?k代數(shù)復(fù)習(xí)題

1、矩陣填空題1 .矩陣A與B的乘積AB有意義，則必須滿(mǎn)足的條件是 。2 .設(shè)矩陣AB與BA都有意義，問(wèn) A與B的關(guān)系為;又 若AB與BA為同級(jí)方陣，問(wèn)A與B的關(guān)系為。3 .設(shè) 是一個(gè)列向量，k是一個(gè)數(shù)，分析k與k的意義A AATAATA 22,兩者是否相等？答：。6、方陣A滿(mǎn)足A2A,則A E或A 0三、解答題，一 2 141.已知矩陣A, B113131012,計(jì)算 AB , AB ABT。13 12.設(shè)A1110110 1 ,B0 0 2 0試用矩陣分塊方法求BT,AB0行列式的計(jì)算一、填空題1.0 0 0 a0 0 b 00 c 0 0d 0 0 0。(三階以上的行列式?jīng)]有對(duì)角線(xiàn)法則)2

2、.試寫(xiě)出n階行列式按第一列展開(kāi)的定義 。3 .已知四階行列式D中第三列元素依次為1,2, 0,1 ,它們的代數(shù)余子式依次分別為5, 3, 7, 4 ,貝U D =1 234.設(shè)矩陣A 2 35 ,試寫(xiě)出行列式|A中(2,1)-元的代數(shù)余子式 ,|A4 71中第三行元素的代數(shù)余子式之和5.設(shè) A (aj )3 3,| A |2, Aj表示| A|中元素a j的代數(shù)余子式(i, j 1,2,3),則(an A21a12 A22a13 A23)(a21 A21a22 A22a23 A23)(a31A21a32 A22a33 A23)6、 已知D=A41 A422428A7441436478A8498

3、44A41, A42, A43, A44為D中第4行元素的代數(shù)余子式，則7.設(shè)A是矩陣A . . * * 的伴隨矩陣，則AA A A8 .設(shè)n階矩陣A可逆，則A*9 .若A都是n階方陣，則| A10 .設(shè)A*是n階方陣A的伴隨矩陣，A d,則|AA A)11 .若A, B都是n階方陣，A 1,|B3,則3A*B1 12 .設(shè)矩陣A113、已知11231 x是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，該式中x的系數(shù)為11、判別說(shuō)理題（錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明）1、設(shè)A是n階矩陣，則kA kA。2、若一行列式為零，則該行列式中必有兩行或兩列稱(chēng)比例。（或必有一行或一列為零）3、設(shè)A是n階方陣，且A a 0,則A*

4、二1。 IAI a三、解答題1 .計(jì)算下列行列式（常規(guī)方法將行列式化為上三角形行列式，不熟練的話(huà)一定要一步步化才不容易出錯(cuò)）32511031112032040 11112 302 3 411 2 4112 130114B23 412 1302 11112 11D0112 11112（注：此行列式為列等和行列式（每一列的和都相等），也是行等和行列式，方法從第2行開(kāi)始到第n行都加到第1行，這樣第一行的元素都相等，可以提取公因式，這樣第一行的 元素就都是1 了)a b a b2 .求 D b a b a 。a b a b3.計(jì)算4階行列式D4.計(jì)算n階行列式Dn1 a 11111x a a a x

5、a a a x11a 111 a 1 a.（列等和彳r列式）（列等和行列式）85.計(jì)算n階行列式1 x 1 L（列等和行列式）11 x LDnMMO11 Lao111a106.計(jì)算 Dn 110a2100100(ai0,i0,1, ,n)an（三線(xiàn)型行列式，要利用列變換把第一列除了a11的元素都化為0）xa a L7.計(jì)算Dnax20La0x3LMMMa00La00M(xi 0,i 1,2,L ,n)(三線(xiàn)型行列式)8.計(jì)算行列式D1 a bx 1 0y 0 1z 0 0xnc001（三線(xiàn)型行列式）9.設(shè)3階方陣A的伴隨矩陣為A,且|A1,、1_-,求(4A) 1 2A22 310 .設(shè) A

