數(shù)學(xué)：第2章《推理與證明》教案（1）（新人教A版選修2-2）

1、)來源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )課題:合情推理 掌握歸納推理的技巧，并能運用解決實際問題。通過“自主、合作與探究”實現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。感受數(shù)學(xué)的人文價值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。教學(xué)重點：歸納推理及方法的總結(jié)。教學(xué)難點：歸納推理的含義及其具體應(yīng)用。教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。課時安排：1課時教學(xué)過程：(1)原理初探引入：“阿基米德曾對國王說，給我一個支點，我將撬起整個地球！”提問：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢夸下如此海口？理由何在？探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？從而引入兩則小典故：（圖片展示-阿基米德的靈感）A：一個小孩，為何

2、輕輕松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤時，奴隸們是怎樣搬運巨石的？正是基于這兩個發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。思考：整個過程對你有什么啟發(fā)？啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開生活，離不開觀察，也離不開猜想和證明”。歸納推理的發(fā)展過程觀察猜想證明(2)皇冠明珠追逐先輩的足跡，接觸數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠 “歌德巴赫猜想”。鏈接:世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如

3、633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。 這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 +

4、5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結(jié)論：每一個比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科

5、學(xué)家們于是從（9十9）開始，逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律？討論：組織學(xué)生進(jìn)行交流、探討。檢驗：2和4可以嗎？為什么不行？歸納：通過剛才的探究，由學(xué)生歸納“歸納推理”的定義及特點。把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).注:歸納推理的特點;簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物.結(jié)論：所有的爬行動物都是用肺呼吸的。例2 前提

6、：三角形的內(nèi)角和是1800，凸四邊形的內(nèi)角和是3600，凸五邊形的內(nèi)角和是5400，結(jié)論：凸n 邊形的內(nèi)角和是（n2）×1800。例3 探究：上述結(jié)論都成立嗎？強(qiáng)調(diào)：歸納推理的結(jié)果不一定成立！ “ 一切皆有可能！”探索：先讓學(xué)生獨立進(jìn)行思考?；顒樱骸扒Ю镒邌悟T”鼓勵學(xué)生說出自己的解題思路?；顒樱骸皥A桌會議”鼓勵其他同學(xué)給予評價，對在哪里？錯在哪里？還有沒有更好的方法？【設(shè)計意圖】：提供一個舞臺, 讓學(xué)生展示自己的才華，這將極大地調(diào)動學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時，也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說、敢做的能力。【一點心得】

7、：在“千里走單騎”和“圓桌會議”的探究活動中，教師一定要以“鼓勵和表揚”為主，面帶微笑，消除學(xué)生的恐懼感，提高學(xué)生的自信心能力培養(yǎng)（例2拓展）思考：怎么求？組織學(xué)生進(jìn)行探究，尋找規(guī)律。歸納：由學(xué)生討論，歸納技巧，得到技巧和。技巧:有整數(shù)和分?jǐn)?shù)時,往往將整數(shù)化為分?jǐn)?shù).技巧:當(dāng)分子分母都在變化時,往往統(tǒng)一分子 (或分母),再尋找另一部分的變化規(guī)律.(1)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。(2)歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一

8、般命題（猜想）證明課題：類比推理教學(xué)目標(biāo)：通過對已學(xué)知識的回顧，認(rèn)識類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。正確認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。認(rèn)識數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識。教學(xué)重點：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理。教學(xué)難點：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。教具

9、準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。課時安排：1課時教學(xué)過程：一問題情境從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？二數(shù)學(xué)活動我們再看幾個類似的推理實例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) abÞa+cb+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) abÞ acbc;(3)

10、 a=bÞa2=b2;等等。 (3) abÞa2b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長表面積面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直

11、線必經(jīng)過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比） 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。即觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上

12、的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.鞏固提高1(2001年上海)已知兩個圓x2+y2=1:與x2+(y-3)2=1,則由式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為-2類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想直角三角形 3個面兩兩垂直的四面體C90°3個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c PDFPDEEDF90° 4個面的面積S

13、1，S2，S3和S 3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S3（2004，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為_ 課堂小結(jié)1類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。2 類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或者一致性。用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）課 題：演

14、繹推理教學(xué)目標(biāo)：1. 了解演繹推理 的含義。2. 能正確地運用演繹推理 進(jìn)行簡單的推理。3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)重點：正確地運用演繹推理 進(jìn)行簡單的推理教學(xué)難點：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)過程：一 復(fù)習(xí):合情推理歸納推理 從特殊到一般類比推理 從特殊到特殊從具體問題出發(fā)觀察、分析比較、聯(lián)想歸納。類比提出猜想二 問題情境。 觀察與思考1所有的金屬都能導(dǎo)電銅是金屬, 所以，銅能夠?qū)щ?.一切奇數(shù)都不能被2整除, (2100+1)是奇數(shù)， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), tan 是三角函數(shù),所以，tan 是 周期函數(shù)。提出

