第二章平面向量教案

1、第二章平面向量本章內(nèi)容介紹向量這一概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概 念之一，有深刻的幾何背景， 是解決幾何問題的有力工具 向量概念引入后，全等和平行（平 移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算，從而 把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景在本章中，學生將了解向量豐富的實際背景， 理解平面向量及其運算的意義，學習平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學和物理中的一些問題本節(jié)從物理上的力

2、和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念（讓學生對整章有個初步的、全面的了解）第 1 課時2.1 平面向量的實際背景及基本概念教學目標：1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共 線向量2.通過對向量的學習，使學生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別3.通過學生對向量與數(shù)量的識別能力的訓練，培養(yǎng)學生認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量教學難點：平行向量、相等向量

3、和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系學 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學思路：一、情景設(shè)置：如圖，老鼠由 A 向西北逃竄，貓在 B 處向東追去，設(shè)問：貓能否.追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了分析：老鼠逃竄的路線 AC、貓追逐的路線 BD 實際上都是有方向、 有長短的量.引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向?、新課學習:（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請同學閱讀課本后回

4、答：（可制作成幻燈片）1、 數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、 如何表示向量？3、 有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、 長度為零的向量叫什么向量？長度為1 的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、 如果把一組平行向量的起點全部移到一點0,這是它們是不是平行向量？這時各向 量的終點之間有什么關(guān)系？（三）探究學習1、數(shù)量與向量的區(qū)別:數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小;向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小2向量的表示方法：1用有向線段表示；2用字母 a、b（黑體，

5、印刷用）等表示;3用有向線段的起點與終點字母：AB；4向量AB的大小一一長度稱為向量的模，記作|AB|.3有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是 不同的有向線段4、 零向量、單位向量概念：1長度為 0 的向量叫零向量，記作 0. 0 的方向是任意的注意 0 與 0 的含義與書寫區(qū)別2長度為 1 個單位長度的向量，叫單位向量 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小5、 平行

6、向量定義：1方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0 與任一向量平行說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a/b/c.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量說明：（1）向量a與b相等，記作a=b； （2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有 向線段的起點無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量， 這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線

7、段的位置關(guān)系（四）理解和鞏固：例 1 書本 86 頁例 1.例 2 判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例 3 下列命題正確的是（）A.a與b共線，b與c共線，則a與 c 也共線B. 任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C. 向量 a 與 b不共線，

8、則 a與 b 都是非零向量D. 有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形， 根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以 D不正確；對于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若 a與 b不都是非零向量，即 a 與 b 至少有一個是零向量， 而由零向量與任一向量都 共線，可有 a與 b共線，不符合已知條件，所以有 a與 b 都是非零向量，所以應(yīng)選 C.例 4 如圖，設(shè) 0 是正六邊

9、形 ABCDEF 的中心，分別寫出圖中與向量OA、OB、OC相 等的向量變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11 個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（CB, DO, FE）課堂練習：1.判斷下列命題是否正確， 若不正確， 請簡述理由丨1向量AB與CD是共線向量，則 A、B、C、D 四點必在一直線上；2單位向量都相等；3任一向量與它的相反向量不相等；4四邊形 ABCD 是平行四邊形當且僅當AB=DC5一個向量方向不確定當且僅當模為0;6共線的向量，若起點不同，則終點一定不同解：不正確共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要

10、求兩個向量AB、AC在同一直線上不正確單位向量模均相等且為 1,但方向并不確定3不正確零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的、正確_ 一1辛不正確如圖AC與BC共線，雖起點不同，但其終點卻相同2 .書本 88 頁練習三、小結(jié)：1、 描述向量的兩個指標：模和方向2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比3、 向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點四、課后作業(yè)：書本 88 頁習題 2.1 第 3、5 題第 2 課時 2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義教學目標:1、 掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)

11、合解 決問題的能力；3、 通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結(jié) 合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學方法；教學重點： 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量教學難點： 理解向量加法的定義學 法：數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型： 新授課

