高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明2綜合法和分析法教材基礎(chǔ)北師大版選修.

1、§2綜合法和分析法在數(shù)學(xué)中，常用推理和證明來證明一個命題，證明是引用一些真實的命題來確定 某一命題真實性的思維形式，在過去的學(xué)習(xí)中，我們曾經(jīng)用直接證明或間接證明兩類 方法證明過許多命題.本節(jié)的內(nèi)容就是學(xué)習(xí)直接證明的兩種方法：綜合法和分析法.高手支招1細(xì)品教材一、演繹推理1 .概念:從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹 推理.2 .演繹推理的特點(1演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個別、特殊 事實，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中.(2在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實的，推理的 形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的.因而

2、演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.(3演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令 人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化.狀元筆記演繹推理是由一月到特殊的推理；演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然 為真.【示例】判斷下列推理，哪些為合情推理，哪些不是合情推理。(1a/b,b/c,則a/c； (2a,b,b，cJMa，c; (3三角形的內(nèi)角和為180°,四邊形的內(nèi) 角和為360°,五邊形的內(nèi)角和為540° ,所以n邊形的內(nèi)角和為(n-2 1800;(4今天是 星期日，7天之后也是星期日.思路分析：根據(jù)實際問題中推理所得問題的真假來判斷

3、是否為合情推理.答案：合t#推理為（1（3（4，不是合情推理的是（2.二、直接證明1 .概念直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立，這種證明方法叫直接證明.2 .答案：直接證明的一般形式本題結(jié)論已知定理已知公理已知定義本題條件 ？?？? 三、綜合法1 .定義:一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的 推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種思維方法叫做綜合法.綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏 輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理 最后導(dǎo)出所要求證的命題.綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法.2 .綜合法

4、的證明步驟用符號表示為：P0（已知？P 1?P 2,?P n附論.狀元筆記用綜合法證明問題時因果關(guān)系要清晰，邏輯表達(dá)要明確.綜合法所說的 由已知 推結(jié)論”這里已知是已知的條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理 .【示例】設(shè)a、b、c >0,求證：a bc +b ac +cab > a+b+c.思路分析：從不等式的形式看，具有字母輪換性，而且又是齊次式，可考慮用分 合思想加以證明，由三個二項式相加而得出.證明：因為a bc +b ac >2bac a bc ?=2c, c ab b ac +>2c ab b ac ?=2a,a bc c ab +>2abc c ab ?=2

5、b條以上三個不等式左、右分別相加，得:2（c ab b ac a bc +>2a2b+2c,iP cab b ac a bc +> a+b+c分析法1 .定義:從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成 立的條件和已知條件吻合為止.分析法也是數(shù)學(xué)證明中的一種常用直接方法，它先假設(shè)所要求證明命題的結(jié)論 是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的必要的判斷，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已知 的命題（定義、公理、法則、公式等 時，命題得證.2 .分析法的證明步驟用符號表示為：B（結(jié)論？ B 1? B 2? , ? B ? A（已知.狀元筆記分析法就是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求

6、使它成立的充分條件，直到最后，把 要證明的結(jié)論歸納為一個明顯成立的條件.使用分析法證明不等式，在分析推理時， 要學(xué)會正確使用連接有關(guān)步驟的關(guān)鍵詞，如：為了證明"只'需證明”等.【示例】如圖,SA±¥W ABC,AB LBC,過A作SB的垂線，垂足為E,過E作SC的垂線，垂足為F,求證:AF ± SC.思路分析：本題所給的已知條件中，垂直關(guān)系較多，不容易確定如何在證明中使 用它們，因而用綜合法比較困難.這時，可以從結(jié)論出發(fā)，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題 成立的充分條件.在立體幾何中，通?？梢园炎C明兩條直線互相垂直的問題轉(zhuǎn)化為證 明直線與平面垂直的問題.

7、證明：要證AFXSC,只需證SCL平面AEF,只需證AELSC（因為EFXSC,只需證AE，平面SBC,只需證AELBC（因為AEXSB,只需證BCL平面SAB,只需證BCLSA（因為AB XBC.由SAL平面ABC可知，上式成立.所以AFXSC.1 .區(qū)別：由于分析法是執(zhí)果索因，立足于尋找欲證結(jié)論的合適的充分條件，利于 思考；分析法確定解題方向比較明確，利于尋找解題思路；綜合法是由因?qū)Ч?，立?于尋找已知條件合適的必要條件，證明思路條理清晰，適宜于表述.分析法的特點是：從 朱知”看需知”逐步向 巴知”靠攏，其實際上是找尋它的充分條件.綜合法的特點是：從巴知"看 可知”逐步推向 朱知”某逐步推理，實際 上是尋找它的必要條件.分析法與綜合法各有特點.有些具體的待證命題，用分析法 或綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種.2 .聯(lián)系:對于一個新的問題，多半采取先用分析法尋求思路、解法，后用綜合法 有條理地表述解題過程，實際證題過程，分析與綜合是統(tǒng)一運用的，把分析和綜合孤 立起來運