shuō)明體積具有可加性。方法二 : 把旋轉(zhuǎn)體看成由一系列高度不同， 以 Y 軸為旋轉(zhuǎn)軸的薄壁圓筒嵌套而成， 每個(gè)圓筒是體積元素?；蛘呓忉尀椋矫嬉还吧蠈挾葹榈拿娣e元素，繞Y 軸一周掃過(guò)的體積，說(shuō)明圓筒壁厚為。體積元素復(fù)雜一點(diǎn)，積分過(guò)程有可能簡(jiǎn)單一點(diǎn)。2. 平行截面面積為已知的立體的體積在a,b 內(nèi)任一 x 處，已知立體的垂直于 X 軸的截面面積， 就是已知面積函數(shù) A （x）。同上面旋轉(zhuǎn)體體積元素表示方法一樣，每片的厚度， x處體積元素VA(x)dx，按給定區(qū)間積分。例 10: 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體底面直徑，與底面交角計(jì)算這平面截圓柱體之立體體積 .例

18、 11: 求半徑為 R 的圓作底 , 平行且等于圓直徑的線(xiàn)段為頂 , 高為 h 的正劈錐體的體積.注 : 元素法基本明白了 . 這里 , 在哪個(gè)方向取平行截面 , 利于找到面積函數(shù)上升為主要矛盾.原則是這個(gè)立體放在坐標(biāo)系里不能太任意, 自變量沿坐標(biāo)軸方向, 垂直于該軸的任一截面面積應(yīng)易于表示 .三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)平面光滑曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)具有一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，可以用直角坐標(biāo)方程， 參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來(lái)表示。若求給定區(qū)間內(nèi)弧線(xiàn)長(zhǎng)度，取任一微小弧段作為弧長(zhǎng)元素，基本思想仍是“以直代曲” 自變量對(duì)應(yīng)的微小弧段上的弦長(zhǎng)代替該弧長(zhǎng)， 然后求和（積分）即可。下面一種方程配一道例題，1. 直角坐標(biāo)方程畫(huà)圖，推導(dǎo)弧長(zhǎng)元

19、素微分表達(dá)式，列出定積分式。例 12：計(jì)算曲線(xiàn) y2 x23上， x 從 a 到 b 的一段弧的長(zhǎng)度。32. 參數(shù)方程推導(dǎo)弧長(zhǎng)元素的參數(shù)形式微分表達(dá)式，列出定積分式。222例 13：求星形線(xiàn) x 3y 3a 3(a 0)的全長(zhǎng)。3.極坐標(biāo)方程推導(dǎo)弧長(zhǎng)元素極坐標(biāo)形式微分表達(dá)式，列出定積分式。例 14：求阿基米德螺線(xiàn)a(a0)相應(yīng)于從 0 到的弧長(zhǎng)。注：三種方程推出的公式不大一樣，似乎比較繁，但是指導(dǎo)思想是直觀(guān)的，清晰的。關(guān)鍵是抓住弧長(zhǎng)元素。四、小結(jié)：五、練習(xí)題：七、無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念.2、掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，

20、掌握幾何級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的條件.重點(diǎn)難點(diǎn)：級(jí)數(shù)概念及其斂散性教學(xué)活動(dòng)：一 問(wèn)題的提出1、計(jì)算圓的面積（正多邊形的面積）2、 13333310100100010 n二 級(jí)數(shù)的概念1、級(jí)數(shù)的定義2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ( 發(fā)散 ) lim sn 存在 ( 不存在 )n3、例題例 1討論等比級(jí)數(shù) ( 幾何級(jí)數(shù) )aq na aq aq2aq n(a 0)n 0的收斂性 .例 2判別無(wú)窮級(jí)數(shù)22 n31 n 的收斂性 .n1例 3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)111的收斂性 .2 3n (n1 21)例 4 試把循環(huán)小數(shù) 2.317 2.3171717 表示成分?jǐn)?shù)的形式 .例5求級(jí)數(shù)51的和 .n 1 n(

