第六節(jié)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第六節(jié)第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) )(11yCxP )(11yCxQ0證畢1. 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22

2、yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則

3、稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(

4、),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù), 故方程的通解為xCxCysincos21推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC那么2. 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xy

5、xYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是

6、幾個函是幾個函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理推廣:),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 定理 5.)(,),(),(21xyx

7、yxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例1.提示提示:3231,yyy

8、y都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例2. 已知微分方程已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 .)(),(1)()(2此此方方程程的的通通解解（）的的

9、表表達(dá)達(dá)式式；（），試試求求：的的齊齊次次方方程程有有一一特特解解為為，對對應(yīng)應(yīng)有有一一特特解解為為設(shè)設(shè)xfxpxxxfyxpy 例例3 3解解（）由題設(shè)可得：（）由題設(shè)可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得解此方程組，得.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程為（）原方程為.313xyxy ，的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解程程是是原原方方程程對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方顯顯見見221, 1xyy 是原方程的一個特解，是原方程的一個特解，又又xy1* 由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為.1221xxCCy 思考題思考題 已知已知

10、31 y，223xy ，xexy 233都是微分方程都是微分方程 16222222 xyxyxyxx的解，求此方程的解，求此方程的的通解通解. 思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對應(yīng)齊次方程的解是對應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常數(shù)對應(yīng)齊次方程的通解對應(yīng)齊次方程的通解.221xCeCYx 原方程的通解原方程的通解.3221xCeCyx 一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是是任任意意常常數(shù)數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .練練 習(xí)習(xí) 題題 三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個個解解, ,求求此此方方程程的的通