12、教學思路：一、設(shè)置情景:1、復(fù)習：向量的定義以及有關(guān)概念強調(diào)：向量是既有大小又有方向的量 長度相等、方向相同的向量相等因此，我們研 究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、情景設(shè)置:(1)某人從 A 到 B,再從 B 按原方向到 C，則兩次的位移和:AB BC二AC(2)若上題改為從A 到 B，再從 B 按反方向到 C，則兩次的位移和:AB BC二AC(3)某車從 A 到 B,再從 B 改變方向到 C，則兩次的位移和：AB BC = AC(4)船速為AB，水速為BC，則兩速度和:二、探索研究：1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的

13、加法2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量 a、b .在平面內(nèi)任取一點A,作AB= a,BC= b，則向量AC叫做探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量;（2）當向量a與b不共線時，a+b的方向不同向，且|a+b|b|, 則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|b|,則a+b的方向與b相同，且 |a+b|=|b|-|a|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到 n個向量連加3.例一、已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面內(nèi)取一點，作0A = a AB = b，則OB = a b.4加法的交換律和平行四邊形法則問題：

14、上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同？驗證結(jié)果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)）FF2）向量加法的交換律：a+b=b+a5.向量加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）a 與 b的和，a+b= AB BC = AC,規(guī)定:a + 0-= 0 + a證：如圖：使AB二a,BC二b,CD = cF f fr- F P -則(a+b) +c=AC CD二AD,a+ (b+c) =AB BD = AD*ffb-is-*/. (a+b) +c=a+(b+c)從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行三、 應(yīng)用舉例：例二(P94 95)略練習：P95四

15、、 小結(jié)1、 向量加法的幾何意義；2、 交換律和結(jié)合律；3、 注意：|a+b| |a| + |b|,當且僅當方向相同時取等號 五、 課后作業(yè)：P103 第 2、3 題六、 板書設(shè)計(略)七、 備用習題1、一艘船從 A 點出發(fā)以2,3km/ h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為4km/h，求水流的速度.2、一艘船距對岸4.3km，以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達對岸時，船的實際航程為 8km，求河水的流速.3、 一艘船從 A 點出發(fā)以論的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為V2， 船 的實際航行的速度的大小為4km/h，方向與水流間的夾角是 60，求

16、v1和v2.4、 一艘船以 5km/h 的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h5、 已知兩個力 F1, F2的夾角是直角，且已知它們的合力 F 與 F1的夾角是 60 , |F|=10N 求 F1和F2的大小.6、用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形第 3 課時222 向量的減法運算及其幾何意義教學目標:1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；3. 通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學重點： 向量減法的概念和向量減法

17、的作圖法教學難點： 減法運算時方向的確疋.學 法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運 算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型： 新授課教學思路:復(fù)習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則 向量加法的運算定律：例：在四邊形中，CB BA BA二.提出課題：向量的減法1.用相反向量”定義向量的減法(1) 相反向量”的定義：與 a 長度相同、方向相反的向量.記作-a(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(電=a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0如果 a、b 互為相反向量，則 a =七

18、，b = -a,a + b = 0(3) 向量減法的定義：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 與 b 的差.即：a-b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法2.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若 b + x = a，貝 U x 叫做 a 與 b 的差，記作 a - b3. 求作差向量：已知向量 a、b,求作向量/ (a-b) + b = a + ( -b) + b = a + 0 = a解：CB BA BA=CB BA AD = CDbab作法：在平面內(nèi)取一點 0,例一、（P9 7例三）已知向量a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.解：在

19、平面上取一點0,作0A= a,OB= b,OC= c,OD= d,作BA,DC= c-d作0A=a,AB= b則BA= a - b即 a_b 可以表示為從向量 b 的終點指向向量 a 的終點的向量注意：1AB表示 a -b.強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2 用“相反向量”定義法作差向量，a-b = a + （-b）4.探究：1）如果從向量 a 的終點指向向量 b 的終點作向量，那么所得向量是b - a.Ba-b *0A_bB2）若 a / b,如何作出 a-b ?三、例題：a-b_B0顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)例二、平行四邊形ABCD中，AB=a,AD二 b,用 a、b 表示向量AC、