21、 n 1)n2三 基本性質(zhì)1、級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變 .2、收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.3、級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.4、收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.5、收斂的必要條件例 6. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 , 若收斂求其和 :(1)en n!;(2)1;nn32n 1n 1 n3n2n四 小結(jié)（基本審斂法）1、由定義 , 若 sns , 則級(jí)數(shù)收斂 ;2、當(dāng) lim un0, 則級(jí)數(shù)發(fā)散 ;n3、基本性質(zhì) .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法教學(xué)目標(biāo)：1、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法，會(huì)用根值審斂法.2、掌握 p 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散條件.3、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)

22、的萊布尼茲審斂法，掌握絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及性質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法教學(xué)活動(dòng)：一 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:3、比較審斂法（極限審斂法）4、比值審斂法 ( 達(dá)朗貝爾 D Alembert 判別法 )5、根值審斂法 ( 柯西判別法 )6、例題例 1討論 P- 級(jí)數(shù)11111的收斂性. ( p 0)2 p3p4pn p例 2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 .(1)1,(2)1,(3)nn(n 1)n( n2 1)1n 1n 1n 1 n例 3設(shè) un0,vn0, limun0, 則下列結(jié)論哪一個(gè)正確nvn(1)vn收斂un收斂 (2)vn收斂un發(fā)散n 1

23、n 1n 1n 1(3)vn發(fā)散un發(fā)散 (4)un收斂vn收斂 .n 1n 1n 1n 1例 4已知an ,cn均收斂，且 anbncn ,證明bn也收斂。n 1n 1n1例 5判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 :(1)sin 1; (2)1; （3）1ln n2n 1nn 1 3nnn 13 n 1n例 6判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 :(1)1 ;(2)n!n ;(3)1.n 1 n!n 1 10n 1 (2 n 1) 2n例 7 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性n(arcsin 1) n(1)2n 3 ;(2)n 1nn 1n二 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1、定義2、萊布尼茨定理如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件:( ) unun 1(n

24、1,2,3,) ;()lim un n0 ,則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1 , 其余項(xiàng)的絕對(duì)值rnun 1 .3、例題例 1 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性n1n 11(3)n 1 2n2(1) ( 1) ( nn )(2) ( 1)n( 1)n 1n 1n 1n!例 2 判別級(jí)數(shù)( 1)nn 的收斂性 .n 2n1三 絕對(duì)收斂與條件收斂1、定義2、定理3、例題例 1 判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？(1)( 1)n 11(2)(1)n 1 (n 1n )n 1ln( n1)n 1(3)cosn(4)(n(n 1)n10n3n1) 22nn 1n 1例 2判別級(jí)數(shù)sin n的收斂性 .

25、1 n2n例 3判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)sin(n1);(2)n 1 2n( 1)n3 ;n1ln nn 1(3)1111112 12 13 13 1n 1n 1例 4 判別級(jí)數(shù)( 1)n的斂散性n 2n (1)n四 小結(jié)、判別un的斂散性，un收斂，則un收斂，而un可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法。12、若un 的發(fā)散，其發(fā)散性的判別若用的是比值法或根值法，則 lim un0,故un發(fā)散。n若發(fā)散性的判別用的是比較法，但un為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可用萊布尼茲準(zhǔn)則。3、若un不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)或是交錯(cuò)級(jí)數(shù)但不符合萊布尼茲準(zhǔn)則的條件，可否有 lim S2 nlim S2 n 1nn 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、了解冪級(jí)數(shù)收斂域的

26、結(jié)構(gòu)及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的概念.2、掌握一些冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，會(huì)求一些簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).3、了解函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的充分必要條件，掌握ex , sin x, cosx, ln(1x) ，(1 x) 的麥克勞林展開(kāi)式，并利用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù).重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)教學(xué)活動(dòng)：一 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1、定義2、收斂點(diǎn)、收斂域3、和函數(shù)二 冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、定義2、收斂性定理3、例題例 1求級(jí)數(shù)( 1)n (1)n 的收斂域 .n1x例 2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 :(1)n xnn;xnn 2n1 n.( 1);(2)