6、121 22 311 .設(shè) 3A 121 22123112 1821 231311134 2 ,求 A。3 2134 2 ,求 A3 2，求 BTA、兒 10012.設(shè) A,1 1 113.設(shè)A是n階方陣，且2,求 3A 12A，其中A是A的伴隨矩陣逆矩陣一、填空題1 .試寫(xiě)出n階方陣A可逆的幾個(gè)充分必要條件（越多越好） 2002 .設(shè)矩陣A012,則A001022.矩陣030,010可逆，且其逆為其本身。0010013.若方陣A可逆，則其伴隨矩陣A*也可逆。4.設(shè)A, B都是n階方陣，若A, B都可逆，則A B可逆。5. n階方陣A滿(mǎn)足A2 A 2E 0,則E A可逆。0353.設(shè)A12 0

7、 0，貝U A14 .已知矩陣 A滿(mǎn)足 A2 2A 3E 0,則A1 。5 .已知A,B,C為同階方陣，且C可逆，若C 1AC B,則C 1AmC 整數(shù)）。6 .設(shè) A, B, C, D 均為 n 階方陣，且 ABCD E ,則（BC）T（DA）T7 .設(shè)A, B, C均為n階方陣，且ABC E,則BT（CA）T 、判別說(shuō)理題（錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明）0 1 01 .矩陣1 0 0可逆，且其逆為其本身。0 0 1解答題10 101.已知AA1。11112 .設(shè)A3 .用兩種方法求下列矩陣的逆A 2 3 4 ,B4 2 34.已知矩陣A和B滿(mǎn)足關(guān)系式：AB 2A B,其中B 110,求矩

8、陣A。1 2 3矩陣的秩一、填空題1.試寫(xiě)出矩陣秩的定義：1 232 .設(shè)矩陣A 4 56,則A的秩R(A) 。7 89 233.矩陣A2 3 5的秩為, A的伴隨矩陣A*=4 714.設(shè)A是3階可逆方陣，B是3 4矩陣且R(B) 2 ,則R(AB) 。1 0 25.設(shè) A 0 4 0 , B 是 3 4 矩陣且 R(B) 2,則 R(AB) 。 0 36.設(shè)B是3 4矩陣且R(B) 2,則B的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 7.設(shè)R(Am n) n ,則A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 。 1 2 018.設(shè)A 2 0 1 3 ,則A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 2 2 5、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1 .若矩陣A的秩為

9、r ,則A中必有某一個(gè)r 1階子式不等于零。2 .若n階方陣A的秩R(A) n 1,則其伴隨陣A* 0。三、解答題1 .寫(xiě)出下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形2 1111 1214622,374313 2 13 110 11，1110 213 12 0 k1111k11(對(duì)k討論)11k22.設(shè)矩陣1112A 31 2的秩為2,求，。5 36線(xiàn)性方程組一、填空題1 .試寫(xiě)出線(xiàn)性方程組有解的一個(gè)充分必要條件 。2 .設(shè)A是n階方陣，且秩(A) r n,則齊次線(xiàn)性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系中含 個(gè)解向量。3 .方程組2X1 3X2 3X3 2X4 0的基礎(chǔ)解系中含 個(gè)解向量。7x1 2x2 x3 3x4 04 .

10、設(shè)1,2是n(n 3)元齊次線(xiàn)性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系，則秩(A尸。5 .矩陣Am n的秩為r ,則AX 0的基礎(chǔ)解系一定由 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成。6 .設(shè)A是n階方陣，RA n 2 ,則線(xiàn)性方程組AX 0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是010Xi07 .若方程組 111X20有非零解，則 0或 02X308 .設(shè)A是n階方陣，若線(xiàn)性方程組AX 0有非零解，則必有| A X1 2x2 6x309 .已知齊次線(xiàn)性方程組X1X2 3X3 0有無(wú)窮多解，則必有 2x1 X2 3X30二、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1 . n元線(xiàn)性方程組Ax b(b 0)當(dāng)R(A) n時(shí)有無(wú)窮多解2 .