20、DB解：由平行四邊形法則得：AC= a + b,DB=ABAD=a-b變式一：當 a,b 滿足什么條件時，a+b 與 a b 垂直？（ ai = |b|)變式二：當 a,b 滿足什么條件時，|a+ b| = a-b|?( a,b 互相垂直）變式三：a+ b 與 a-b 可能是相當向量嗎？（不可能，T二對角線方向不同）練習：P 98四、 小結(jié)：向量減法的定義、作圖法 |五、 作業(yè)：P103 第 4、5題六、 板書設(shè)計（略）七、 備用習題：1在 ABC 中，BC= a,CA=b，則AB等于)A. a+ bB,-a+(-bC-a-bDhb- a2.O 為平行四邊形ABCD 平面上的點，設(shè)OA=a,O

21、B= b,OC=c,OD= d，則A. a+b+c+d=0B. a- b+ c- d 二。C.a+ b-c-d =0D. a-b-c+d=03 .如圖，在四邊形 ABCD 中，根據(jù)圖示填空：a+ b=_ , b+c=_, c-d=_, a+ b+ c-d=4、如圖所示，O 是四邊形 ABCD 內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d 的方向（用箭頭表示），使 a+b=AB, c-d=DC，并畫出 b-c 和 a+ d.2.3 平面向量的基本定理及坐標表示第 4 課時 231 平面向量基本定理教學目的：(1) 了解平面向量基本定理；(2) 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向

22、量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；(3) 能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達教學重點：平面向量基本定理教學難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用 授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復(fù)習引入：1 實數(shù)與向量的積：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，記作： 入a(1) |入a|=|入|a|；(2)入0 時入a與a方向相同；入0 時入a與a方向相反；入=0 時入2.運算定律結(jié)合律：入(g)=(入卩a；分配律：(入+卩)=入a+ a,3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b=入a.入（a+b）=入a+入

23、bJ二、 講解新課：平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面 內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 入1,入2使a=入ie)+入2e2.探究：(1) 我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a 在給出基底e1、e2的條件下進行分解；* *(4) 基底給定時，分解形式惟一 .1入力是被a,e1,e2唯一確定的數(shù)量三、 講解范例：OP =(1t)OA tOB(t R).求證:A、例 5 已知 a=2&-3e2， b= 2+3a,其中&，02不共線，向量 c=2&am

24、p;-9e2，問是否存在這樣的 實數(shù)、譏使d岸與 c 共線.四、 課堂練習：1.設(shè)&、e?是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有（）A. ei、e2一定平行B. ei、e2的模相等C. 同一平面內(nèi)的任一向量 a 都有 a = ?ei+姥（入 吐 R）D. 若 ei、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a 都有 a = ?ei+ue2（入 u R）2. 已知矢量 a = ei-2e2, b =2ei+e2，其中&、e2不共線，則 a+b 與 c =6ei-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線B.共線C.相等D.無法確定3.已知向量 ei、e2不共線，實數(shù) x、y 滿足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2

25、=6ei+3e2,則 x-y 的值等于（）A.3B.-3C.0D.24._ 已知 a、b 不共線，且 c =入 a+迪兀加 R），若 c 與 b 共線，則入=_ .5._ 已知 刀0,力0, ei、e2是一組基底，且 a =入 ei+?2e2,則 a 與 ei_, a 與 e2_（填共線或不共線）.五、 小結(jié)（略）例 1 已知向量 q , e2求作向量_2.5 +3 色.例 2 如圖一 ABCD 的兩條對角線交于點M，且AB=a,AD=b，用a,b表示MA,MB,MC和MD例 3 已知，一 ABCD 的兩條對角線 AC 與 BD 交于 E,任意一點，求證：OA+OB+OC+OD=4OE例 4（