27、( nx)(3); (4) (1)( x)n 1nn 1n 1 n!n 1n2例 3求冪級(jí)數(shù)x2n 1的收斂區(qū)間 .nn 1 2例 4設(shè)an ( x1)n 在 x13發(fā)散，在 x21處收斂，求收斂半徑。n 0三 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)四 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)1、冪級(jí)數(shù)an xn 的和函數(shù) s( x) 在收斂區(qū)間 (R, R) 內(nèi)連續(xù) , 在端點(diǎn)收斂 , 則在端點(diǎn)n0單側(cè)連續(xù) .2、冪級(jí)數(shù)an xn 的和函數(shù) s( x) 在收斂區(qū)間 ( R, R) 內(nèi)可積 , 且對(duì) x ( R, R) 可逐n0項(xiàng)積分 .3、冪級(jí)數(shù)an xn 的和函數(shù) s( x) 在收斂區(qū)間 (R, R) 內(nèi)可導(dǎo) , 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次 .

28、n04、例題例 5求級(jí)數(shù) (1)n 1 xn的和函數(shù) .n 1n例 6求冪級(jí)數(shù)(2 n 1)xn 的和函數(shù) .n0例 7求n(n1)的和.n 12n五 常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)六 泰勒級(jí)數(shù)定義定理七 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1、直接法2、間接法利用已知展式作間接展開(kāi)時(shí)，必須注意已知展式的收斂區(qū)間問(wèn)題。（ ）如果n( R x R)在該區(qū)間的端點(diǎn)x R( xR)仍收斂而f ( x)2f ( x)an xn 0在 xR(R)有定義且連續(xù)，那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性，該展開(kāi)式對(duì)3、xR( xR)也成立。3、例題例 1 將f (x) ex展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) .例 2 將f (x) sin x展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù) .例

29、 3將f (x)(1x) (R)展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù) .例 4將f (x)54x4 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù).xx例 5 將f (x) sin xcos2 x展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù) .例 6將f (x)ln(1x2)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).xx例 7將 f (x)x1在 x1處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)(展開(kāi)成 x1的冪級(jí)數(shù) )并求 f ( n) (1).4x八、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)：掌握多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).重點(diǎn)：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性難點(diǎn)：多元函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)活動(dòng)：一 多元函數(shù)的概念1、平面點(diǎn)集（鄰域、聚點(diǎn)、區(qū)域） ，

30、n 維空間2、二元函數(shù)的概念（定義、圖形）3、例題例 1求函數(shù)的定義域x ln( xy)z例 2 求arcsin(3x2y2 )f ( x, y)的定義域yxy2例 3設(shè)其中時(shí)，z xf,x當(dāng)x0,1z例 4 設(shè)f ( x y,xy )x2y2 , 求 f (x, y)x二 多元函數(shù)的極限1、定義試確2定f及 z.1y注：二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的區(qū)別和聯(lián)系（1）二元函數(shù)的極限也叫二重極限lim f ( x, y);xx0yy0（2）函數(shù)在點(diǎn)的極限存在與該函數(shù)在此點(diǎn)是否有定義沒(méi)有關(guān)系。（3）定義中的方式是任意的；PP0（4）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似（5）二重極限limf ( x,

31、 y)xx0與累次極限yy0lim limf (x, y) 及 lim lim f ( x, y)x x0 y y0y y0 x x0不同 .如果它們都存在,則三者相等 . 僅知其中一個(gè)存在, 推不出其它二者存在.2、例題例 5求證lim( x2y2 )sin2120x02xy例 6求極限y0y)limsin( xx2y2 .x0y0二元函數(shù)求極限的方法：總的原則是化為一元函數(shù)的極限。常用的有：定義、代換成一元函數(shù)、夾逼準(zhǔn)則、重要極限、應(yīng)用連續(xù)性等。例 7 求下列極限xyx2x2(1) lim22.(2) lim 11 xy .22x22)x2 y2xxy111cos( x(3)lim(y.y

32、xxyx ) 0(4)lim( xy)sinsin.y ay 0x 0xy(5) lim( x222y2.x 0y 0y 0y) x3、確定極限不存在的方法：（ 1）令 P( x, y) 沿 ykx 趨向于 P0 ( x0 , y0 ) ，若極限值與有關(guān)，則可斷言極限不存在；（ 2）找兩種不同趨近方式，使 lim f ( x, y) 存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言x x0y y0f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0, y0 ) 處極限不存在例 8 證明下列極限不存在(1)lim2xy2(2)limx3 yxy0x6y2x 0xy 0y0三 多元函數(shù)的連續(xù)性1、定義（連續(xù)、間斷點(diǎn)）2、例題

