追及相遇模型

1、模型組合講解追及、相遇模型一、追及、相遇模型（同一直線上）【模型概述】追及和相遇問(wèn)題是一類常見的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，從時(shí)間和空間的角度來(lái)講，相遇是指同一時(shí)刻到達(dá)同一位置?？梢姡嘤龅奈矬w必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件。二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系。若物體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)t，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為。要使物體相遇就必須同時(shí)滿足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系?！灸Ｐ椭v解】1. 利用不等式求解例1：甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止不動(dòng)。甲物體在前，初速度為v1，加速度大

2、小為a1。乙物體在后，初速度為v2，加速度大小為a2且知v1<v2，但兩物體一直沒有相遇，求甲、乙兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相距的最小距離為多少？解析：若是，說(shuō)明甲物體先停止運(yùn)動(dòng)或甲、乙同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有兩物體都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，才相距最近，可得最近距離為若是，說(shuō)明乙物體先停止運(yùn)動(dòng)那么兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總存在速度相等的時(shí)刻，此時(shí)兩物體相距最近，根據(jù)，求得在t時(shí)間內(nèi)甲的位移乙的位移代入表達(dá)式求得評(píng)點(diǎn)：本題是一個(gè)比較特殊的追及問(wèn)題（減速追減速）。求解時(shí)要對(duì)各種可能的情況進(jìn)行全面分析，先要建立清晰的物理圖景。本題的特殊點(diǎn)在于巧妙地通過(guò)比較兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短尋找兩物體

3、相距最近的臨界條件。2. 巧用圖象法求解例2：如圖1所示，聲源S和觀察者A都沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于地面的速率分別為和。空氣中聲音傳播的速率為，設(shè)，空氣相對(duì)于地面沒有流動(dòng)。圖1（1）若聲源相繼發(fā)出兩個(gè)聲信號(hào)。時(shí)間間隔為，請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播到觀察者的過(guò)程。確定觀察者接收到這兩個(gè)聲信號(hào)的時(shí)間間隔。（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率間的關(guān)系式。解析：作聲源S、觀察者A、聲信號(hào)P（P1為首發(fā)聲信號(hào)，P2為再發(fā)聲信號(hào)）的位移時(shí)間圖象如圖2所示圖線的斜率即為它們的速度則有：圖2兩式相減可得：解得（2）設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為T，這樣，由以上結(jié)

4、論，觀察者接收到的聲波振動(dòng)的周期為由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出聲波頻率間的關(guān)系為評(píng)點(diǎn)：圖象分速度圖象和位移圖象，位移圖線的斜率為速度，速度圖線的斜率為加速度，速度圖線與時(shí)間軸所圍的“面積”值，等于該段時(shí)間內(nèi)的位移大小。3. 妙取參照物求解例3：火車甲正以速度v1向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方距甲d處有火車乙正以較小速度v2同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩車不相撞，加速度a應(yīng)滿足什么條件？解析：設(shè)以火車乙為參照物，則甲相對(duì)乙做初速為、加速度為a的勻減速運(yùn)動(dòng)。若甲相對(duì)乙的速度為零時(shí)兩車不相撞，則此后就不會(huì)相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車減速到與乙車車速

5、相同時(shí)，甲相對(duì)乙的位移為d。即：，故不相撞的條件為【模型要點(diǎn)】追及、相遇問(wèn)題特點(diǎn)：討論追及、相遇的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問(wèn)題。一定要抓住兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)?！咎貏e說(shuō)明】1. 勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)物體若二者速度相等時(shí)，追趕者仍沒有追上被追趕者，則追趕者永遠(yuǎn)追不上被追趕者，此時(shí)二者有最小距離；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度仍大于被追趕者的速度

6、，則還有一次被被追趕者追上追趕者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)最大值。2. 初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，追趕者一定能追上被追趕者發(fā)生碰撞。當(dāng)二者速度相等時(shí)有最大距離。若位移相等即追上（同一地點(diǎn)出發(fā)）。在相遇問(wèn)題中，同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追到即相遇，解決方法同上；相向運(yùn)動(dòng)的物體，各自發(fā)生的位移絕對(duì)值之和為開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。【模型演練】（2005年徐州?？迹┰谝粭l平直的公路上，乙車以10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面作初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)，則兩車初始距離L滿足什么條件時(shí)可以使（1）兩車不相遇；（2）兩車

7、只相遇一次；（3）兩車能相遇兩次（設(shè)兩車相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)）。答案：設(shè)兩車速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為t，則甲車恰能追及乙車時(shí)，應(yīng)有其中，解得若，則兩車等速時(shí)也未追及，以后間距會(huì)逐漸增大，及兩車不相遇。若，則兩車等速時(shí)恰好追及，兩車只相遇一次，以后間距會(huì)逐漸增大。若，則兩車等速時(shí)，甲車已運(yùn)動(dòng)至乙車前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次。（文/孫晉善）二、追及、相遇模型（不在一條直線上）【模型概述】不在一條直線上的相遇問(wèn)題在近年高考中也較為常見，如2000年的上海高考中的“估算出飛機(jī)速度”，2004年廣西高考“觀察者看衛(wèi)星”等，該類問(wèn)題其實(shí)是兩種不在一條直線上的運(yùn)動(dòng)或不同運(yùn)動(dòng)的組合體，在空間上在某一

8、時(shí)刻到達(dá)同一位置?！灸Ｐ椭v解】例. 有一個(gè)很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h。同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2.0km/h，問(wèn)此人能否追及小船？解析：費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此就將一個(gè)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題通過(guò)類比法可轉(zhuǎn)化為光的折射問(wèn)題。如圖3所示，船沿OP方向被刮跑，設(shè)人從O點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在A點(diǎn)入水游到OP方向的B點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。圖3根據(jù)折射定律：解得在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點(diǎn)，則人能追上小船，

9、若船已經(jīng)通過(guò)了B點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速。根據(jù)正弦定理又由以上兩式可解得：此即小船能被人追上的最大速度，而小船實(shí)際速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。【模型要點(diǎn)】從空間的角度來(lái)講，兩物體經(jīng)過(guò)一段時(shí)間到達(dá)同一位置。必然存在兩種關(guān)系：一是空間關(guān)系，不在一條直線的相遇問(wèn)題要做好幾何圖形，利用三角形知識(shí)解題。二是時(shí)間關(guān)系。這是解決該類問(wèn)題的切入點(diǎn)?！咎貏e說(shuō)明】圓周運(yùn)動(dòng)中的相遇、追及：同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過(guò)的角度時(shí)表明兩物體相遇或相距最近；反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)過(guò)的角度（n=0、1、2、）時(shí)表明兩物體相遇或相距最近。不同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過(guò)的角度（n=0、1、2、）時(shí)表明兩物體相距最近。【模型演練】1.