【高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破】解不等式

1、【高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破】解不等式不等式在生產(chǎn)實(shí)踐和相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具，所以不等式是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)，解不等式的應(yīng) 用非常廣泛，如求函數(shù)的定義域、值域，求參數(shù)的取值范圍等，高考 試題中對(duì)于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)密切聯(lián)系，應(yīng)重視；從歷年高 考題目看，關(guān)于解不等式的內(nèi)容年年都有，有的是直接考查解不等式， 有的則是間接考查解不等式.難點(diǎn)磁場(chǎng)()解關(guān)于x的不等式 ”>1(a# 1). x 2案例探究例1已知f(x)是定義在1, 1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若 m、n 1, 1, m+n?0 時(shí) f(m

2、) f(n) >0.m n(1)用定義證明f(x)在1,1上是增函數(shù)；(2)解不等式：f(x+1)<f(7)； 2 x 1(3)若 f(x)wt2 2at+1 對(duì)所有 x6 1, 1, aS 1, 1恒成 立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.命題意圖：本題是一道函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目，考查學(xué)生的分析能力與化歸能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題主要涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，而單調(diào)性貫穿 始終，把所求問題分解轉(zhuǎn)化，是函數(shù)中的熱點(diǎn)問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關(guān)鍵作用 .錯(cuò)解分析：(2)問中利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式時(shí)，x+1 6 1, 1, 1, 1必不可少，這恰好是容易忽略的

3、地方.x 1技巧與方法：(1)問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已 知條件不等式是關(guān)鍵，(3)問利用單調(diào)性把f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之 筆.(1)證明:任取 X1<X2,且 X1,X21 , 1,則 f(x1)一f(X2)=f(X1)+f( X2)=f(x1) f(x2) -(X1-X2)X1 X2,a 1 W X1 < X2& 1 ,X1+(X2)#0,由已知 f(X1) f( X2) >0,又 X1X2<0, X1 X2 f(X1)-f(X2)<0,即 f(X)在1,1上為增函數(shù).(2)解：f(X)在1,1上為增函數(shù)，1 X - 1 2二 1 1

4、 解得：x|3WX<1, x6 R x 12求實(shí)數(shù)a的取值 范圍.命題意圖：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間 的關(guān)系，屬*級(jí)題目.知識(shí)依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合 與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.錯(cuò)解分析：M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之 間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理, 易出錯(cuò).技巧與方法：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題， 充分考慮二 次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié) 合的思想使題目更加明朗.解：M 1,4有n種情況：其一是M=,止匕時(shí)A<0;其二 是M# ,止

5、匕時(shí)A >0,分三種情況計(jì)算a的取值范圍.設(shè) f(x)=x2 2ax+a+2,有 A =( 2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當(dāng) A<0 時(shí)，1<a<2, M=年1, 4當(dāng) A=0 時(shí)，a=-1 或 2.當(dāng) a=-1 時(shí) M= 11, 4;當(dāng) a=2 時(shí)，m=2審1,4(3)當(dāng)A >0時(shí)，a<1或a>2.設(shè)方程f(x)=0的兩根 必，X2,且X1<X2,那么 M = X1,X2，M 1,41< X1<X2<4f (1)0,且 f(4)01 a 4,且 0a 3 0即 18 7a 0,解得：2<a<18,a 0

6、7a 1或 a 2.M 1,4時(shí)，a的取值范圍是(一1,藍(lán)).錦囊妙計(jì)解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱 點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組卜一元二次不等式(組)的解法.(2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式 的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法.(5)在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不 等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6)對(duì)于含字母的不等式

7、，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類 討論.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題(x 1)2(x 1)1.()設(shè)函數(shù) f(x)= 2x 2( 1 x 1),已知 f(a)>1，則 a 的11(x 1)x取值范圍是()A.(8, -2)U(-1, +oo)B.(- 2 5 2)1 一一 ii 一C.( s, -2)U(-1, 1)D.( 2, -g)U(1,+oo)二、填空題2 .(* )已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2, a2bb), g(x)>0的解集是(1,2),貝Uf(x) g(x)>0的解集是3 .( )已知關(guān)于x的方程sin2x+2cosx+a=0