26、 1）如圖，OA，OB不共線，AP=tABOB表示OP.（2）設(shè)OA、OB不共線，點 P 在 0、A、(t R)用OA，B 所在的平面P 三點共線.D六、 課后作業(yè)（略）：七、 板書設(shè)計（略） 八、課后記:第 5 課時 2.3.2- 233 平面向量的正交分解和坐標表示及運算教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線教學重點： 平面向量的坐標運算教學難點： 向量的坐標表示的理解及運算的準確性授課類型： 新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復(fù)習引入：1.平面向量基本定理：如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那

27、么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 入1,入2使a=入！+入2e2（1）我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；（2）基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；（3）由定理可將任一向量a在給出基底ei、e2的條件下進行分解；（4）基底給定時，分解形式惟一.認滄是被a,q,e2唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1.平面向量的坐標表示如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a xi + yj.01我們把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標，記作-尹 1k - - J11i111

28、丨!a _(x, y).02-!其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，02 式叫做向y山量的坐標表示.與a相等的向量的坐標也為（x, y）.y心刃特別地，i =(1,0),j =(0,1),0 =(0,0).如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O 為起點作OA = a，則點A的位置由a唯一確定設(shè)OA = xi yj，則向量OA的坐標(x, y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標運算(1) 若a=(%,%),b=(X2,y2),貝 Va b二區(qū)x?,%y?),a -b=(人也

29、，-y2)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差設(shè)基底為i、j，則a bNX)yij) (x?i y?)=(xx?)i (yiy?)j即a(xix?, yiy?)，同理可得a- b =(Xi- x?, yi- y?)(2)若A(xi,yi),B(x?,y?)，則AB = x?-, y?- y一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標AB=OB-OA=(X2，y2)- (xi, yi)=(X2-xi, y?-yi)(3)若a =(x, y)和實數(shù)，則a =( X, y).實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標設(shè)基底為i、j，貝V a =- (x

30、i - yj)二x yj，即 a = ( x, y)例 3 已知平面上三點的坐標分別為A(-2,i), B(-i,3),C(3,4)，求點 D 的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點三、講解范例:例 i 已知 A(xi, yi), B(x?,y?)，求AB的坐標.例 2 已知a=(2 , i),b=(-3, 4)，求a+b,a-b, 3a+4b的坐解：當平行四邊形為 ABCD 時，由AB=DC得 DI=(2,2)當平行四邊形為 ACDB 時，得 D2=(4 , 6),當平行四邊形為DACB 時，得 D3=(_6,0)例 4 已知三個力Rj(3,4),F3(x， y)的合力F.J+F2+F3=0，

31、求F3的解：由題設(shè)F1+F2+F3=0得：(3， 4)+ (2，一 5)+(x， y)=(0，0)即：；3+2+X=0. /5、45 + y= 0,=1F3(/, 1)四、課堂練習：1一1. 若 M(3 ,-2)N(-5,-1)且MPMN, 求 P 點的坐標22.若 A(0 ,1),_ B(1 , 2) ,C(3 , 4),則AB-2BC=.3. 已知：四點 A(5 ,1) ,B(3 ,4) ,C(1 ,3) ,D(5 ,-3), 求證：四邊形 ABCD是梯形.五、 小結(jié)(略)六、 課后作業(yè)(略)七、 板書設(shè)計(略)八、課后記:第 6 課時 2.3.4 平面向量共線的坐標表示教學目的：(1)

32、理解平面向量的坐標的概念；(2) 掌握平面向量的坐標運算；(3) 會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線教學重點： 平面向量的坐標運算教學難點： 向量的坐標表示的理解及運算的準確性授課類型： 新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：、復(fù)習引入:1 平面向量的坐標表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面 向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a = xi yj把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a =(x, y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地,i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).2平面向量的坐標運

33、算若a=(花，) ,b =(X22),則a b ng X2，%y2),a - b =(X!- X2，% - y?),=(x, y).若A*, yj,B(X2, y2)，則AB fx - y?- yi、講解新課:a/b(b=0)的充要條件是 xiy2-X2yi=0設(shè)a=(xi,yi) ,b=(X2, y2)其中b嚴a.一個不為 0三、講解范例:例 1 已知a=(4, 2),b=(6, y)，且a/b，求 y.由a=入b得，(xi, yi)=入(X2,y2)=xi=扎x2yi=丸y2了肖去 入，xiy2-X2yi=0探究：(i)消去入時不能兩式相除,yi,y2有可能為 0, Tb=0/. X2,y

