高中的各種函數(shù)圖像及其性質(zhì)(精編版)

1、標準實用高中各種函數(shù)圖像及其性質(zhì)一次函數(shù)（一）函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（ 5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。（二）一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如 ykx b （ k ， b 是常數(shù)，且 k0 ）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x 是自變量。當b0 時，一次函數(shù) y kx ，又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是 y kx b ，要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判

2、斷是否能化成以上形式當 b0 ， k0時， y kx 仍是一次函數(shù)當 b0 ， k0時，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k 是常數(shù)， k0) 的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k 叫做比例系數(shù) .注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx (k不為零 ) k 不為零 x 指數(shù)為 1 b取零當 k0 時，直線 y=kx 經(jīng)過三、 一象限， 從左向右上升， 即隨 x 的增大 y 也增大； 當 k0 時，圖像經(jīng)過一、三象限；k0， y 隨 x 的增大而增大； k0 時，向上平移； 當 b0 ，圖象經(jīng)過第一、三象限； k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；

3、b0 ， y 隨 x 的增大而增大；k0 時，將直線y=kx 的圖象向上平移b 個單位；當 b0b0圖象從左到右上升，y 隨 x 的增大而增大經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限k0 時，向上平移；當b0 時，直線經(jīng)過一、三象限；k 0，b 0, 直線經(jīng)過第一、二、三象限k0，y 隨 x 的增大而增大； （從左向右上升）k0 時，將直線 y=kx 的圖象向上平移平移b0 或 ax+b0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0 時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減??；當 k0 時，函數(shù)在 x0 上同

4、為減函數(shù)； k0 時，函數(shù)在 x0 上同為增函數(shù)。定義域為 x0；值域為 y0。3. 因為在 y=k/x(k 0) 中， x 不能為 0，y 也不能為 0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與 x 軸相交，也不可能與 y 軸相交。4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點 P，Q，過點 P，Q分別作 x 軸， y 軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為 S1，S2 則 S1S2=|K|5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分線） ，對稱中心是坐標原點。6. 若設(shè)正比例函數(shù) y=mx與反比例函數(shù) y=n/x 交于 A、B 兩點（ m、n

5、 同號），那么 A B 兩點關(guān)于原點對稱。7. 設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù) y=k/x 和一次函數(shù) y=mx+n，要使它們有公共交文案大全標準實用點，則 n2+4k m（不小于） 0。8. 反比例函數(shù) y=k/x 的漸近線： x 軸與 y 軸。9. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù) y=x,y=-x 軸對稱 , 并且關(guān)于原點中心對稱 .10. 反比例上一點 m向 x、y 分別做垂線，交于 q、 w，則矩形 mwqo（o 為原點）的面積為 |k|11.k 值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。13. 反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱

6、中心是原點指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=ax （ a 0，且 a 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是 R。注意：指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：文案大全標準實用規(guī)律： 1. 當兩個指數(shù)函數(shù)中的 a 互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于 y 軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。2.當 a 1 時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y 軸的右側(cè)，圖像越靠近y 軸；當 0 a 1 時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y 軸的左側(cè)，圖像越靠近y 軸。在 y 軸右邊“底大圖高 ”；在 y 軸左邊“ 底大圖低 ”。文案大全標準實用3

7、. 四字口訣：“ 大增小減 ”。即：當 a 1 時，圖像在 R 上是增函數(shù)；當 0 a1 時，圖像在 R 上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：1. 當?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；2. 當?shù)讛?shù)中 含有字母 時要注意 分類討論 ；3.當?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量 進行比較；4.對多個數(shù)進行比較，可用0 或 1 作為中間量進行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在 f(X) 后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)文案大全標準實用1. 對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=

8、ax 在定義域 (- ， + ) 上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=ax (a 0， a1) 的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=log ax(a 0， a 1).因為指數(shù)函數(shù) y=ax 的定義域為 (- ， + ) ，值域為 (0 ，+ ) ，所以對數(shù)函數(shù) y=log ax 的定義域為 (0 ， + ) ，值域為 (- ， + ).2. 對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ，因此它們的圖像對稱于直線 y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=log ax(a 0， a 1) 的性質(zhì)，我們在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=log 2x，y=

