自由落體、拋體與簡(jiǎn)諧振動(dòng) --- 牛頓運(yùn)動(dòng)定律與能量守衡

1、自由落體、拋體與簡(jiǎn)諧振動(dòng) - 牛頓運(yùn)動(dòng)定律與能量守衡【Classical physics (i) predicts a precise trajectory for particles with precisely specified locations and momenta at each instant, and (ii) allows the translational, rotational, and vibrational motion to be excited to any energy simply by controlling the forces that are app

2、lied.】牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，將一個(gè)“粒子”的位置變化與它受到的力連結(jié)起來；公式中的 如果用 kg 作單位， 用 作單位， 的單位就是 。 如果我們知道公式左邊 的數(shù)學(xué)式子，就可以用積分找出 ，找出 ?！咀杂陕潴w、拋體】假設(shè)任何具有質(zhì)量的物體，在地表附近受到的地心引力大小是 ，；而且在它落下或上拋的過程中暫時(shí)不用考慮到空氣的磨擦力。 設(shè)定座標(biāo)系統(tǒng)例1. 一位同學(xué)在人文科技大樓6樓 (假設(shè)距離地面 50 m)，垂直上拋一顆質(zhì)量 200 g 的棒球；如果將球離開手的瞬間定為 t = 0，那時(shí)的速度是 10 ，(1) 球達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)間是多少？(2) 球著地的時(shí)間是多少？ 球觸地那一瞬間的速度是多少

3、？例2. 一位同學(xué)在人文科技大樓頂樓 (假設(shè)距離地面 100 m)，讓一顆質(zhì)量 200 g 的棒球自由落下 (球離開手時(shí)的速度是0)；如果將球離開手的瞬間定為 t = 0，球著地的時(shí)間是多少？ 球觸地那一瞬間的速度是多少？例3. 如果兩位同學(xué)分別在6樓與頂樓，同時(shí)做上拋與自由落下的動(dòng)作，這2顆棒球在著地前會(huì)不會(huì)相碰？ 如果會(huì)，要經(jīng)過多少時(shí)間才會(huì)相碰？例4. 一顆足球質(zhì)量約 400 g，從地面被人一腳踢向空中；如果將球離開地面的瞬間定為 t = 0，那時(shí)的速度大小是 50 ，和地面的夾角是 ，(1) 球的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(2) 球落地的位置與離地位置相距多遠(yuǎn)？例5. 如果球離開地面時(shí)的

4、速度大小是 50 ，和地面的夾角是 ，(1) 球的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(2) 球落地的位置與離地位置相距多遠(yuǎn)？例6. 如果球離開地面時(shí)的速度大小是 50 ，當(dāng)速度與地面的夾角是多少時(shí)球落地的位置與離地位置相距最遠(yuǎn)？ 具有質(zhì)量的兩個(gè)物體間的作用力 (重力，或稱萬有引力) - ， 重力位能是 ，r 是兩個(gè)物體的距離。如果地球的半徑用 R 表示，任何物體在地表的高度用 h 表示，那麼兩者之間 (中心點(diǎn)與中心點(diǎn)) 的距離 r = R + h，所以任何在地表高度 h 的物體，它的重力位能是利用 的 Maclaurin 級(jí)數(shù)展開式改寫上式任何在地表高度 h 的物體，它受到的地心引力是代入地球的質(zhì)量

5、M1 = 5.98 × 1024 kg，半徑 R = 6.37 × 106 m，計(jì)算 =？【簡(jiǎn)諧振動(dòng)】地表附近的自由落體或是拋體，它們受到的作用力是一個(gè)固定值，不會(huì)隨它們的位置、速度改變；接下來，我們利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)來介紹一種和位置有關(guān)的作用力。在一個(gè)水平、沒有摩擦力的桌面放置一個(gè)質(zhì)量 M 的木塊，木塊的一邊接著一個(gè)彈簧，彈簧的彈力常數(shù) (force constant) 是 k；如果彈簧被拉長(zhǎng)或是縮短一段長(zhǎng)度，虎克定律 (Hooks law) 告訴我們，彈簧想要恢復(fù)原先狀態(tài) (沒被拉長(zhǎng)或縮短) 的力量是 FH = k (拉長(zhǎng)或是縮短的長(zhǎng)度)。如果 FH 的單位是 N，拉長(zhǎng)或是縮

6、短的長(zhǎng)度以 m 為單位，彈力常數(shù) k 的單位就是 N/m。在水平的桌面設(shè)定 X 軸，讓整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到平衡 - 彈簧恢復(fù)正常的長(zhǎng)度，木塊靜止在桌面上；將木塊的中心點(diǎn)定為原點(diǎn)。 如果木塊的中心點(diǎn)座標(biāo)大於 0，表示彈簧被拉長(zhǎng)，產(chǎn)生一個(gè)向左的恢復(fù)力作用在木塊上；如果木塊的中心點(diǎn)座標(biāo)小於 0，表示彈簧被縮短，產(chǎn)生一個(gè)向右的恢復(fù)力作用在木塊上。 因此，作用在木塊上的力和它的中心點(diǎn)座標(biāo)有關(guān)： ， 是水平向右，X 方向的單位向量。利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，以及 ，可以寫出木塊中心點(diǎn)的位置 () 與時(shí)間關(guān)聯(lián)的一個(gè)微分方程式， 例1. 如果一開始將木塊往右拉，讓它中心點(diǎn)的座標(biāo)是 0.6 m，然後放開手，讓木塊在彈簧彈力