34、2中至少有(2)充要條件不能寫成 上二里為x2(3) 從而向量共線的充要條件有兩種形式:/ xi,X2有可能為 0a/b(b=0)二a =，bXiy2一X2yi= 0例 2 已知 A(-i ,-i), B(i , 3),C(2 , 5)，試判斷 A , B , C 三點之間的位置關(guān)系例 3 設(shè)點 P 是線段 P1P2上的一點，Pi、P2的坐標分別是(xi, yi),(X2, y2).(1) 當點 P 是線段 PlP2的中點時，求點P 的坐標；(2) 當點 P 是線段 P1P2的一個三等分點時，求點P 的坐標.例 4 若向量a=(-i，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求X解：a=(-1,

35、x)與b=(-x,2)共線.(-1) X 2- x?(-x)=0 x= 、2a與b方向相同 x= _ 2例 5 已知 A(-1 ,-1),B(1 , 3),C(1, 5),D(2, 7),向量AB與CD平行嗎？直線AB 與平行于直線 CD嗎？解：AB=(1-(-1),3-(-1)=(2 ,4),CD=(2-1 , 7-5)=(1 , 2)又/AC=(1-(-1) , 5-(-1)=(2 ,6) ,AB=(2, 4), 2X 4-2 X 6=0/AC與AB不平行 A , B, C 不共線 AB 與 CD 不重合 AB / CD四、課堂練習：1. 若 a=(2 , 3), b=(4, -1 + y

36、)，且 a / b,則 y=()A.6B.5C.7D.82. 若 A(x, -1), B(1 , 3), C(2 , 5)三點共線，則 x 的值為()A.-3B.-1C.1D.33.若AB= i+2j,DC=(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分別與 x、y 軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線,貝 U x、y 的值可能分別為()A.1 , 2B.2 , 2C.3 , 2D.2 , 44._ 已知 a=(4 , 2) , b=(6 , y),且 a / b,貝 U y=_ .5._ 已知 a=(1 , 2) , b=(x,1),若 a+2b 與 2a-b 平行，貝 U x 的

37、值為_6._已知 CABCD 四個頂點的坐標為 A(5 , 7) , B(3 , x) , C(2 , 3) , D(4 , x),貝 U x=_五、 小結(jié)(略)又/ 2X 2-4X 1=0:.AB/CD例 3 設(shè)點 P 是線段 P1P2上的一點，Pi、P2的坐標分別是(xi, yi),(X2, y2).六、 課后作業(yè)(略)七、 板書設(shè)計(略)八、課后記: 2.4 平面向量的數(shù)量積第 7 課時一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件

38、.教學重點：平面向量的數(shù)量積定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：本節(jié)學習的關(guān)鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識 主要知識點： 平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 平面向量數(shù)量積的 5 個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運 算律教學過程：一、復(fù)習引入：1.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是： 有且只有一個非零實數(shù)入，使b=入a= 1-2平面向量基本定理：如果ei,e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一

39、平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 入 1,入 2 使a=入 10+入 2e23.平面向量的坐標表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向 量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a二xi yj把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標，記作a =（x, y）4平面向量的坐標運算若a =(xi，yj,b =(X2,y2)，則a b=(xx?,%y?),a - b =- x?, % -祠, = ( x, y).若A*, yi),B(X2, y2)，則AB=區(qū) -y?- yi5.a/b(b=0)的充要條件是 xiy2-X2yi=06線段的定比分點及入使PiP

40、=入PP2，入叫做點 P 分RF2所成的比，有三種情況入0（內(nèi)分）（外分）入0（入-1） （外分）入0 （-1入0）7.定比分點坐標公式：若點P1（x1, yj , P2化,y2）,入為實數(shù)，且RP=入PF2，則點 P 的坐標為（井，井），我們稱入為點P分麗所成的比.8點 P 的位置與入的范圍的關(guān)系:1當 40時，PiP與PF2同向共線，這時稱點 P 為RP2的內(nèi)分點.2當 xo（九士-1）時，PP與PP2反向共線，這時稱點P為RP2的外分點9線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點 O,設(shè)OR= a ,OP2a r b i.可得OP=a bab.1中扎i十扎十扎i中九10力做的功：

