參考曲面積分與曲線積分

1、第十四章 曲線積分與曲面積分（ 高教社 劉玉蓮 361） 14.1 曲線積分一、 第一型曲線積分首先討論物質(zhì)曲線的質(zhì)量。如果在 xy 平面上有一條可求長的曲線 C，如圖 14.1，已知 曲線 C 上點（ x,y ）的線密度是 （x,y）, 求曲線 C 的質(zhì)量。在曲線 C 上依次任取一組點： A= A0 ， A1 ， A2， An 1， An =B ，記為分法 T。它 們將曲線 C分成 n個小?。?A0A1，A1A2， ，Ak 1Ak，An1An.設第 k個小弧 Ak 1 Ak的長是 sk ，在其上任取一點 Pk（ k， k）。在點 Pk的線密度（ k ， k ）近似代替第 k 個小弧 Ak 1

2、Ak 上每一點的線密度。于是，（ k ， k ） sk 應n是第 k 個小弧 Ak 1Ak 質(zhì)量的近似值， k=1,2，n。它們的和，即（ k, k） sk應是曲k1線 C 質(zhì)量的近似值。 設 （T）是分法 T 的 n 個小弧之長中最大者。（ T）越小，n（ k , k ） sk 越接近于曲線 C 的質(zhì)量。于是，曲線 C 的質(zhì)量 m 應該是極限k1nm= （lTim） 0（ k, k ） sk.k1抽取上式的物理意義就得到第一型曲線積分。設二元函數(shù) f （x,y）在 xy 平面上一條可求長曲線 C（A,B） 上有定義。 用任意分法 T，將 曲線 C 依次分成 n 個小?。篈0A1， A1A2，

3、 ， An 1An ，其中 A0=A， An=B。設它們的弧長分別是 s1 ，s2 ，s3 ， ，sn 。在小弧 Ak 1 Ak上任取一點 Pk（ k ， k）， k=1，2，n，取該點的函數(shù)值 f （ k ， k ）與sk作乘積，然后作和nQn=f （k ,k ）sk ,（1）k=1稱為二元函數(shù) f （x.y）在曲線 C（A，B）的積分和 。令 ( T )=max s1， s2， sn 。定義 設二元函數(shù) f （x,y）在可求長曲線 C（ A ， B）有定義。若當 （T） 0時，二元函數(shù) f （x,y ）在曲線 C（ A，B）的積分和（ 1）存在極限 I，即nlim Qn = lim f (

4、k ,k )sk =I， (T ) 0 n (T)0 k k kk=1則稱 I是函數(shù) f （ x,y ）在曲線 C的第一型曲線積分， 記為 I= f （x,y）ds，其中 ds是 弧長微元。不難看到，在 xy 平面上一條物質(zhì)曲線 C（ A ，B），若其上每一點（ x，y）的線密度是 （x，y），則物質(zhì)曲線 C的質(zhì)量 m 是第一型曲線積分，即nm= （lTim）0 （k,k）sk=C（A,B）（x,y）ds.k=1 根據(jù)第一型曲線積分定義，不難證明，第一型曲線積分有下述性質(zhì)（僅列舉其中四個 性質(zhì)）：1 C（A,B）f（x,y）ds= C（B,A）f（x,y）ds，即第一型曲線積分與曲線 C的方向

5、（由 A 到B 或由 B 到 A ）無關(guān)。事實上， 在積分和 （1）中小弧 Ak 1Ak 之長 sk與曲線 C的方向無關(guān)。2C(A,B)f(x,y) g(x,y)ds= C(A,B)f(x,y)ds C(A,B)g(x,y)ds.3 C(A,B)kf(x,y)ds k C(A,B) f(x,y)ds，其中 k是常數(shù).4 C(A,B)f(x,y)ds= C(A,F)f(x,y)ds+ C(F,B) f (x, y)ds.定理 1 若曲線 C（A ，B ）：x= （t），y= （t）， t,是光滑的， 即 （t）， （t）在 ， 連續(xù)，且不同時為零，函數(shù) f （x,y ）在 C 連續(xù)，則函數(shù) f