11、設(shè)A是n階方陣，若方程組AX b滿(mǎn)足R(A) R(A,b),則AX b有唯一解。3 .對(duì)于線(xiàn)性方程組Ax b (這里A為n階方陣),如果該方程組有解，則必有R(A) n4 .設(shè)1,2是方程組AX的解，則12是AX 的解。5 .設(shè)1,2是方程組AX的解，則12是AX0的解。6 .設(shè)1, 2是線(xiàn)性方程組AX 0的解，則12是AX 0的解的解，k是任意常數(shù)7 .設(shè)1, 2是線(xiàn)性方程組AX 的解，則k 1 (1 k) 2是AX三、解答題X1X22x3X42/2x12x2X32X45(2)0X12x23x34x423x1X27X35x4171.求解線(xiàn)性方程組2x1 x2 3x32(1)2 X2 3x31

12、 ;2 為 x2 4x392.求下列各非齊次線(xiàn)性方程組的通解及對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1X2X3X41X1x25X1X2X3X40 ；(2)2x1 X2X3 2x41x1 x2 2x32x415x1 3x22x3 2x4 32x1 x2 2x46X1 X2 X3 X4 1X1X2X3xx2 x3x403.求齊次線(xiàn)性方程組x1x2x33x4 0的基礎(chǔ)解系與其通解。x x2 2x33x40x x2x3x4 14.已知線(xiàn)性方程組xux1 x3x1 ux2x x3向量組的線(xiàn)形相關(guān)性填空題 3x2 5x3x4 3，求k,使得上述方程組有解，并求出所有x x2 3x35x4 3x1 5x2 11

13、x312x4 k的解kx1 (k 1)x2 x315.討論方程組 kxi kx2 X3 2,當(dāng)k取何值時(shí)2kxi 2(k 1)x2 kx32(1)方程組無(wú)解？(2)方程組有無(wú)窮多解？并求出通解.(3)方程組有唯一解？6.討論下列方程組中的參數(shù)，研究方程組的解。xx2x3x3x1 x2 x3 u2x1 x2 x3 1 ;X vx301x3 1v1.(1,3,5),(1,1,3),3 (1,a,6)線(xiàn)性相關(guān)，則a的值為2.若向量(2,3,1,0,1)與(4, 6, 2, a, 2)線(xiàn)性相關(guān)，則a的取值為3.設(shè)向量組(1,2,3) ,2(2,1,3) ,3( 1,1,0)，則向量組3的秩是4.設(shè)向量

14、組1,L , r的秩為p ,向量組II :1,L , s秩為q ,且向量組I能由向量組II線(xiàn)性表出，則p與q的大小關(guān)系是5.設(shè)向量組I：1,L , s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而1, 2都能由I線(xiàn)性表出，則秩(1, L , s, 1 , 2 尸。6.已知一個(gè)向量組含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，則各個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)必定。、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1. 3維向量組4必線(xiàn)性相關(guān)。2 .若一個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)，則該向量組中必含有零向量。3 .如果向量組1, 2,L , s線(xiàn)性相關(guān)，那么這個(gè)向量組中一定有兩個(gè)向量成比例。4 .包含零向量的向量組是線(xiàn)性相關(guān)的。5 . n維向量組1,L

15、 , s與n維向量組1,L , s秩相等，則這兩個(gè)向量組必能互相線(xiàn)性表6 .若兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線(xiàn)性相關(guān)，則它們必成比例。解答題1.求下列向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示(0, 1, 1)T,2(1,1,2)T, 3(1,0,1)T；(3,3,1,2)T,2(0,1,1,2)T(3,2,0, 0)T(1,1,1,1)T ；T1,1, 2,121,2,1,51,1,0,43, 1, 2,T1,0,1,222,4,0,33,4,3,541, 2,2,T2,10, 1,02.判斷下列向量組的等價(jià)性T11,0,10,1,01,1,1 T 與T1, 1,11,0,03 .設(shè)

16、矩陣A214311661229112724 , , 1 一、 一,求矩陣A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把不屬49于極大無(wú)關(guān)組的列向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。4.設(shè) 1(6,a 1,3)t, 2(a, 2, 2)T, 3(a,1, 0)T ,求a 為何值時(shí)，(1)1, 2, 3 線(xiàn)性相關(guān)？ (2)1, 2, 3線(xiàn)性無(wú)關(guān)？方陣的特征值與特征向量一、填空題1 .設(shè)1, 2,L , n是n階矩陣A的n個(gè)特征值，則A 。2 . 3階方陣A的特征值為3, 1,2 ,則A 。3 .若3是可逆方陣A的一個(gè)特征值，則A 1必有一個(gè)特征值為 <4 .設(shè)1, 2是分別屬于方陣A的不同特征值1, 2的特征向量

