高考數(shù)學總復習導數(shù)的概念和運算知識梳理教案

1、導數(shù)的概念和運算【考綱要求】1.掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導數(shù)的概念。2.掌握常函數(shù)y=C，冪函數(shù)y=xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，指數(shù)函數(shù)y=ex，y=ax，對數(shù)函數(shù)y=lnx，y=logax的導數(shù)公式；3.掌握導數(shù)的四則運算法則；并能解決一些簡單的數(shù)學問題。4.掌握復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單復合函數(shù)的導數(shù)。【知識網(wǎng)絡】導數(shù)的概念導數(shù)的概念和運算初等函數(shù)的求導公式導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算復合函數(shù)求導【考點梳理】考點一：導數(shù)的概念：1導數(shù)的定義：對函數(shù)，在點處給自變量x以增量，函數(shù)y相應有增量。若極限存在，則此極限稱為在點處的導數(shù)，記作或

2、，此時也稱在點處可導。即：（或）要點詮釋：增量可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)；導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。2導函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。函數(shù)的導數(shù)與在點處的導數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。要點詮釋：函數(shù)的導數(shù)與在點處的導數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點P(x0，y0)及其附近一點Q(x0+x,y0+y)，經(jīng)過點P、Q作曲線的

3、割線PQ，其傾斜角為當點Q(x0+x,y0+y)沿曲線無限接近于點P(x0，y0)，即x0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。若切線的傾斜角為，則當x0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點x0的導數(shù)是曲線上點（）處的切線的斜率。要點詮釋：若曲線在點處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。(3)曲線的切線方程如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為：。考點二：常見基本函數(shù)的導數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8）

4、，考點三：函數(shù)四則運算求導法則設，均可導（1）和差的導數(shù)：（2）積的導數(shù)：（3）商的導數(shù)：（）考點四：復合函數(shù)的求導法則或即復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)。要點詮釋：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)?！镜湫屠}】類型一：導數(shù)概念的應用例1、用導數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導數(shù)。【解析】。舉一反三：【變式】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導數(shù).（2）求曲線上一點處的切線方程?！敬鸢浮浚?），（2）由導數(shù)的幾何意義知，曲線在點處的切線斜率為，所求切線的斜率為。所求切線

5、方程為，整理得5x+16y+8=0。例2、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.【解析】設.由f(1)=3，故切點為（1，3），切線方程為y3=5(x1)，即y=5x2.舉一反三：【高清課堂：導數(shù)的概念和運算394565 典型例題五】【變式】過點，曲線的切線方程為。【答案】設所求切線的切點坐標為P（x0，y0），則切線斜率為則所求切線方程為，又因為切線過點，代入，或所以切線方程為或類型三：利用公式及運算法則求導數(shù)例3求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）（3）； （4）y=2x33x2+5x4 【解析】（1）.（2）.（3），.（4）舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）（3）y

6、=6x34x2+9x6【答案】（1）.（2）.（3）例4求下列各函數(shù)的導函數(shù)（1）；（2）y=x2sinx; （）y=； （）y=【解析】（1）法一：去掉括號后求導.法二：利用兩個函數(shù)乘積的求導法則 =2x(2x3)+(x2+1)×2=6x26x+2（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（）=（4）=舉一反三：【變式1】下列函數(shù)的導數(shù) （1）； （2）【答案】（1）法一：法二： =+（2）【變式2】求下列函數(shù)的導數(shù).（1）； （2）；（3）.【答案】（1），.（2），.（3），.類型四：復合函數(shù)的求導問題例5求下列函數(shù)導數(shù).（1）； （2）；（3）； （

7、4）.【解析】（1），.（2），（3），.（4），.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)； （2）（3）y=ln（x）； （4）【答案】(1)令,（2）令（3）=（4）類型五：曲線的切線方程求解問題【高清課堂：導數(shù)的概念和運算394565 典型例題三】例6如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程是y=-x+5，則f（3）+ f(3)=. 【解析】，【答案】 1舉一反三：【變式】已知曲線.（1）求曲線上橫坐標為1的點處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點？【答案】（1）將代入曲線的方程得，切點.，.過點的切線方程為，即.（2）由可得，解得或.從而求得公共點為，或.切線與曲線的公共點除了切點外，還有另外的點.例7已知直線為曲線在點（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且.（1）求直線的方程；（2）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.【解析】（1），直線的方程為.設直線過曲線上的點，則的方程為，即.因為，則有，.所以直線的方程為.（2）解方程組 得所以直線和的交點坐標為.、與軸交點的坐標分別為（