基于遺傳算法的改進(jìn)的GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模

1、基于遺傳算法的改進(jìn)的GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模鄭照寧，劉德順(清華大學(xué)現(xiàn)代管理研究中心，清華大學(xué)技術(shù)經(jīng)濟(jì)與能源系統(tǒng)分析研究所，北京，100084)摘 要 GM(1,1)模型一般以模型還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪M精度.本文以模型還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差最小化為目標(biāo)函數(shù)將GM(1,1)模型轉(zhuǎn)化成一個(gè)不用進(jìn)行灰微分方程參數(shù)辨識(shí)的優(yōu)化模型，我們稱之為改進(jìn)的GM(1,1)模型,簡(jiǎn)稱IGM(1,1)。IGM(1,1)避開了灰微分方程參數(shù)辨識(shí)時(shí)的合理選取背景值的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)GM(1,1)模型的直接建模。由于IGM(1,1)目標(biāo)函數(shù)非連續(xù)，不可導(dǎo)，用傳統(tǒng)的優(yōu)化無(wú)法求解，本文針對(duì)IG

2、M(1,1)模型的特性設(shè)計(jì)了求解該優(yōu)化模型的遺傳算法并進(jìn)行了算例驗(yàn)證，求解結(jié)果表明了IGM(1,1)模型的模擬精度遠(yuǎn)高于GM(1,1)模型。關(guān)鍵詞 GM(1,1)；改進(jìn)的GM(1,1)模型IGM(1,1); 背景值；遺傳算法Direct Modeling Improved GM (1,1) Model IGM (1,1) by Genetic AlgorithmZHENG Zhao-ning LIU De-shun(Modern Management Research Center of Tsinghua University, Institute of Techno-Economics an

3、d Energy System Analysis of Tsinghua University, Beijing, 100084, P.R. China)Abstract: Generally GM (1,1) model takes the average relative error between restored value of the model and real value as the criterion to evaluate the simulation precision. In this paper, GM (1,1) model was converted to an

4、 optimization model, which doesnt need to identify the parameters of grey differential equation, using the average relative error between restored value of the model and real value as objective function. The model was called Improve GM (1,1) model, IGM (1,1) for short. IGM (1,1) avoids the problem h

5、ow to rationally select background values in parameter identification of grey differential equation and realize the direct modeling of GM (1,1). The object function of IGM(1,1) is unable to be gained by classical optimization approaches due to its discontinuousness and non-differentiability. We desi

6、gn a genetic algorithm for IGM(1,1) based on its characteristics and test the algorithm with an example. The result acquired shows that the simulation precision of IGM(1,1) model is much higher than that of GM(1,1) mode Key words: GM(1,1), improved GM(1,1) model IGM(1,1), background value, genetic a

7、lgorithm1.改進(jìn)的GM(1,1)模型IGM(1,1)自從80年代中期鄧聚龍教授提出GM(1,1)模型以來(lái),由于只需少量數(shù)據(jù)便可建模,得到了廣泛的應(yīng)用1.GM(1,1)是建立在灰導(dǎo)數(shù)和基礎(chǔ)上的灰微分模型,其背景值一般由相鄰累加數(shù)平均生成.由于相鄰累加數(shù)之間是空的,用均值 (1)來(lái)代表灰微分方程背景值全體: (2) GM(1,1)首先進(jìn)行灰微分方程參數(shù)辨識(shí)，然后根據(jù)初值求解時(shí)間響應(yīng)式，這就存在一個(gè)問(wèn)題：灰微分方程參數(shù)辨識(shí)時(shí)以殘差平方和最小為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，而判斷GM(1,1)模型擬合好壞以時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差最小為準(zhǔn)則，二者不是統(tǒng)一的。從GM(1,1)模型擬合的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)說(shuō)

8、，在求解GM(1,1)模型時(shí)應(yīng)實(shí)現(xiàn)時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差的最小化。GM(1,1)灰微分方程為： (3) 采用最小二乘法辨識(shí)出發(fā)展參數(shù)a和灰作用量b。根據(jù)初值得時(shí)間響應(yīng)式： (4)累減還原值為： (5)由于不知相鄰累加數(shù)之間灰色系統(tǒng)的變化情況,由相鄰累加數(shù)生成的背景值不見得能很好的代表背景值全體，灰微分方程求解得的時(shí)間響應(yīng)式可能會(huì)與實(shí)際值有較大的平均相對(duì)誤差。為了改進(jìn)背景值的選取方法，許多人做了方面的工作23 4。本文以時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差最小為準(zhǔn)則，將GM(1,1)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化模型，避開灰微分方程參數(shù)辨識(shí)從而避開背景值的選取: (6)這里在時(shí)間響應(yīng)式

9、中對(duì)初值設(shè)置一個(gè)小的擾動(dòng)，以求能得到更好的解。這個(gè)模型是GM(1,1)模型的改進(jìn)，我們稱其為改進(jìn)的GM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱IGM(1,1)。由于IGM(1,1)的目標(biāo)函數(shù)非連續(xù)，不可導(dǎo), 難以用傳統(tǒng)的非線性優(yōu)化方法求解。本文根據(jù)IGM(1,1)的特性設(shè)計(jì)了求解該模型的遺傳算法。2.遺傳算法設(shè)計(jì)遺傳算法是一種模擬生物進(jìn)化的搜索全局最優(yōu)解的算法。它通過(guò)對(duì)在可行解域中生成的一組染色休，采用“適者生存”的戰(zhàn)略，進(jìn)行基因復(fù)制、選擇、交叉、變異等操作，在整個(gè)可行解域中搜索全局最優(yōu)解。所以與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法比較，遺傳算法能較好的求解對(duì)于多峰、非凸、非連續(xù)、不可導(dǎo)及搜索空間不規(guī)則的優(yōu)化問(wèn)題56。對(duì)于式(6)的G