15、問題 ：像這樣的推理是合情推理嗎？二學(xué)生活動 ：1.所有的金屬都能導(dǎo)電 大前提銅是金屬, -小前提所以，銅能夠?qū)щ?結(jié)論2.一切奇數(shù)都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇數(shù)，小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. 結(jié)論3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), 大前提t(yī)an 是三角函數(shù), 小前提所以，tan 是 周期函數(shù)。結(jié)論三， 建構(gòu)數(shù)學(xué) 演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷三段論的基本格式MP（M

16、是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（結(jié)論）3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.四，數(shù)學(xué)運用解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 （大前提）解 （1） lgan=nlga(a>0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2結(jié)論 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)結(jié)論例3.如圖;在銳角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求證AB的中點M到D,E的距離相等解： (1)因為有一

17、個內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90°-小前提所以ABD是直角三角形結(jié)論(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,大前提因為 DM是直角三角形斜邊上的中線,小前提 所以 DM= AB結(jié)論 同理 EM= AB所以 DM=EM.練習(xí)：第35頁 練習(xí)第 1，2，3，4，題五 回顧小結(jié)：演繹推理具有如下特點:課本第33頁 。演繹推理錯誤的主要原因是1大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。 作業(yè)：第35頁 練習(xí) 第5題 。習(xí)題2。1 第4題。課題：推理案例賞識課型：新授課教學(xué)目標(biāo)：1. 了解合情推理和演繹推理 的含義。2. 能正確地運用合

18、情推理和演繹推理 進(jìn)行簡單的推理。3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)重點：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別教學(xué)難點：了解合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動的。教學(xué)過程：2 復(fù)習(xí) 合情推理和演繹推理的過程 3 案例：例一 正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)。提出問題我們知道，前n個正整數(shù)的和為(n)=1+2+3+.+n= n(n+i) 那么，前n 個正整數(shù)的平方和（n）？ 三，數(shù)學(xué)活動思路1 （歸納的方案） 參照課本 第36頁 37頁 三表 猜想 （n）思考 ：上面的數(shù)學(xué)活動是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個過程中提出了哪些猜想？提出猜想時使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了

19、什么作用？思路2 （演繹的方案）嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和。2 把正整數(shù)的平方和表示出來，參照課本棣37頁 左右兩邊分別相加，等號兩邊的（n）被消去了，所以無法從中求出 （n）的值，嘗試失敗了。（2）從失敗中吸取有用信息，進(jìn)行新的嘗試（3）嘗試把兩項和的平方公式改為兩項和的立方公式。左右兩邊相加，終于導(dǎo)出了公式。思考： 上面的數(shù)學(xué)活動是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個過程中提出了哪些猜想？提出猜想時使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用。四，數(shù)學(xué)理論：上面的案例說明：（1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程.是一個不斷地提出猜想驗證猜想的過程，合情推理和論證推理相輔相成，相

20、互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程。（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提供思路的作用。（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動提供依據(jù)。五，鞏固練習(xí)：閱讀課本第39頁 棱臺體積公式的探求 通過閱讀或查資料，尋找合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)活動中的作用的案例，并回答問題：1 。案例中的數(shù)學(xué)活動是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？2 。在上這個過程中提出了哪些猜想？3 ， 提出猜想時使用了哪些推理方法？4，

21、合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？六，教學(xué)小結(jié)：（1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程.是一個不斷地提出猜想驗證猜想的過程，合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程。（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提供思路的作用。（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動提供依據(jù)。七，作業(yè)：八，教后感：課題：直接證明-綜合法與分析法1教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解

22、直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2教學(xué)重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點3教學(xué)難點：分析法和綜合法的思考過程、特點4教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。5教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點. “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。 6教學(xué)過程:學(xué)生探究過程：證明的方法（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法

23、是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。 （2）、例1設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且ab，求證：a3+b3a2b+ab2    證明：(用分析法思路書寫)    要證 a3+b3a2b+ab2成立，    只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 

24、60;  即需證a2-ab+b2ab成立。(a+b0)    只需證a2-2ab+b20成立，    即需證(a-b)20成立。    而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20顯然成立，由此命題得證。    (以下用綜合法思路書寫)    ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20    亦即a2-ab+b2ab    由題設(shè)條件知，a+b0，(a+b

25、)(a2-ab+b2)(a+b)ab    即a3+b3a2b+ab2，由此命題得證例2、若實數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：= = =例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？鞏固練習(xí)：第81頁練習(xí)1 , 2 , 3 , 4課后作業(yè)：第84頁 1，2, 3教學(xué)反思：本