6、（ x,y）在 C（A，B）存在第一型曲線積分，且2）C(A,B) f(x,y)ds= f (t), (t) 2(t) 2(t)dt.證明 給區(qū)間 ， 任意分法 T，分點依次是 t0 t1 t2 . tn.第 k個小區(qū)間tk 1,tk 對應曲線 C上第 k個小弧 Ak1Ak，設其長是 sk .由 8.5 弧長公式與定積分中值定理， 有 sk= tk2(t)2(t)dt= 2( k)2( k) ，其中tk =tk tk 1 ，tk 1 k tk.在tk 1,tk 上任取一點 k,在曲線 C 上對應點是 P( ( k ), ( k).作和nnQn=f ( k), ( k ) sk =f ( k),

7、 ( k)k 1 k 1 ( k)2( k ) tk3)注意上面等式中 k與 k都屬于 t k 1, t k ，但是不一定相等。 為此將它改寫為Qn=f ( k), ( k)2( k) 2( k) tk+k tk ，(4)k 1 k1其中 k=f ( k), ( k) 2( k)2( k)- 2( k)2( k) .(4)式第一個和數(shù)是連續(xù)函數(shù) f (t), (t)2(t)2 (t )在區(qū)間 ， 的積分和。因此，有l(wèi)(lTim) 0f ( k), ( k ) 2( k)2( k) tkl(T ) 0 k 1= f (t), (t) 2(t)2(t)dt .n下面證明 limk tk 0.l(T

8、) 0k kk1事實上，已知函數(shù) f (t), (t)在閉區(qū)間 ， 連續(xù)，從而它在 ， 有界；函數(shù) 2(t) 2(t)在閉區(qū)間 ， 連續(xù)，從而一致連續(xù)。 即 M 0, t , ,有| f (t), (t) | M .又0，0 ， tk(| k k | )，有| 2( k) 2( k) - 2( k)2( k)| .nn于是，當 l(T) 時，有| k tk | |f ( k), ( k)|.k1 k 122| 2( k)2( k) -( k)2( k)| | tk| M | tk |=M() ,k1nl(lTim) 0 k 1 k tk0.當 （T） 0時，有 l（T） 0.當 l（T）0時，

9、（ 4）式存在極限，即函數(shù) f （x,y）在曲線 C 上存在第一型曲線積分，即 f(x,y)ds = f (t), (t) (t) (t)dt .(A,B)2）式將第一型曲線積分化成了定積分，它就是計算第一型曲線積分的公式。特別地，曲線 C（A，B）是由方程 y=y（x） 給出，且 y（x）在 a，b連續(xù)時，（2）式b2(A,B) f(x,y)ds= a fx,y(x) 1 y (x)dx.5）例1計算 I cxyds ，其中 C：x=acos t，y=bsin t ，0 t .x asint ，y bcost.由公式2 2 x ya2sin2t b2c o2st dt.2），有02 acos

10、t bsint a2 2 2 2 ab sin t b cos t dt=22sin 2t a21 cos2tb21 cos2t dt.1設 z cos2t，dz 2sin 2tdt或sin 2tdtdz，有22 2 2 2 a b b a zdz 222 2 2 2 3abI4ab2 2 a b b a 2 22 (z) 24 b2 a2 3 2 2ab a2 ab b23 a b0a 0.例 2 計算 I c x2 y2 ds ，其中 C 是圓周 x2 y2 ax ， c解 如圖 14.2. C C1 C2.C1 ： yax x2 ，C2 ： yax x2 .2 a 2xy 2 ，2 ax

11、 x2ds1 y dx dx .ds1 y dx 2 ax x2 dx .由公式( 5)，有I x2 y2ds x2 y2ds x2 y2 dsc C1 C 20 x2 (ax x2 )a 2 dx 0 x2 (ax x2 )a 2 dx2 a a ax0 2 ax x20 2 ax x20 2 ax x2dx a a a a 2 a 2a .0 a x3設三維歐式空間 R3有一條可求長的曲線 C(A，B)。函數(shù) f (x,y,z)在曲線 C 有定 義?？煞抡掌矫?二維空間)第一型曲線積分定義給函數(shù) f (x, y,z) 在空間曲線 C 上的第一 型曲線積分C(A,B) f (x, y, z)

