2運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解

1、2 、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解 【知識(shí)精讀】 把乘法公式反過來(lái)，就可以得到因式分解的公式。 22?(a?b)(aa?b?b) 主要有：平方差公式 222)?b?(?2ab?baa 完全平方公式 3322a?b?(a?b)?(a?ab?b) 立方和、立方差公式 補(bǔ)充：歐拉公式： 333222)?caab?bc?b?c)(a?b?c?aa?b?c?3abc?( 1222)?)a?(a?b)?c?(b?c(a?b?c)( 2333a?b?c?3abc0a?b?c? ）當(dāng)時(shí)，有 特別地：（1c?0時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。）當(dāng) （2 運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握

2、公式。但有時(shí)需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。 下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解 【分類解析】 22b2?b?a?2a ） 把 1. 分解因式的結(jié)果是（ (a?b)(a?b?2?(a?b)(a?2)(b2) B. A. 22)2a2b)(b?(a?2?ab)(a?b)( C. D. 222222a?2a?b?2b?a?2a?1?b?2b?1?(a?1)?(b?1)。分析： (a?b)(a?b?2)，故選擇 B再利用平方差公式進(jìn)行分解，最后得到。

3、 說(shuō)明：解這類題目時(shí)，一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征，通過添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。同時(shí)要注意分解一定要徹底。 2. 在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用 231x2?m2x?x?m ，求 例：已知多項(xiàng)式的值。有一個(gè)因式是再用待定系數(shù)法即可由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個(gè)因式， 分析：m 的值。求出223)(?2?2xxm(x1x?axb 解：根據(jù)已知條件，設(shè) 3232bx?(a?2b)x?m?2x?(2a?1)x2x? 則 2a?1?1(1)?(02)a?2b? 由此可得?(3?b)m?1?a? 由（1）得 1a?1b?），得代入（ 把2 211?b?m ），

4、得代入（ 把3 22 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 222c、a、b0?ab?bc?aca?b?c?ABC?，試判 例：已知是的三條邊，且滿足 ABC? 的形狀。斷22ab?b、a、ab?轉(zhuǎn)成，考慮到要用完全平方公式，首先要把 分析：因?yàn)轭}中有 ?2ab。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。 2220bc?ac?a?b?c?ab? 解： 2220?2bc?2ac?2a2b?2c?2ab 2222220)?a?)(c?2ac(a?(?2ab?b)?b?2bc?c 2220a?)?b?(a?b)?(?c)?(c 2220?ca)?0，(b?c)?，(0?(ab)? 0?c0

5、，c?a?，?ab?0b? cba? ABC? 為等邊三角形。 4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用 8的倍數(shù)。 例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是 分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來(lái)，然后進(jìn)行變形和討論。 3?21，nn2n 解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為 為整數(shù)）（ 22)?n2(3n(?2?1 則 ?(2n?3?2n?1)(2n?3?2n?1)?2(4n?4) ?8(n?1)22)n2?1n?3)?(2 一定是8的倍數(shù)。 由此可見， 5、中考點(diǎn)撥：32?xyx?4 。_ 例1：因式分解：2232)2y)?x(x?2y)(x?x?4xy?x(x?4y 解：此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹因式分解時(shí)，先

6、看有沒有公因式。 說(shuō)明： 底。 3223?xy8?xy?82xy 例2：分解因式：。_ 2223223)y(x?2xy?4?4y)?2xyxyx2y?8xy?8?2xy(x 解： 說(shuō)明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。 題型展示：111m?1，b?m?a?2，c?m?3，已知： 例1. 222222a?2ab?b?2ac?c?2bc的值。 求 222bc22?ac?c?a?2ab?b 解： 22c?b)?b)?2c(a?a?( 2)c?(a?b? 111m?1，b?a?m?2，c?m?3 2222?(a?b?c)? 原式 2111?)?3)?(mm1(?m?)?(?2? 222? 12

7、m? 4 說(shuō)明：本題屬于條件求值問題，解題時(shí)沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式 因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。 3330?c?c?0，a?b?ab? ，2. 已知 例5550ac?b? 求證：233223)bc?cab?c)(a?b?c?ab?a?a?b?c?3abc?(? 證明：3330?b?c，?c?0a?a?b? 代入上式， 把0a?0c?00b?abc ，即或或 可得0a?cb? ， 若，則5550?b?ac 5550c?0?c?a?b0b? 或 若，同理也有 cb，a， 的值，命題得證。 說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定 2332229?xyy?x?y?27，xyx?

8、 的值。，求 例3. 若 332227)?y)(x?xy?y?x?y?(x? 解： 229x?xy?y? 且 22)(1xyy?3，x?2?y?9?x 22(x?2?9)xy?y 又0?xy 兩式相減得 229?x?y 所以yx，的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過說(shuō)明：按常規(guī)需求出 程。 【實(shí)戰(zhàn)模擬】 分解因式： 1. 22)?2)(3a?1a(? （ 1） 25)y(xx?2)?xx2y?( ）（ 24232)x?yxa?yxa(?)2(?)(?y ）3 （114?x?x?3的值。，求已知：2. 4xx222ca，b，?2bcca?b0? 是三角形的三條邊，求證：3. 若

9、22001?01?的值。，求 4. 已知： 333a，b，cabc?0，a?b?c?3abc，試求5. 已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且 111111)?c(?b)(a?()c?ab?的值。 ）（ 1）的值；（2 baaccb 【試題答案】 ?(a?2)?(3a?1)(a?2)?(3a?1) 1）解：原式 1. （?(4a?1)(?2a?3) ?(4a?1)(2a?3) a?2，3a?1看成整體，利用平方差公式分解。說(shuō)明：把 52)yx?2?2y)?x(?xx ）解：原式（2 32)?1(x?2y)(x?x 22)(?1x?x?x(x?2y)(x?1 222)x2a(x?y)?(?yx?(?y)a?

10、3）解：原式 （22)y?x?y)(a?(x 1122?2?x(x?)解： 2. 2xx1122272?3)?x?(x?)?2( 2xx111424247?x?49?(x?)?，?x?2?49 442xxx 3. 分析與解答：由于對(duì)三角形而言，需滿足兩邊之差小于第三邊，因此要證明結(jié)論就需要把問題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證明。 222bc?2?ab?c 證明：222)c2bc?(b?a22)cb?a?( ?(a?b?c)(a?b?c)?a，b，c是三角形三邊 ?a?b?c?0a?b?c 且 ?(a?b?c)(a?b?c)?0 2220?c?2bc?a?b 即 2?01? 解 4. 23?0)?(?1)(?1?01? ，即 200133667?1?()1 5. 分析與解答：（1）由因式分解可知 333222)?ab?bc?caa?b?c)?(a?b?ca?b?c?3abc?( 222cabc?a?bab?c?）所求代數(shù)式較復(fù)雜，考慮恒等變故需考慮值的情況，（2 形。333abcc3?a?b? ） 解：（1 3330?a?b3?cabc 333abc?a?b3?c 又 222)bcabc?c?ab?(a?b?c)(a? 2220?ca)a?(?b?c)(a?b?c?ab?bc 1222222)?a?(c?b)?a?b?cab?bc?ca?(b?c)(a 而 2c，b?a