2012年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：12.1離散型隨機(jī)變量的分布列Word版

1、第十二章 概率與統(tǒng)計網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標(biāo)定位1.了解離散型隨機(jī)變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.2.了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差.3.會用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本.4.會用樣本頻率分布估計總體分布.5.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì).6.了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用.7.實習(xí)作業(yè)以抽樣方法為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.復(fù)習(xí)方略指南在復(fù)習(xí)中，要注意理解變量的多樣性，深化函數(shù)的思想方法在實際問題中的應(yīng)用，充分注意一些概念的實際意義，理解概率中處理問題的基本思想方法，掌握所學(xué)概率知識的實

2、際應(yīng)用.1.把握基本題型應(yīng)用本章知識要解決的題型主要分兩大類：一類是應(yīng)用隨機(jī)變量的概念，特別是離散型隨機(jī)變量分布列以及期望與方差的基礎(chǔ)知識，討論隨機(jī)變量的取值范圍，取相應(yīng)值的概率及期望、方差的求解計算；另一類主要是如何抽取樣本及如何用樣本去估計總體.作為本章知識的一個綜合應(yīng)用，教材以實習(xí)作業(yè)作為一節(jié)給出，應(yīng)給予足夠的重視.2.強(qiáng)化雙基訓(xùn)練主要是培養(yǎng)扎實的基礎(chǔ)知識，迅捷準(zhǔn)確的運算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗤评砟芰?3.強(qiáng)化方法選擇特別在教學(xué)中要掌握思維過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，達(dá)到舉一反三的目的，還要進(jìn)行題后反思，使學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.4.

3、培養(yǎng)應(yīng)用意識要挖掘知識之間的內(nèi)在了解，從形式結(jié)構(gòu)、數(shù)字特征、圖形圖表的位置特點等方面進(jìn)行聯(lián)想和試驗，找到知識的“結(jié)點”.再有就是將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行訓(xùn)練，以培養(yǎng)利用所學(xué)知識解決實際問題的能力.12.1 離散型隨機(jī)變量的分布列知識梳理1.隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘字母、等表示.（1）離散型隨機(jī)變量.如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.（2）若是隨機(jī)變量，=a+b，其中a、b是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列（1）概率分布（分布列）.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取

4、的值為x1，x2，xi，取每一個值xi（i=1，2，）的概率P（=xi）=pi，則稱表x1x2xiPp1p2pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.（2）二項分布.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P（=k）=Cpkqnk.其中k=0，1，n，q=1p，于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作B（n，p），其中n、p為參數(shù)，并記Cpkqnk=b（k；n，p）.特別提示二項分布是一種常用的離散型隨機(jī)變量的分布.點擊雙基1.拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為，那么=

5、4表示的隨機(jī)試驗結(jié)果是A.一顆是3點，一顆是1點B.兩顆都是2點C.兩顆都是4點D.一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點解析：對A、B中表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4，而D是 =4代表的所有試驗結(jié)果.掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵.答案：D2.下列表中能成為隨機(jī)變量的分布列的是A.101P0.30.40.4B.123P0.40.70.1C.101P0.30.40.3D.123P0.30.40.4解析：A、D不滿足分布列的基本性質(zhì)，B不滿足分布列的基本性質(zhì).答案：C3.已知隨機(jī)變量的分布列為P（=k）=，k=1，2，則P（24）等于A.B.C

6、.D.解析：P（24）=P（=3）+P（=4）=+=.答案：A4.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)取出5件，其中次品數(shù)的分布列為_.解析：本題中商品數(shù)量較大，故從中任意抽取5件（不放回）可以看作是獨立重復(fù)試驗n=5，因而次品數(shù)服從二項分布，即B（5，0.1）.的分布列如下：012345P0.950.50.940.10.930.010.924.50.140.155.設(shè)隨機(jī)變量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，則P（1）=_.解析：P（1）=1P（1）=1Cp0（1p）2=，p=，P（1）=1P（=0）=1C（）0（）4=1=.答案： 典例剖析【例1】 在10件產(chǎn)品中有2

7、件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列；（2）放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列.剖析：隨機(jī)變量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，放回抽樣和不放回抽樣對隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析.解：（1）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列為012P（2）P（=k）=C0.83k0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列為0123PC0.83C0.820.2C0.80.22C0.23評述：放回抽樣時，抽到的次品數(shù)為獨立重復(fù)試驗事件，即B（3，0.8）.特別提示求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個問題：一是求出隨機(jī)變量所有

8、可能的值；二是求出取每一個值時的概率.【例2】 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的三只球中的最小號碼，寫出隨機(jī)變量的分布列.剖析：因為在編號為1，2，3，4，5的球中，同時取3只，所以小號碼可能是1或2或3，即可以取1，2，3.解：隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3.當(dāng)=1時，即取出的三只球中最小號碼為1，則其他兩只球只能在編號為2，3，4，5的四只球中任取兩只，故有P（=1）=；當(dāng)=2時，即取出的三只球中最小號碼為2，則其他兩只球只能在編號為3，4，5的三只球中任取兩只，故有P（=2）=；當(dāng)=3時，即取出的三只球中最小號碼為3，則其他兩只球只能在編號為4，