41、W = |F|s|cos K 二是 F 與 s 的夾角Pi, P2是直線 I 上的兩點，P 是 I 上不同于 Pi, P2的任一點，存在實數(shù)、講解新課:i 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作0A=a,OB=b，則/AOB= 0 (0 0n 叫a與b的夾角說明：(1)當 0=0 時，a與b同向；(2)當 0= n 時，a與b反向；(3)當 0=二時，2a與b垂直，記a丄b；(4)注意在兩向量的夾角疋義，兩向量必須是冋起點的.范圍 0 WW 1802.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是 0，則數(shù)量a|b|cos 訓a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有 ab

42、= |a|b|cosv(o 0n .并規(guī)定 o 與任何向量的數(shù)量積為o.探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別(1 )兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由COST 的符號所決定.(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學到兩個向量的外積 ax b,而 ab 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“x”代替.(3) 在實數(shù)中，若 a=0，且 ab=0，則 b=0;但是在數(shù)量積中，若 a=0，且 a b=0，不能推出 b=0.因為其中 cos7 有可能為 0.(4 )已知實數(shù) a、b、c(b=0)，貝 U ab=bc =

43、 a=c.但是 a b = be a = c 如右圖：ab =|a|b|cos- = |b|OA|，b c = |b|c|cos = |b|OA|二 a b = b c 但 a 屮 c在實數(shù)中，有(ab)c = a(b c)，但是(ab)c=a(bc)顯然，這是因為左端是與 c 共線的向量，而右端是與 a 共線的向量，而一般 a 與 c 不共 線.3“投影”的概念：作圖定義：|b|cosv 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當：為銳角時投影為正值；當7 為鈍角時投影為負值；當二為直角時投影為 0;當二=0 時投影為|b|;當滬 180 時投影為_|b|.4.向量的

44、數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影|b|cosn 的乘積.5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè) a、b 為兩個非零向量，e 是與 b 同向的單位向量.1ea = a e =|a|cosv2a_b= a b = 03當 a 與 b 同向時，a b = |a|b|；當 a 與 b 反向時，a b = -|a|b|.特別的 a a = |a|2或|a = a a4COST= ab5 |ab| |a|b|三、講解范例:a0 = 0; 0= 0AB=BA;丨a b| = |a|b| ;若aMQ則對任一非零b有a bO;a b= 0,貝 Ua與b中至少有一個為 0;對任

45、意向量a,b, c 都有（a b） c=a（bc）;a與b是兩個單位向量，則a2=b.解：上述 8 個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0 a = O;對于：應(yīng)有 Oa= 0;對于：由數(shù)量積定義有丨a b1 = 1al |blcos 01 6X (-1) = 18;2當ab時，它們的夾角 0= 90,a b= 0;3當a與b的夾角是 60時，有1a -b=|a|b| cos60= 3X5X= 92評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0 180,因此，當a/b時，有 0或 180兩種可能.四、課堂練習：1已知|a|=1, |b|=2，且(a-b)與 a 垂直，則

46、a 與 b 的夾角是()A.60 B.30 C.135 D. 4 5 2.已知|a|=2, |b|=1,a 與 b 之間的夾角為，那么向量 m=a-4b 的模為()33已知 a、b 是非零向量，則|a|=|b 是(a+b)與(a-b)垂直的()A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件314._ 已知向量 a、b 的夾角為一，lal=2,PF1，則 |a+b| |a-b|=_ 35. 已知 a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐標系中 x 軸、y 軸正方向上的單位向量，那么 a b=_.(26. 已知 a 丄 b、c 與 a、b