26、節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點. “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。課題：間接證明-反證法1教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點。過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2.教學(xué)重點：了解反證法的思考過程、特點3. 教學(xué)難點：反證法的思考過程、特點4教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。5教學(xué)設(shè)想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指

27、所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。 6教學(xué)過程:學(xué)生探究過程：綜合法與分析法(1)、反證法    反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。    反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握

28、一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求證：不是有理數(shù)例2、已知，求證：（且）例3、設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而 因為，所以，這與題設(shè)條件矛盾，

29、所以，原不等式成立。例4、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于.證明：假設(shè)都小于，則 （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例5、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c,

30、 (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設(shè)a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c >

31、0, 則b + c = -a > 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0鞏固練習(xí)：第83頁練習(xí)3、4、5、6課后作業(yè)：第84頁 4、5、6教學(xué)反思：反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為

32、：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。     反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相

33、矛盾。課題:數(shù)學(xué)歸納法一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法。3能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。二、教學(xué)重點：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問題的方法。難點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。三、教學(xué)過程：【創(chuàng)設(shè)情境】1華羅庚的“摸球?qū)嶒灐薄?2“多米諾骨牌實驗”。問題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法實際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)問題的有力工具。【探索研究】1數(shù)學(xué)歸納

34、法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）2數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確?！纠}評析】例1：以知數(shù)列an的公差為d，求證：說明：歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。 數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式；（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1

35、時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,32. 用數(shù)學(xué)歸納法證明例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN,n2)說明：注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊有_項,右邊有_項；(2)當(dāng)n=k時,左邊有_項,右邊有_項；(3)當(dāng)n=k+1時,左邊有_項,右邊有_項；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同? 變題: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (nN+)例3：設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)說明：注意分

36、析f(k)和f(k+1)的關(guān)系?！菊n堂小結(jié)】1數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。2. 注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系.【反饋練習(xí)】1用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗證( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項數(shù)是( )A. B C D

37、3若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當(dāng)n=2時，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即4用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測課題:數(shù)學(xué)歸納法一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題3能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。二、教學(xué)重點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。難點：歸納猜想證明。三、教學(xué)過程：【創(chuàng)設(shè)情境】問題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮歸納（完全歸納）的過程，轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程。（遞推關(guān)系）問題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？（1）遞推奠基

38、：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項及前n項和等問題?！咎剿餮芯俊繂栴}：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。法一：配湊遞推假設(shè)：法二：計算f(k+1)-f(k)，避免配湊。說明：歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 注意從“n=k到n=k+1”時項的變化?！纠}評析】例1：求證: 能被整除（nN

39、+）。例2：數(shù)列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通項公式，并證明你的猜想。說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法：歸納猜想證明變題：（2002全國理科）設(shè)數(shù)列an滿足，nN+, (1)當(dāng)a1=2時，求，并猜想an的一個通項公式； （2）當(dāng)a13時，證明對所有的n1,有 ann+2 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點，問：這n條直線將平面分成多少部分？變題：平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交與兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2+n+2個部分。例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(kN+)的自然數(shù)x的個數(shù)；（）求f(x)的解析式

40、；（）記Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),試比較n與n的大小?！菊n堂小結(jié)】數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法：歸納猜想證明。2.兩個注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時關(guān)注項的變化？【反饋練習(xí)】1 觀察下列式子 則可歸納出_ (nN*)1用數(shù)學(xué)歸納法證明 2已知數(shù)列計算根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。a、b、c，使等式對一切都成立？并證明你的結(jié)論.【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測課題:復(fù)習(xí)課一、教學(xué)目標(biāo)：1了解本章知識結(jié)構(gòu)。2進(jìn)一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。課題:數(shù)學(xué)歸納法3認(rèn)

41、識數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力。二、教學(xué)重點：進(jìn)一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。難點：認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力三、教學(xué)過程：【創(chuàng)設(shè)情境】推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明間接證明類比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法數(shù)學(xué)歸納法一、知識結(jié)構(gòu)：【探索研究】我們從邏輯上分析歸納、類比、演繹的推理形式及特點；揭示了分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的思維過程及特點。通過學(xué)習(xí)，進(jìn)一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。【例題評析】例1：如圖第n個圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來,（，）。則第n2個圖形中共有_個頂點。變題：黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案：第1個第2個第3個則第n個圖案中有白色地面磚 塊。例2：長方形的對角線與過同一個頂點的兩邊所成的角為，則=1，將長方形與長方體進(jìn)行類比，可猜測的結(jié)論為：_;變題1：已知，m是非零常數(shù)，xR,且有= ,問f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期，若不是，說明理由。變題2：數(shù)列的前n項和記為Sn，已知證明：（）數(shù)列是等比數(shù)列；（）例3：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x+1)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證：為偶函數(shù)。例4：設(shè)Sn=1+ (n>1,nN),求