7、作用下左右振動(dòng)；【木塊的質(zhì)量是 300 g，彈簧的 k = 2.5 N/m】(1) 計(jì)算木塊通過 X = 0 的速度大小是多少？(2) 計(jì)算木塊左右端點(diǎn)的速度大小是多少？(3) 木塊從右往左，又從左往右，完成一次振動(dòng)需要多少時(shí)間？(4) 根據(jù)上面的計(jì)算，簡(jiǎn)單地描述在不同位置找到木塊的機(jī)率。à 要滿足上面的微分方程式以及題目中的起始條件， ，其中 B = 0.6 m，；à ，；à ，所以 ；à 不同時(shí)間，木塊在不同地方，具有不同的速度，因此它的位能、動(dòng)能都不一樣；但是全部能量卻固定不變， 。例2. 如果一開始木塊中心點(diǎn)被往右拉到 X = 1.2 m，然後放

8、開手，讓木塊在彈簧彈力作用下左右振動(dòng)。木塊振動(dòng)的頻率，或是週期有沒有改變？木塊經(jīng)過 X = 0 時(shí)的速率有沒有改變？木塊在 X = ± 1.2 m 的位能是多少？不同時(shí)間，木塊在不同位置，全部的能量是多少？只要彈簧的彈力常數(shù)、木塊的質(zhì)量不變，振動(dòng)的頻率，或是週期就不會(huì)改變。如果振幅變大，表示同樣的時(shí)間，木塊以較快的速率移動(dòng)較大的距離；木塊的能量變大了。我們必須提供能量 (譬如說，用碰撞的方式) 才能讓振動(dòng)的木塊振幅變大。 resonance例3. 我們可以用簡(jiǎn)諧振動(dòng)來描述分子內(nèi)部原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。以雙原子分子 (HF) 為例，把 H 與 F 之間的化學(xué)鍵看成一個(gè)彈簧，連在化學(xué)鍵兩端的原

9、子核遠(yuǎn)離、靠近的相對(duì)運(yùn)動(dòng)就是彈簧伸長(zhǎng)、縮短的動(dòng)作。如果分子的質(zhì)量中心固定，化學(xué)鍵兩端的原子會(huì)同步的靠近、遠(yuǎn)離質(zhì)量中心。以 HF 為例，分子的質(zhì)量中心位於兩個(gè)原子核之間，比較靠近較重的 F 原子。因此，振動(dòng)時(shí) F 原子移動(dòng)的距離較小，H 原子移動(dòng)的距離較大；可是完成一次振動(dòng)花的時(shí)間兩者相同。也就是說，較輕的 H 原子需要以較快的速率在相同時(shí)間內(nèi)移動(dòng)較長(zhǎng)的距離。換一種說法，化學(xué)鍵為了恢復(fù)原先長(zhǎng)度，作用在兩個(gè)原子上的力量是相同的；質(zhì)量輕的原子有較大的加速度，在相同時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生較快的速度，移動(dòng)較長(zhǎng)的距離。要用連在牆上的彈簧、木塊來描述雙原子的振動(dòng)，我們需要把化學(xué)鍵兩端同步振動(dòng)的二個(gè)原子簡(jiǎn)化成一個(gè)假想的“

10、粒子”，這個(gè)粒子的質(zhì)量是 (reduced mass)，；化學(xué)鍵的彈簧一端連在“牆上”，一端連著這個(gè)假想的粒子。參考下列的數(shù)據(jù)，找出雙原子分子的振動(dòng)頻率：鍵長(zhǎng) (pm)k (N/m)振動(dòng)頻率 (s-1)H274.14575D274.15577H81Br141.4412H35Cl127.5516H19F91.68966 同位素的差異是原子核內(nèi)的中子數(shù)，何外的電子組態(tài)一樣，因此它們形成的化學(xué)鍵 (鍵長(zhǎng)、強(qiáng)度) 相同。【摩擦力】最後，我們利用空氣阻力 - 地表附近的自由落體或是拋體，它們受到的摩擦力，來介紹一種和速度有關(guān)的作用力。地表附近的自由落體或是拋體，會(huì)因?yàn)椴馁|(zhì)、大小、形狀不同，受到不同大小的