9、5的兩只球中任取兩只，故有P（=3）=.因此，的分布列如下表所示：123P評述：求隨機(jī)變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計算，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等.本題中基本事件總數(shù)，即n=C，取每一個球的概率都屬古典概率（等可能性事件的概率）.【例3】 （2004年春季安徽）已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品.需要從中取出2個正品，每次取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止.設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及E.剖析：每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時，=4，所以可以取2，3，4.解：P（

10、=2）=；P（=3）=+=；P（=4）=1=.的分布列如下：234PE=2P（=2）+3P（=3）+4P（=4）=.評述：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.思考討論1.=4時有哪些情況?2.本題若改為取出后放回，如何求解?闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個數(shù)是A.5 B.9 C.10 D.25解析：號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.答案：B2.一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，

11、每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了次球，則P（=12）等于A.C（）10（）2B.C（）9（）2C.C（）9（）2D.C（）9（）2解析：P（=12）表示第12次為紅球，前11次中有9次為紅球，從而P（=12）=C（）9（）2.答案：B3.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取5粒，記為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是_.解析：B（5，0.3），的分布列是P（=k）=C0.3k0.75k，k=0，1，5.答案：P（=k）=C0.3k0.75k，k=0，1，54.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為

12、隨機(jī)變量，則P（6）=_.解析：取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個.其分值為=4，6，8，10分.P（6）=P（=4）+P（=6）=+=.答案：5.（2004年天津，理18）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率.解：（1）的可能取值為0，1，2.P（=k）=，k=0，1，2.的分布列為012P（2）由（1），可知E=0+1+2=1.（3）“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P（1）=P（=0）+P（=1）=.培養(yǎng)能力6.（2003年高考新

13、課程）A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負(fù)的概率A1對B1A2對B2A3對B3現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分.設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為、.（1）求、的概率分布；（2）求E、E.分析：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.解：（1）、的可能取值分別為3，2，1，0.P（=3）=，P（=2）=+=，P（=1）=+=，P（=0）=；根據(jù)題意知+=3，所以P（=0）=P（=3）=，P（=

14、1）=P（=2）=，P（=2）=P（=1）=，P（=3）=P（=0）=.（2）E=3+2+1+0=；因為+=3，所以E=3E=.7.金工車間有10臺同類型的機(jī)床，每臺機(jī)床配備的電動機(jī)功率為10 kW，已知每臺機(jī)床工作時，平均每小時實際開動12 min，且開動與否是相互獨立的.現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供50 kW的電力，這10臺機(jī)床能夠正常工作的概率為多大?在一個工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時間大約是多少?分析：由實際問題確定隨機(jī)變量的取值，由獨立重復(fù)試驗求概率值.解：設(shè)10臺機(jī)床中實際開動的機(jī)床數(shù)為隨機(jī)變量，由于機(jī)床類型相同，且機(jī)床的開動與否相互獨立，因此B（10，p）.其中p是

15、每臺機(jī)床開動的概率，由題意p=.從而P（=k）=C（）k（）10k，k=0，1，2，10.50 kW電力同時供給5臺機(jī)床開動，因而10臺機(jī)床同時開動的臺數(shù)不超過5臺時都可以正常工作.這一事件的概率為P（5），P（5）=C（）10+C（）9+C（）2（）8+C（）3（）7+C（）4（）6+C（）5（）50.994.因此，在電力供應(yīng)為50 kW的條件下，機(jī)床不能正常工作的概率僅約為0.006，從而在一個工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時間只有大約8600.006=2.88（min），這說明，10臺機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.評述：分布列的實際應(yīng)用，應(yīng)結(jié)合題意給出答案.8.一袋中裝有5只

16、球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最大號，寫出隨機(jī)變量的分布列.解：根據(jù)題意可知隨機(jī)變量的取值為3，4，5.當(dāng)=3時，即取出的三只球中最大號碼為3，則其他兩球的編號只能是1，2，故有P（=3）=.當(dāng)=4時，即取出的三只球中最大號碼為4，則其他兩球只能在編號為1，2，3的3球中取2個，故P（=4）=.P（=5）=.可得的分布列為345P探究創(chuàng)新9.如果B（20，），則使P（=k）取最大值的k的值是_.解析：=1，得k6.所以當(dāng)k6時，P（=k+1）P（=k），當(dāng)k0時，P（=k+1）P（=k），其中k=6時，P（=k+1）=P（=k），從而k=6或7時，P（=

17、k）取得最大值.答案：6或7思悟小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個本質(zhì)特征：pi0（i=1，2，n）與pi=1是確定分布列中參數(shù)值的依據(jù).2.求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出取各個值的概率.3.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.4.處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量.教師下載中心教學(xué)點睛離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率和.求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出的所有取值，二是求出取每一個值時的概率.求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提.拓展題例【例題】 盒中裝有一打（12個）乒乓球，其中9個新的，3個舊的（用過的球即為舊的），從盒中任取3個使用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)是一個隨機(jī)變量，