12、ds(6)的定義，其中 ds 是空間曲線 C 的弧長微分。若三維歐式空間 R3中光滑曲線 C 的參數(shù)方程x x(t), y y(t), z z(t), t ，則三維歐式空間 R3 中第一型曲線積分( 6)可化成定積分，有公式2 2 2C(A,B) f(x, y, z)dsf x(t), y(t), z(t ) x (t) y (t) z (t)dt，(7) 22222 222 2 2 2 2ds x (t) y (t) z (t)dt x (t)2 y (t)2 z (t)2其中 x (t) y (t) z (t)dt 是空間曲線 C 的弧長微分，即dx 2 dy2 dz2 .例 3 計算 (

13、x2 y2 z 2 ) ds ，其中 C 是圓柱螺旋線：Cx acost ， y asint， z bt，0 t 2 .解 x asint， y acost ，z b.ds2 y2z dt22a 2 b2 dt .8b2 3) .3C(x2 y2 z2)ds 0 (a2 b2t2) a2 b2dt a2 b2 (2a2二、第二型曲線積分 首先討論力場作功問題。我們知道，若質(zhì)點在常力F(大小與方向都不變)的作用下沿直線運動，位移是 l (有向線段) ，則常力 F所作的功 W 是F與l的內(nèi)積，即 W F L |F | |l|cos，其中 是F與l之間的夾角。設有一質(zhì)點在平面力場 F (P(x,y)

14、,Q(x,y)的作用下，沿光滑的有向曲線 C由點 A 運動到點 B，如圖 14.3，求力場 F 所作的功。有任意分法 T，將曲線 C分成 n個有向的小?。?A0 A1 ， A1A2 ， ， An 1An，其中 A0 A， An B.設Ak的坐標是( xk , yk )。將第 k個有向小弧 Ak 1Ak的弦記為 Ak 1 Ak ，則弦 Ak1Ak在x 軸與 y軸上的投影分別是 xk xk 1與yk yk 1，即Ak 1Ak (xk xk 1, yk yk 1) ( xk, xk ) .在第 k個小弧 Ak 1Ak上任取一點 Ek( k, k).在點 Ek的(力)向量是Fk( k, k) (P(

15、k, k),Q( k, k) .以點Ek的向量近視代替第 k個小弧 Ak 1Ak上每一點的向量。于是，內(nèi)積 Fk( k, k) Ak1Ak應是質(zhì)點在力場F的作用下，沿第 k個小弧 Ak 1Ak由點 Ak 1運動到點 Ak所作功的近似值。它們的和nFk( k, k) Ak 1Ak k1應是質(zhì)點在力場 F的作用下，沿曲線 C由點 A到點B所作功 W的近似值。當 (T)越小，近似程度越好。于 是，當（T） 0時，有nW(liTm) 0Fk( k, k) Ak 1Ak.(T) 0 k 1由內(nèi)積公式，有Fk(k,k)Ak 1Ak(P( k, k),Q(k,k)(xk,yk)P( k, k) xk Q(

16、k, k ) ykn即 W (liTm) 0k1P( k, k) xk Q( k, k) yknn8）(liTm) 0k1P( k, k) xk (liTm) 0k1Q( k, k) yk.抽出（ 8）式的物理意義就得到第二型曲線積分。設平面上有光滑有向曲線 C（A，B），二元函數(shù) f （x, y） 在曲線 C上有定義。用任意分法T，將曲線 C依次分成 n個有向小弧：A0A1,A1A2, ,An1An ，其中 A0 A，An B.設第k個小弧 Ak1Ak的弦 A A 在x軸與y軸上的投影區(qū)間的長 （帶有符號）分別是 xk與 yk .在第 k 個小弧 Ak 1Ak 上任取一點 Ek（ k, k）

17、 .作和nnf （ k , k ） xk 與f （ k , k ） yk ，（9）k1 k 1分別稱為二元函數(shù) f（x,y）在曲線 C（A，B）關(guān)于 x 與y 的積分和.令 （T） max s1, s2, , sn.（ sk是第k個小弧 Ak 1Ak的長。）定義 設二元函數(shù) f （x,y） 在有向光滑曲線 C（A，B）有定義。若 （T） 0時，二元函數(shù) f（x,y）在曲線 C（A，B）關(guān)于 x（或 y）的積分和（ 9）存在極限 Jx（或 Jy），即 稱 Jx(或 Jy)是 f(x,y)dx(或 f ( x, y) dy )在曲線 C(A，B)的第二型曲線積分 ，記為(liTm) 0f ( k,