8、有解，貝U a的 取值范圍是.三、解答題4 .( )已知適合不等式|x2- 4x+p|+X- 3|< 5的x的最大 值為3.(1)求p的值；x(2)若 f(x)=,解關(guān)于 x 的不等式 f- 1(x)>iogpJx(k R+) p 1k5 .( )設(shè) f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)=7 ,問是否存在 a、b、 c6R,使得不等式：x2+T wf(x)W2x2+2x+2對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證 明你的結(jié)論.6 .(* )已知函數(shù) f(x)=x2+px+q,對(duì)于任意。6R,有 f(sin e )<0,且 f(sin e +2)>2.(1)求p、q之間的關(guān)系式；(2)

9、求p的取值范圍；(3)如果f(sin 6 +2)的最大值是14,求p的值.并求此時(shí)f(sin 6 )的最小值.7 .()解不等式 lOga(X - - )> 1 x&.()設(shè)函數(shù)f(x尸ax滿足條件:當(dāng)x6( 一00, 0)時(shí)，f(x)>1;當(dāng) x6 (0, 1時(shí),不等式 f(3mx 1)>f(1 + mx x2)>f(m+2)恒成立, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：原不等式可化為：(a 1)x (2 a)>0, x 2即：(a-1)x+(2-a) (x-2)>0.當(dāng)a>1時(shí)，原不等式與(xa二)(x 2)>0同解.a 1若Un

10、2,即0wa<1時(shí)，原不等式無解；若 U<2,即a<a 1a 10或a>1,于是a>1時(shí)原不等式的解為( s, J)U(2, +s).a 1當(dāng)a<1時(shí)，若a<0,解集為(口，2);若0<a<1,解集為(2, a 1口)a 1)綜上所述：當(dāng)a>1時(shí)解集為(一0°, a二)U(2, +oo)；當(dāng)0caa 1< 1時(shí)，解集為(2, -)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為 ;當(dāng)a<0時(shí)，解集 a 1為(=,2).a 1殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練1 .解析:由f(x)及f(a) >1可得:a 1(a 1)2 12aa 1或1 一1 1解得a&l

11、t; 2,解得-<a< 1,解得x6 2.a的取值范圍是(一s, 2)U(1)答案：C2 .解析：由已知b>a2：f(x), g(x)均為奇函數(shù)，f(x)<0的解集2 a2 a2是(一b, a2), g(x)<0 的解集是(一2 支).由 f(x) g(x)>0 可得:2a x bf (x) 0- f(x) 0 1T或，即/h或g(x) 0 g(x) 0 x -22 .x6(a2, 2)U (, 一a2)答案：(a2, ：)U( 2 , a2)3.解析：原方程可化為 cos2x2cosxa1=0,令t=cosx,得t2 2t a 1=0,原問題轉(zhuǎn)化為方程t2

12、 2t a 1=0在1, 1 上至少有一個(gè)實(shí)根.令f(t)=t2-2t-a-1,對(duì)稱軸t=1,畫圖象分析可得f( 1) 0 f(1) 0解得 aS 2, 2.答案: 2, 2三、4.解:(1)適合不等式|x2 4x+p|+|x3|W5的x的最大值為3,.x3W0, /. |x-3|=3-x.若|x24x+p|=x2+4x p,則原不等式為 x2 3x+p+2A0,其解集 不可能為x|xW3的子集，|x2 4x+p|=x2 4x+p.原不等式為 x24x+p+3 x<0,即 x25x+p2<0,令 x2 5x+p2=(x3)(xm),可得 m=2, p=8.(2)f(x)=|Lj,