47、的夾角均為 60 且 |a|=1, |b|=2, |c|=3，則(a+2b-c) =_.7.已知 |a|=1, |b|=J2, (1)若 a / b，求 a b;若 a、b 的夾角為 6 0 求 |a+b|;若 a-b 與 a 垂直，求 a 與 b 的夾角.A.2B.2 . 3C.6D.128. 設(shè) m、n 是兩個單位向量，其夾角為 6 0,求向量 a=2m+n 與 b=2n-3m 的夾角.9.對于兩個非零向量a、b，求使|a+tb|最小時的 t 值，并求此時 b 與 a+tb 的夾角.第 8 課時二、平面向量數(shù)量積的運算律教學目的：1掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2能利用數(shù)量積的 5 個重要性

48、質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3掌握兩個向量共線、 垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直， 以及能解決一些簡單問題 教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律教學難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，弓 I 導學生注意 數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)教學過程：一、復(fù)習引入：1.兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則 ZAOB= 0 （0 0n 叫a與b的夾角2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是 0，則數(shù)量ai|b|co

49、s7 叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有 a b = |a|b|cos”二（o.并規(guī)定 o 與任何向量的數(shù)量積為o.3“投影”的概念：作圖定義：|b|cosr 叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當7 為銳角時投影為正值；當洶鈍角時投影為負值；當二為五、 小結(jié)（略）六、 課后作業(yè) （略）七、 教學后記：直角時投影為 0;當二=0 時投影為|b|;當二=180 時投影為-|b|.4.向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積 a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影|b|cosyi 的乘積.5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè) a、b 為兩個非零向量，e 是與 b 同向的單位

50、向量.3當 a 與 b 同向時，ab = |a|b|；當 a 與 b 反向時，ab = -|a|b|.特別的 a a = |af 或|a = a a* a b亠4COST=; 5 |a b| 0, ( a) b = |a|b|cosn, (a b) = |a|b|cosn, a b) = |a|b|cos ,若 0, ( a) b =| - a|b|cos(二七)=-，|a|b|(_cosr) = - |a|b|cosr, (a b) = |a|b|cosva ( b) =|a| b|cos(T)= -；|a|b|(-cos) = |a|b|cosn3.分配律：(a + b) c = a c

51、+ b c在平面內(nèi)取一點 0 ,作OA= a ,AB= b ,OC= c ,/ a + b (即OB)在 c 方向上的 投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即 |a + b| cosn = |a| cosy + |b|COSHI c | |a + b|COST=|c| |a|COSY+ |c| |b| cos 龍,二 c (a + b) = ca +c b b c說明：(1) 一 般地，(a-b ) Ca(bc)(2)aC=bc cM0a=b(3)有如下常用性質(zhì)：a2=|a|(a+b) ( c+d) =a- c+a- d+b- c+b- d (a+b)2= a2+ 2a b+b2三、講解

52、范例： 例 1 已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 與 7a - 5b垂直，a - 4b 與 7a - 2b 垂直，求 a 與 b 的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 二 7a2+ 16a b -15b2= 0 2 2(a - 4b)(7a - 2b) = 0 二 7a - 30a b + 8b = 01 ea = a e =|a|cosv2a_b 二 a b = 0即：(a + b) c = a c +兩式相減：2a b = b2代入或得：a2= b2例 2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和而BD=AB AD, 2 - 2 |BD|2=| A

53、B - AD |2二AB AD -2AB AD-1AC|2+ |BD|2= 2AB 2AD?=|AB|2| BC |2| DC |2| AD |2例 3 四邊形 ABCD 中，AB=a,BC=b,CD= c,DA=d，且a-b =b c= c -d =d a,試問四邊形 ABCD 是什么圖形？分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、 推算該四邊形的邊角量.解：四邊形 ABCD 是矩形，這是因為：一方面：Ta+b+c+d= 0,.a+b=( c+d), (a+b) =( c+d)29999即 Ia| +2a-b +|b| =| c| +2 c-d+|d|由于a b= c d,.|