18、 k) xk k1Jxn lim (T) 0 k 1 f( k , k ) xkJ y ），C(A,B)f(x,y)dx(或 C(A,B) f(x,y)dy)由( 8)式不難看到，質(zhì)點在平面力場F (P( x, y), Q( x, y)的作用下，沿光滑的有向曲線 C由點 A 運動到點 B，力場 F所作的功 W 是 P(x,y)dx與Q(x, y) dy在曲線 C(A，B)上的第二型曲線積分之和，即nnW (liTm) 0k1P( k, k) xk (liTm) 0k1Q( k, k) ykC(A,B)P(x,y)dx C( A,B)Q(x, y)dy .通常上式簡寫為W C(A,B)P(x,

19、y)dx C(A,B)Q(x,y)dy.(10)由弧長微分知， dx與dy分別是弧長微分 ds在x軸與 y軸上的投影?；￠L微分 ds的方 向就是曲線 C(A，B)的方向，則弧長向量微元 ds (dx, dy) .于是，功 W 可寫成向量形 式的積分WC(A,B)F(x,y) ds .(11)注 第二型曲線積分與曲線 C(A，B)的方向有關(guān) .因為 xk與 yk 分別是第 k個有 向小弧 Ak 1Ak 的弦 A A 在 x 軸與 y 軸上的投影， 當改變曲線 C 的方向時， xk 與 yk 要改變符號，所以第二型曲線積分也要改變符號，即C(A,B)f(x,y)dx C(B,A) f(x,y)dx

20、與 f (x, y)dyf(x, y)dy.C( A,B) C(B,A)定理 2 如果二元函數(shù) f (x,y) 在有向光滑曲線 C(A,B )：x=x(t) ，y=y(t) ，t連續(xù)，且 A(x( ), y( )，B(x( ),y( )，則 f(x,y)dx與 f(x,y)dy在 C(A,B )的第二 型曲線積分都存在，且C(A,B) f (x,y)dxfx(t), y(t ) x (t)dt ，(12)13)C(A,B) f(x,y)dyfx(t),y(t)y(t)dt .C(A,B)證明 只給出等式( 12)的證明，同法可證等式( 13) .給區(qū)間 , 任意分法 T，分點式t0 t1 t2

21、tn.第 k 個小區(qū)間tk1,tk對應曲線 C是哪個第 k個小弧 Ak 1Ak，在tk1,tk上任取一點 k.在第k個小弧 Ak 1Ak上有對應的點 Ek( k, k) ，其中 k x( k)， k y( k).于是，nnn f ( k , k ) xkf ( k , k )(xk xk 1)k1 k 1nfx( k),y( k) x(tk) x(tk 1) k1ntkfx( k),y( k) t x(t)dt k 1tk 1k1tkfx( k),y( k)x(t)dt k114)另一方面，( 12)式等號右端可改寫成J fx(t), y(t)x(t)dtnttktk fx(t), y(t)x

22、(t)dt . k 1 tk 115)14 )式與( 15)式等號兩端之差是n tkn J tk fx( k),y( k) fx(t),y(t) x(t)dt.k1 tk1因為函數(shù) f x(t), y(t) 在閉區(qū)間 , 連續(xù)，所以它在 , 一致連續(xù)，即0，0， T：l(T) ， t tk 1,tk，k 1,2, ,n，有|fx( k),y( k) fx(t),y(t) | .又因為 x (t )在閉區(qū)間 , 連續(xù)，所以 x(t) 在 , 有界，即 M 0， t , ，有|x(t) | M是，當 l（T ）時，有|nntkJ| t |fx( k),y( k) fx(t),y(t)|x(t)|d

23、tk 1 k1nMk1t dt M ( ) ， tk 1從而lim nl(T ) 0J ，即C(A,B) f (x,y)dxfx(t), y(t ) x (t )dtC ( A ,B )若光滑有向曲線 C(A ， B)的方程是y y(t) ， a x b .Aa,y(a)，Bb,y(b)，而 y (t)在a,b連續(xù)，則bC(A,B) f (x,y)dx a fx, y(x)dx.例4計算 y2dx x2 dy ，其中曲線 C 是上半橢圓 x a cost ， y bsint，0 t ，取順時針的方向。dxasin t d t，dy b cos tdt ，由公式（12）與（13）有C y 2dx