33、例 9 討論函數(shù)f ( x, y)例 10 討論函數(shù)f ( x, y)注：注意以上兩例的討論方法x3y3,( x, y)x2y20,xy( x, y)x2, x2y20,x2(0,0)在(0,0) 處的連續(xù)性(0,0)2y0在(0,0) 的連續(xù)性 y2 03、性質(zhì)（ 1） 最大最小值定理（ 2） 介值定理（ 3） 一致連續(xù)性定理四 小結(jié)1、多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）2、多元函數(shù)連續(xù)的概念3、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.2、了解偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系以及的幾何意義，了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的充分條件 .重點(diǎn)

34、：偏導(dǎo)數(shù)的概念難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算教學(xué)活動(dòng)：一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法1、定義注意 :f x ( x0, y0 )lim f ( x0x, y0 ) f (x0 , y0 )dx x0x 0xf (x, y0 )d x2、例題例 1 求 zx23xyy2 在點(diǎn) (1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)例2設(shè)zxy(x0,x1)，x z1 z求證：y x2zln x y例 3 設(shè) z arcsinx，y2求x2z， zxy例 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程pVRT（為常數(shù)），求證：pVTVT1.p3、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：（ 1）偏導(dǎo)數(shù)u 是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分 ;x（ 2） 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；（

35、3） 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)則該點(diǎn)連續(xù)，而多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則未必在該點(diǎn)連續(xù)，（ 4）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：偏導(dǎo)數(shù)fx ( 0 ,0 ) 就是曲面被平面y0 所截得的曲線(xiàn)在點(diǎn)處的xyy切線(xiàn) M 0Tx 對(duì)軸的斜率 .偏導(dǎo)數(shù) f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面xx0所截得的曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn) M 0Ty 對(duì)軸的斜率 .例 6 曲線(xiàn) zx2y2, 在點(diǎn) (2,4,5)處的切線(xiàn)與正向軸所成的傾角是多少 ?4y4二 高階偏導(dǎo)數(shù)1、例題323xy3xy1，求2 z2 z2 z2 z3z例 7 設(shè) z x yx2，2 ，3y xx yyx例 8 設(shè) u eax cosb

36、y ，求二階偏導(dǎo)數(shù) .2、問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？、定理如果函數(shù)z f (x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 z 及2 z 在區(qū)域 D 內(nèi)連3y xx y續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等三 小結(jié)1、偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、高階偏導(dǎo)數(shù)（混合偏導(dǎo)相等的條件）四 思考題若函數(shù) f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)，能否斷定f ( x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 )的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？ 全微分教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要條件和

37、充分條件，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.重點(diǎn)：全微分的概念難點(diǎn)：可微的條件教學(xué)活動(dòng)：一 全微分的定義1、全增量的概念2、全微分的定義二 可微的條件1、定理 1（必要條件）說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.2、定理（充分條件）3、例題例 1 計(jì)算函數(shù) zexy 在點(diǎn) (2,1)處的全微分 .例 2求函數(shù) zy cos( x2 y ) ，當(dāng) x，y， dx， dy時(shí)的全微分 .44例 3計(jì)算函數(shù) ux sin yeyz 的全微分 .21, ( x, y)(0,0)例 4 試證函數(shù) f ( x, y)xy siny2x2在點(diǎn) (0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存0,(x, y)(0,0)在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0)不連續(xù)，而 f 在點(diǎn) (0,0)可微 .注：可微與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)zf ( x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 可微分 , 則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 即可微一定連續(xù)，但反之未必成立。4、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例 5三 小結(jié)1、多元函數(shù)全微分的概念；2、多元函數(shù)全微分的求法；3、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 （與一元函數(shù)有很大區(qū)別） 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)：掌握各種情況下的多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法.重點(diǎn)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)活動(dòng)：一 鏈?zhǔn)椒▌t1、定理 1（中間變量均為一元函數(shù)）注：若定理中f (u,