17、，則1, 2必線(xiàn)5.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A23勺兩個(gè)特征值為E的某個(gè)特征值6 .設(shè)實(shí)數(shù) 是實(shí)矩陣A的某個(gè)特征值，則可知矩陣 B A3 2A207 .若已知n階萬(wàn)陣A的行列式|A 2 ,2是矩陣A的一個(gè)特征值，則其伴隨矩陣A必有一個(gè)特征值為。8 .已知3階矩陣A的特征值為1, 1,2,則矩陣B A3 2A2的特征值為9 .設(shè)A是幕零矩陣，即存在正整數(shù)k ,使得Ak 0 ,則A的特征值為。10 .設(shè)A為n階方陣，且A2 5A 6E O,則A的特征值只能是 。1111 .設(shè)向量11和2 0都是矩陣A對(duì)應(yīng)特征值2的特征向量，且向量011 2 2 ,則向量A 。12 .已知2是A的一個(gè)特征值，則| A2 A 6E

18、|。二、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1 .可逆矩陣的特征值一定不為零。2 .若 是n階矩陣A的特征值，則2是A2的特征值。3 .設(shè)A為n階方陣，則A與AT有相同的特征值。4 .設(shè)A為n階方陣，則A與AT有相同的特征多項(xiàng)式。5 .設(shè)1, 2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,1, 2是對(duì)應(yīng)的特征向量，則12也是A的特征向量。三、解答題1 .求下列矩陣的特征值、特征向量：2 1 1(1) . A 02 0;4 1 3310(2) . B 410;4823 11(3) . C 3 53;0 0 20 0 1(4) . D 0 10。1 0 02.已知3階方陣A的特征值為1,2, 3,試求A

19、3A 2E12123.已知 1是矩陣A 5 a 3的一個(gè)特征向量，試確定參數(shù)a, b及特征向量11 b 2所對(duì)應(yīng)的特征值。相似矩陣一、填空題1 .若n階方陣A與B相似，且|A 2,則BA 。 ,23,12. 一2 .若2 3與1 相似，則x, y。y x 3 43 .與n階單位矩陣E相似的矩陣是 。二、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1 .相似矩陣的行列式相等。2 .設(shè)矩陣A相似于矩陣B,則A2與B2也必相似。3 .設(shè)A, B都是n階方陣，若A與B相似，則A與B有相同的特征值。4 .設(shè)A, B都是n階方陣，若A, B有相同的特征值，則A與B相似。5 .設(shè)A, B, C都是n階方陣，

20、若A與B相似，B與C相似，則A與C相似。三、解答題2 001.設(shè)矩陣A1 21,(1)求A的特征值和特征向量;1 01(2)試求一可逆矩陣P ,使得P 1AP為對(duì)角陣。3 02.設(shè) A 0 41 010(1) A是否能對(duì)角化？說(shuō)明理由。3(2)若能，試求可逆矩陣P ,使P 1AP為對(duì)角陣。3.三階方陣A的特征值為1,0, 1,對(duì)應(yīng)特征向量分別為i1001, 21, 30,求111A88o4.設(shè)A2 0 00 3 2(1)求A的特征值和特征向量;0 2 3(2)A是否可對(duì)角化？若可對(duì)角化，試求矩陣 P ,使得P 1AP成為對(duì)角形實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交對(duì)角化一、填空題1 .設(shè)向量(1,5,k, 1)T與

21、向量 (2k,3, 2,k)T相互正交， 則k = 。2 .向量 (1,2,3)T 與 (1,2,b)T 正交，則 b 3 .已知 (1,1,0, 1),( 1, 2,0,1) o 則內(nèi)積3, 。4 .設(shè) 1,2,a,4,4,b, 2,1 ,若 與 正交，則a,b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系為 5 .設(shè)A為n階正交陣，則A必可逆，且A 1 o6 .設(shè)向量，分別為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的兩個(gè)不同特征值1, 2所對(duì)應(yīng)的特征向量，則,=12.，一，17.已知矩陣A -j=1.31,313a為正交矩陣，則矩陣元素a,b分別為二、判別說(shuō)理題(錯(cuò)誤的請(qǐng)舉例說(shuō)明，正確的請(qǐng)證明)1 .設(shè)A為正交陣，則矩陣A的實(shí)特征值 滿(mǎn)足等式：2 12 .若A是正交方陣，則A 1 AT也是正交陣，且