24、 x 2dy0 2 2 2 2b2 sin2t( asint) a 2 cos2 t b cost dt2 0 3 2 0 3 4 2 ab2 sin3tdt a2b cos3tdt 34ab2.例5計算 I2 xydx x2 dy ，其中曲線 C 分別是 1）直線 y x ；2）拋物線y x2 ； 3）立方拋物線 y x 3 .都是由原點 （ 0,0）到點（ 1,1）.1）沿直線 y x ， dy dx ，有111I 2xydx x2 dy2x2dxx2dx3x2dx 1.C 00022）沿拋物線 y x2，dy 2xdx ，有2 3 3 3I 2xydx x2 dy2x3dx2x3 dx4

25、x3dx 1.323)沿立方拋物線 y x3， dy 3x2dx ，有2 1 4 1 4 1 4例6I 2xydx x2 dy2x4dx3x4 dx5x4dx 1.計算 J xydx (y x)dy ，其中曲線 C與例 5 相同，并有與例 5相同的始點與終點 .1)沿直線 y x， dy dx ，有1 2 1J xydx ( y x)dy x dx .C 0 32)沿拋物線 y x2，dy 2xdx ，有J xydx ( y x)dy3x 3 2x2dxC01123)32沿立方拋物線 y x3， dy 3x 2dx ，有1 5 4 3J xydx ( y x)dy 3x 5 x4 3x3dx1

26、20有質(zhì)量為 m 的質(zhì)點，在重力的作用下，沿鉛垂面上曲線 重力 F 所作的功，如圖 14.4.例7C 由點 A 到點B，計算解 設平面曲線 C 的參數(shù)方程是 x x(t), y y(t), t .A(x( ),y( )，B(x( ),y( ).已知 F (0,mg).于是，重力所作的功(A,B)(t)dt mgy( ) y( ) .F ds= C(A,B) (0,mg) (dx,dy) C(A,B) mgdy此例說明，質(zhì)點從點 A 移動到點 B，重力 F所作的功只與 A 與 B的位置有關(guān)，而與曲 線 C 無關(guān)。這是重力場的一個重要物理特性。從上述三例看到，當始點與終點相同，沿著不同的曲線，有的

27、曲線積分相等(如例 5 與例 7)；有的曲線積分不相等(如例 6)。那么在什么條件之下，當始點與終點取定時，曲 線積分與所沿的曲線無關(guān)呢？后面我們將討論這個問題。3設三維歐式空間 R3中有向光滑曲線 C(A,B) ，函數(shù) f (x,y,z)在曲線 C上有定義。可仿照平面(二維空間) 第二型曲線積分定義， 給出 f(x,y,z)dx(f(x,y,z)dy與f(x,y,z)dz) 在 曲線 C(A,B) 的第二型曲線積分C(A,B)f(x,y,z)dx ( C(A,B)f(x,y,z)dy與 C(A,B)f(x,y,z)dz)，其中dx( dy與dz )是有向弧長微元 ds在x軸(y軸與 z軸)上

28、的投影。當曲線 C(A,B) 改變方向時，有 C(A,B) f (x, y, z) dxC(B,A) f(x,y,z)dx.不難寫出，向量場 F= (P(x,y,z) ,Q(x,y,z),R(x,y,z) )在有向光滑曲線 C( A ， B)的第二 型曲線積分是 C(A,B)P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz,其中 ds=(dx,dy,dz).如果三維空間的有向光滑曲線 C( A， B)是參數(shù)方程 x=x(t),y=y(t), z=z(t), tt 由到對應曲線 C 上由點 A 到點 B，則三維歐式空間 R3 的第二型曲線積分可化成定積分，有公式C(A

29、,B) f(x, y, z)dxfx(t),y(t),z(t)x(t)dt ，C( A,B)C(A,B) f(x, y, z)dxf x(t ), y(t ), z(t) y (t )dt ，C( A,B)17)C( A,B)f (x, y, z)dxfx(t),y(t),z(t)z(t)dt .例 8 計算 (x y z) dx ，其中曲線 C：x cost, y sint,z t,0 t ，從 t=0 C到t解 由公式( 17 )有C (x y z)dx(cost sint t) sin t )dt2 cost sin tdtsin 2 tdtt sin tdt0 0 0三、第一型曲線積分與第二型曲線積分的關(guān)系在三維歐式空間 R3中，由于弧長微分 ds 與它在坐標軸上的投