10、M(1,1)優(yōu)化模型，本文設(shè)計(jì)了遺傳算法，算法中的函數(shù)和算子，本文作了以下處理，（1） 染色體的取值范圍本文采用浮點(diǎn)向量表示染色體，染色體由三個(gè)變量a, b, 組成，在取值范圍上|a|<0.5，0<b<0.5x(1)(n)+ 0.5x(0)(n)，|<0.2x(0)(1)。許多研究指出GM(1,1)不適于高速發(fā)展的數(shù)據(jù)建模148，鄧證明了|a|<21。但實(shí)踐中|a|都是很小的，很難超過(guò)0.5，這是因?yàn)榘l(fā)展系數(shù)反映了原始數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)率，從下式可看出1： (7)在|a|<0.5時(shí)，增長(zhǎng)率在-64.87%39.35%之間，絕大多數(shù)數(shù)據(jù)序列的變化不會(huì)超出這個(gè)范圍，另外

11、，劉思峰等的研究也指出，當(dāng)|a|>0.5時(shí)，gm(1,1)已不適于作為預(yù)測(cè)模型8。由式(3)知b >0，由式(3)|和a|<0.5知b<0.5x(1)(n)+ 0.5x(0)(n)。|的存在放松了GM(1,1)嚴(yán)格從初值x(0)(1)出發(fā)的條件，以求更好的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最小化7，本文控制|的變動(dòng)范圍在x(0)(1)的20%內(nèi)。（2） 評(píng)價(jià)函數(shù)的選擇在選擇操作上本文采取輪盤賭戰(zhàn)略，對(duì)式(3)中的目標(biāo)函數(shù)取倒數(shù)并進(jìn)行線性縮放以確定適應(yīng)度函數(shù)。取初始適應(yīng)度為： （8）這里pop_size為染色體總數(shù)。fi是累減還原值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差的倒數(shù)，為了增加遺傳算法在接近最優(yōu)解時(shí)的

12、尋優(yōu)能力，對(duì)初始適應(yīng)度f(wàn)i進(jìn)行線性縮放得新的適應(yīng)函數(shù)： （9）定義評(píng)價(jià)函數(shù)為： （10）(3)交叉算子的選擇采用簡(jiǎn)單交叉戰(zhàn)略，對(duì)于選中的染色體X，Y，取r=U(0,1)，生成新的染色體： (11)這里U(0,1)是在0,1區(qū)間的均勻分布函數(shù)（4） 變異算子的選擇對(duì)于選中的染色體X，按以下變異算子進(jìn)行變異： (12)LB為染色體X取值的下邊界，UB為其取值的上邊界，U(LB,UB)是在LB,UB區(qū)間的均勻分布函數(shù)。3.實(shí)例分析本文采用文獻(xiàn)9中第88頁(yè)中的算例進(jìn)行分析，按式(3)，(4)建立的模型為： (13)還原值與實(shí)際值的平均相對(duì)誤差為14.311%，具體數(shù)據(jù)見表1采用遺傳算法按式(6)建模，

13、控制參數(shù)為：群體規(guī)模：pop_size=80;交叉概率：Pc=0.6;變異概率：Pm=0.05;適應(yīng)度縮放：=500, =0；迭代次數(shù)：H=100。進(jìn)化進(jìn)程見圖1，得到的最優(yōu)解為：a=-0.234234311609, b=2.110549186787, =-8.121125778064313e-0110最優(yōu)適應(yīng)度f(wàn)opt=5436.1247建立的模型為： (14)還原值與實(shí)際值的平均相對(duì)誤差為9.197728659755312%，比原模型精度提高了55.6%。具體數(shù)據(jù)見表1。表1.原建模結(jié)果與遺傳算法建模結(jié)果比較表實(shí)際值文獻(xiàn)9建模結(jié)果本文建模結(jié)果模型值相對(duì)誤差%模型值相對(duì)誤差%2.2802.2

14、80»2.280»0 2.983.72124.870»2.980 »03.394.52733.5373.76711.1074.425.50729.8854.7607.7076.866.7002.3386.017 12.285 8.648.1505.6687.60511.97411.859.91516.3289.61218.87912.1512.0620.723»12.150»012.7114.67415.45215.35620.825圖1IGM(1,1)遺傳算法的進(jìn)化過(guò)程參考文獻(xiàn)1 鄧聚龍灰色系統(tǒng)理論教程M第一版武漢：華中理工大學(xué)出版社，1990；2 宋中民，方小娟可調(diào)式灰色GM(1,1)模型J煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)2000（4）：8285；3 吳強(qiáng)GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的修正J黑龍江商學(xué)院學(xué)報(bào)1995（3）：6164；4 譚冠軍GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用（I）J系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2000（4）：98103；5 邢文訓(xùn)，謝