微積分基本公式55895

1、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院微積分基本公式微積分基本公式一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓三、牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(ttdttv 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)是時(shí)間間隔間間隔,21tt上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()

2、(12tsts 一、問(wèn)題的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院abxyo定定理理 如如果

3、果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天

4、府學(xué)院 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxfxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xf 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxfxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxf )()()()(xbxadttfdxdxf西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2

5、sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttfdtttfxf00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函數(shù).證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf

6、, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf故故)(xf在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個(gè)個(gè)解解.證證, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf)(xf在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xf即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解.令令西

7、南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xf是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)(

8、)()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xf是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，cxxf )()(,bax 證證三、牛頓萊布尼茲公式西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxf)( 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,

9、ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo

10、12西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例7 7 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積.解解 面積面積xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院

11、3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小結(jié)牛頓萊布尼茲公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茲公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院五、作業(yè)p152：9（單）（單）西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院思考題解答思考題解答dttf

12、xa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxi dxnxmx sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天

13、府學(xué)院（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3i= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定

14、，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院三、三、 計(jì)算下列各定積分：計(jì)算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .西南財(cái)經(jīng)大

15、學(xué)天府學(xué)院五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，或或，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達(dá)式內(nèi)的表達(dá)式 . .西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba內(nèi)有且僅有一個(gè)根內(nèi)有且僅有一個(gè)根 . .西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,