11、空氣摩擦力；不管這些差異，空氣摩擦力的大小和速度大小成比例，方向相反。如果摩擦力的大小和速度大小的一次方成比例，； 稱為摩擦係數(shù)，不同材質(zhì)、不同大小、不同形狀的物體在空氣中運(yùn)動(dòng)，顯現(xiàn)不同的摩擦係數(shù)。 當(dāng) 的單位是 N，速度以 m/s 為單位， 的單位就是 N s/m。如果我們一個(gè)垂直向上的 Y 軸，地面的高度定為 Y = 0，那麼任何物體從高處自由落下 (一開始的速度是 0)，都會(huì)受到向下的地心引力以及與落下速度方向相反的空氣摩擦力，；因此牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，寫成， 這是一個(gè)自由落下，受到空氣摩擦力影響的物體，它的速度與時(shí)間關(guān)聯(lián)的一個(gè)微分方程式。符合這個(gè)微分方程式以及一開始自由落下 (一開始的速

12、度是 0) 這個(gè)條件的解是 ；當(dāng) ， ，這個(gè)速度稱為終極速度；既然地心引力大小固定，使得物體落下的速度越來越快，可是落下速度越快，受到的摩擦力就越大，只要經(jīng)過的時(shí)間夠長(zhǎng)，摩擦力可以增大到抵消地心引力，這時(shí)物體落下的速度不再改變。我們可以從下面的例子發(fā)現(xiàn)，實(shí)際的情況中，不必等很久，物體落下的速度就幾乎等於終極速度。例1. 一顆質(zhì)量 0.2 g 的小水珠從 4000 公尺的高空自由落下 (假設(shè)落下過程中水珠不會(huì)因蒸發(fā)而變小)，(1) 如果沒有空氣阻力，水珠觸地那一瞬間的速度是多少？(2) 如果空氣與水珠的摩擦係數(shù)是 0.1 N s/m ，水珠觸地那一瞬間的速度是多少？(3) 假設(shè)從水珠觸地，水花四

13、濺，到一切寂靜只需 0.3 秒的時(shí)間，請(qǐng)估計(jì)水珠對(duì)地面的撞擊力大小是多少？例2. 一顆 0.2 kg 的棒球被人從地面垂直向上拋，如果球離手時(shí)的速度是 20 m/s，(1) 只有地心引力，不考慮空氣阻力，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(2) 同時(shí)考慮地心引力與空氣阻力，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？例3. 一顆 0.2 kg 的棒球被人從地面向上、像前拋出；如果球離手時(shí)與地面的夾角是 ，速率是 20 m/s，同時(shí)考慮地心引力與空氣阻力的作用，計(jì)算(1) = 30°，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(2) = 45°，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(3) = 6

14、0°，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離是多少？(4) =？，球上升的最高點(diǎn)與地面的距離最遠(yuǎn)？例4. 撞球桌上一顆球的質(zhì)量是 0.2 kg，以 3 m/s 的速度前進(jìn)；如果球前進(jìn)時(shí)桌面的摩擦力的大小和前進(jìn)速率成正比，比例常數(shù) (摩擦係數(shù)) 是 0.1；找出前進(jìn)速率與時(shí)間的關(guān)係。如果球前進(jìn)時(shí)桌面的摩擦力的大小和前進(jìn)速率的平方成正比，比例常數(shù) (摩擦係數(shù)) 是 0.1；找出前進(jìn)速率與時(shí)間的關(guān)係?！灸芰渴睾狻肯惹敖榻B的自由落體、拋體、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、摩擦力，運(yùn)動(dòng)的物體 (速度、位置發(fā)生變化) 只有一個(gè)，不過在這個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的過程中受到“外力”的作用。在自由落體、拋體的例子中，外力是由地球造成的；摩擦力的例

15、子中，除了地球，還要加上空氣；而在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的例子中，外力是由連在木塊上的彈簧造成的。然而在解題的過程中，我們都不需要知道這些東西的質(zhì)量、位置、速度，它們就像是舞臺(tái)的布景、燈光，會(huì)影響，但不直接參與演員的表演?！巴饬Α庇袃煞N，一種像是舞臺(tái)上的布景，固定在適當(dāng)?shù)奈恢?；譬如說，地心引力、彈簧的彈力。物理學(xué)家說那些運(yùn)動(dòng)的物體是在一個(gè)佈置好的“力場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)物體在力場(chǎng)中不同的位置具有不同的位能，受到不同的作用力。力場(chǎng)中不同位置的位能 (U) 與作用力 () 的關(guān)係是先前提到的 。對(duì)於地表附近的自由落體與拋體來說，如果地球表面的位能定為 0，它們的位能是質(zhì)量 (kg) 乘上 9.8 m/s2，乘上距離地面的高度 (m)。對(duì)於作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的木塊來說，如果彈簧沒有被拉長(zhǎng)，也沒被壓縮時(shí)，木塊中心點(diǎn)定為座標(biāo)原點(diǎn)，位能定為 0，當(dāng)木塊移動(dòng)時(shí)，它的位能是 1/2 乘上彈簧的彈力常數(shù) (N/m)，乘上中心點(diǎn)座標(biāo) (以 m 為單位) 的平方。運(yùn)動(dòng)過程中只受到這一種“外力”的物體，雖然在