54、a|2+|b|2=| c|2+|d| 同理有 Ia|2+|d|2=| c|2+|b|2由可得|a| = | c| ,且|b| = |d|即四邊形 ABCD 兩組對邊分別相等.四邊形 ABCD 是平行四邊形另一方面，由a b=bc 有b(ac)= 0,而由平行四邊形 ABCD 可得a= c 代入上式得b(2a)=0,即a七=0,二ab也即 AB 丄 BC.綜上所述，四邊形 ABCD 是矩形.評述：(1)在四邊形中，AB,BC,CD,DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零 向量，即a+b+ c+d= 0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有

55、邊、角兩 種關(guān)系.四、課堂練習：1.下列敘述不正確的是()A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.a b 是一個實數(shù)2已知 |a|=6, |b|=4, a 與 b 的夾角為 6 0 則（a+2b） （a-3b）等于（）設(shè) a、 b 的夾角為 n 貝 UCOST=a b|a|b|b22|b 71 =60解：如圖：平行四邊形ABCD 中,AB二DC，AD = BC，AC=AB AD |AC|2=| AB ADJAB?- 2 -ADA.72B.-72C.36D.-36333. |a|=3, |b|=4，向量 a+ b 與 a- b 的位置關(guān)系為（）44A.平

56、行B.垂直C.夾角為 D.不平行也不垂直324._ 已知 |a|=3, |b|=4,且 a 與b 的夾角為 150 則（a+b） =_.5. 已知 |a|=2, |b|=5, a b=-3，貝 U |a+b|=_, |a-b|=_ .6._ 設(shè)|a|=3, |b|=5,且 a+入 I 與 a入b 垂直，貝 U 冶_.五、 小結(jié)（略）六、 課后作業(yè)（略）七、 板書設(shè)計（略）八、 課后記：第9課時二、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角教學目的：要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點間的距離公式能用所學知識解決有關(guān)綜合問題.教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表

57、示教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復(fù)習引入：1.兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則 ZAOB= 0 （0 0n 叫a與b的 夾角.2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是 0，則數(shù)量|a|b|cos叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有 a b = |a|b|cos）（0 0n .并規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量積為 0.3.向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積 a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影|b|cosyi 的乘積.4.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè) a、b

58、為兩個非零向量，e 是與 b 同向的單位向量.1 e a = a e =|a|cosv; 2 a_b：=ab = 03 當 a 與 b 同向時，a b = |a|b|;當 a 與 b 反向時，a b = -|a|b|.特別的 a a = |a|或|a =a aCOST=a b|a|b|；5 |ab| w |a|b|5平面向量數(shù)量積的運算律交換律：a b = b a數(shù)乘結(jié)合律：(xa) b = /.(a b) = a ( b) 分配律：(a + b) c = a c + b c二、講解新課：1.平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量,bH(x2,y2)，試用a和b的坐標表示a b.設(shè)i是x軸

59、上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a = xj y1j,x2i y2j所以a b =(xiiyij)(x2iyzj) x/zi2x2i jX2%i j%y2j2又i i =1,j j =1,i j二j i = 0，所以a b =XiX2y2這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.即a x1x2y1y22.平面內(nèi)兩點間的距離公式八、設(shè)a =(x, y)，則|a|x2y2或|a|=x2y2.(2)如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(為，力)、(X2,y2)，那么| a尸(人-X2)2厲-丫2)2(平面內(nèi)兩點間的距離公式)九、向量垂直的判定設(shè)a=(x1，yj,b=(

60、X2,y2)，貝Ua b = X1X2y2=0又T|OB| = |AB|x2+ y2= (x5)2+ (y2)2即：10 x + 4y = 29十、兩向量夾角的余弦(0豈 d 乞二)a bxix2+ yy2cos 丁 =|a 11b1Jxi2+ yix22+ y22十一、 講解范例：十二、 設(shè) a = (5,_7),b = (-6,_4),求 a b 及 a、b 間的夾角 0(精確到 1o)例 2 已知 A(1 , 2), B(2, 3), C(? 5)，試判斷厶 ABC 的形狀，并給出證明 例 3 已知 a = (3,-1), b =(1, 2)，求滿足 x a = 9 與 x b = _4 的向量 x.解：設(shè) x = (t,