13、/. f- 1(x)=log8l (-1<x<1),.有 Iog8>log8, log8(1-x)<log8k, . 1-x<k,x 1 Xk>1 k./- 1<x<1, k R+, .當(dāng) 0<kv2時(shí),原不等式解集為x|1-k <x<1;當(dāng)k>2時(shí)，原不等式的解集為x|5 .解：由 f(1)=，得 a+b+c=2 ,令 x?+1 =2x2+2x+x =- 1,由 f(x) 2222w2x2+2x+。推得 2由 f(x)>x2+；推得 f(1)> |f(1尸:，a -b+c=| ,故2(a+c)=5, a+c=

14、-fi b=1, /. f(x)=ax2+x+(| - a).依題意：aW+x+( | a) > x2+ 對(duì)一切x 6 R成立，/. a1 且=1一4(a1)(2 a)0O,得(2a3)200,f(x)=|x2+x+1易驗(yàn)證：©W+x+l w 2x2+2x+9對(duì)x R都成立. 22.二存在實(shí)數(shù) a=- , b=1, c=1,使得不等式：x2+ - < f(x) < 2x2+2x+- 222對(duì)一切x W R都成立.6 .解：(1)一iwsin。01, 1Wsin8+2W3,即當(dāng) x6 11, 1 時(shí)，f(x)0O,當(dāng) x6 1, 3時(shí)，f(x)40, .當(dāng) x=1 時(shí)

15、 f(x)=0.：1+p+q=0, q=(1+P)(2)f(x)=x2+px (1+p),當(dāng) sin。=1 時(shí) f(1)WO,1-p-1-p<0,p>0(3)注意到f(x)在1,3上遞增，x=3時(shí)f(x)有最大值.即9+3p+q=14, 9+3p1 p=14, . p=3.此時(shí)，f(x)=x2+3x 4,即求x 1, 1時(shí)f(x)的最小值.又 f(x)=(x+|y25,顯然此函數(shù)在1,1上遞增.當(dāng) x= 1 時(shí) f(x)有最小值 f(-1)=1-3-4=-6.7.解：(1)當(dāng)a>1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組1x1x由此得1 a>1.因?yàn)? a<0,所以x<0

16、,x< X< 0.(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組:a1x1x由 得x> 1或x<0,由得0 <x< ,.1<x<1 a1.1 a綜上，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集是x，<x<0,當(dāng)0<a< 11 a時(shí)，不等式的解集為8.解：由已知得x1<x< 曰.0<a<1,由 f(3mx 1)>f(1+mx x2)>f(m+2), x6(0, 1恒成立.3mx 1 1mxmxm2x在x 6 (0, 1 恒成立.2整理,x6 (0, 1)時(shí),_22x 1 x2m(x 1)恒成

17、立，即當(dāng)x6(0, 1時(shí), 11 x2 m 2xx2 1 m x 1恒成立，且x=1時(shí),2mx m(x11)- 1 x2 1. 2x 2x1在x6(0, 1上為減函數(shù)， 11 < 1,2x12 , m<怛成乂m< 0.2xT7 , , x 1又 一- (x 1)x 1x2 1 < - 1.x 112 x2,在x6(0, 1上是減函數(shù),1.m> j1恒成立m> 1 當(dāng) x6 (0,1)時(shí),1 x22x恒成立 mx2 1x 16(1, 0)當(dāng)x=1時(shí),2mx m(x11)2 x2 x0m<01、兩式求交集 m(-1, 0)，使 x6 (0,1時(shí),f(3mx 1)>f(1+mx x2)>f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(1, 0)領(lǐng)紅包：支付寶首頁搜索“ 7446771”即可領(lǐng)取支付寶紅包喲 領(lǐng)下面余額寶紅包才是大紅包，一般都是5-10元 支付的時(shí)候把支付方式轉(zhuǎn)為余額寶就行呢沒錢往里沖點(diǎn)每天都可以領(lǐng)取喲！廣告：本教程由購(gòu)物省錢的淘優(yōu)券()整理提供11x -2 x 1(3)解:由可知f(x)在1, 1上