9、log10x， y=log 10x,y=log1x,y=log1210x 的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=log ax(a 0， a1) 的圖像的特征和性質(zhì). 見下表 .a 1a 1文案大全標準實用圖象(1)x 0性(2) 當 x=1 時， y=0質(zhì)(3) 當 x 1 時， y0(3) 當 x1 時， y00 x 1 時， y 00 x1 時， y0(4) 在 (0 ，+ ) 上是增函數(shù)(4) 在 (0 ， + ) 上是減函數(shù)補設(shè) y1=log ax y 2=log bx 其中 a 1， b 1( 或 0 a 1 0 b 1)充當 x 1 時“ 底大圖低

10、”即若 a b 則 y y21性當 0 x 1 時“ 底大圖高 ”即若 a b，則 y1 y2質(zhì)比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 直接進行判斷 .(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論 .(3) 若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用 換底公式 化為同底再進行比較 .(4) 若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、 0、 -1 等 中間量 進行比較 .3. 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱一般形式定義域值域函數(shù)值變化情況單調(diào)性圖像指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=ax(a 0， a 1)y=log ax(a 0，a 1)(- ，+)(0 ，+)(0 ，+)(- ，

11、+)當 a 1 時，當 a 1 時1( x0)0( x1)a x1( x0)log a x0( x1)1( x0)0( x1)當 0 a1 時，當 0 a 1 時，1( x0)0( x1)a x1( x0)log a x 0(x1)1( x0)0(x1)當 a 1 時， ax 是增函數(shù)；當 a 1 時， log ax 是增函數(shù)；當 0a 1 時， ax 是減函數(shù) .當 0a 1 時， log ax 是減函數(shù) .y=ax 的圖像與y=log ax 的圖像 關(guān)于直線 y=x 對稱 .文案大全標準實用冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù) yxn 隨著 n 的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和

12、圖像分類記憶的方法熟練掌握y xn ，當 n 2 , 1,1, 1 , 3 的圖像和性質(zhì)，列表如下23從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點1,1 ，除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限a1 , 1,1,2 , 3 時，冪函數(shù)圖像過原點且在0 ,32a1 ,1,2 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在0 ,2任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點上是增函數(shù)上是減函數(shù)yxn奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)yyyn1OxOxOxyyy0n1OxOxOxyyyn0OxOxOx文案大全標準實用定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減在第象限在第象限在第象限在第象限在第象限性單調(diào)遞增單調(diào)遞

13、增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減冪函數(shù) yx （ x R， 是常數(shù)）的圖像 在第一象限的分布規(guī)律 是：所有冪函數(shù)yx （ x R， 是常數(shù)）的圖像都過點(1,1) ；11,2,3,yx 的圖像都過原當2 時函數(shù)點 (0,0) ；當1時，yx 的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如 c2 ）；當2,3 時， yx的的圖像在第一象限是“凹型 ”曲線（如 c1 ）1凸型 ”曲線（如 c3 ）當2 時， yx的的圖像在第一象限是“當1時，y x的的圖像不過原點(0,0)，且在第一象限是“下滑 ”曲線（如c4）文案大全標準實用當0 時，冪函數(shù) y x 有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(0,0), (1,1)

14、；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，1時，圖象是向下凸的； 01 時，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點(1,1) 后，圖象向右上方無限伸展。當 0 時，冪函數(shù) y x 有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點 (1,1) ；（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與y 軸無限地接近；向右無限地與x 軸無限地接近；（4）在第一象限內(nèi)，過點(1,1) 后，越大，圖象下落的速度越快。無論 取任何實數(shù)，冪函數(shù) y x 的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。對號函數(shù)函數(shù) y axb0，+）的圖象似符號“”（ a0,b0 ）叫做對號函數(shù)，因其在（x而得名， 利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當 x0 時， axb2 b （當且僅當 axbxax即 xbb+時取等號），由此可得函數(shù) y ax（ a0,b0,