空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用重點難點重點： 用向量方法討論空間中的平行、垂直關(guān)系和求空間的角、距離難點 ：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題知識歸納一、空間中的角 空間中的角包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角這些角都是通過兩條射 線所成的角來定義的，因而這些角的計算方法，都是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)線與線所成的角來計算的確切地 說，是 “化歸 ”到一個三角形中，通過解三角形求其大小1異面直線所成的角 ：異面直線的夾角一般采用平移法，把它們化歸到一個三角形中再通過解三 角形求得而利用向量法則可直接運用兩直線的方向向量的夾角公式來求得其取值范圍是(0 °,90 °.2直線和平面所

2、成的角 ：平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角直線與平面所成角B的范圍是0 °,90 ° .0= 0。時，直線在平面內(nèi)或與平面平行.0= 90。時，直線與平面垂直.3二面角的平面角 ：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角 ，在二面角的棱上任取一點0,在兩個半平面內(nèi)以 0為垂足作棱的垂線 0A與0B,則/ A0B叫做二面角的平面角.二面 角的取值范圍是 0 °,180 °). 0= 0°時兩個半平面共面； 0°<0<90°時為銳二面角； 0=90°時為直二面角

3、； 90°<0<180°時為鈍二面角作二面角的平面角的常用方法有：(1) 定義法：根據(jù)定義,以棱上任一點為端點,分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線,則形 成二面角的平面角(2) 三垂線法：從二面角一個面內(nèi)某個特殊點P作另一個面的垂線，過垂足A作二面角棱的垂線，垂足為B,連結(jié)PB，由三垂線定理得 PB與棱垂直，于是/ PBA是二面角的平面角 (或其補角).(3) 垂面法：過二面角的棱上一點作平面與棱垂直,分別交兩個面的交線,構(gòu)成二面角的平面角二、空間中的距離1(1)兩點間的距離 連結(jié)兩點的線段的長度(2) 點到直線的距離 從直線外一點向直線引垂直相交的直線,點

4、到垂足之間線段的長度(3) 點到平面的距離 從平面外一點向平面引垂線,點到垂足間線段的長度連接平面a外一點與平面 a內(nèi)任一點的線段中，垂線段最短.(4) 平行直線間的距離 從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線,這點到垂足間 線段的長度(5) 異面直線間的距離 兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度(6) 直線與平面間的距離 如果一條直線和一個平面平行,從直線上任意一點向平面引垂線,這 點到垂足間線段的長度(7) 兩平行平面間的距離 兩個平面的公垂線段的長度2. 求距離的一般方法和步驟求距離的思想方法和步驟與求角相似，其基本步驟是： 找出或作出有關(guān)距離的圖形； 證明它符

5、合定義； 在平面圖形內(nèi)計算.空間中各種距離的計算，最終都要轉(zhuǎn)化為線段長度，特殊情況也可以利用等積法.三、平面的法向量1 .如果表示向量 a的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面 a,記作如果a丄a,那么向量 a叫做平面 a的法向量.2. 求平面法向量的方法以求出一個法向量n （ AB及CD已知）a丄a,由此可設(shè)n是平面M的一個法向量，AB、CD是M內(nèi)的兩條相交直線，則n "aB =0, n CD =0.思想方法點撥一、運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟 建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點的坐標；寫出向量的坐標；結(jié)合公式進行計 算，論證；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

6、二、用空間向量研究空間線面的平行與垂直關(guān)系1. 用向量方法研究兩直線間的位置關(guān)系設(shè)直線12的方向向量分別為a、b.li I2或li與12重合？ a/ b?存在實數(shù)t，使a= tb.(2) 11X12? a 丄 b? a b= 0.2. 用向量方法研究直線與平面的位置關(guān)系設(shè)直線I的方向向量為 a，平面a的法向量為 n, Vi、V2是與a平行的兩個不共線向量.(1) I / a 或 I? 0?存在兩個實數(shù) 入，使 a= ?vi + mv2? a n = 0.(2) l丄a? a / n?存在實數(shù) t,使a= tn.a _ V|工 a y = 0Ig 丄 v2a v2 = 03. 用向量方法研究兩個

7、平面的位置關(guān)系設(shè)平面a、B的法向量分別為 叫、n2.(1) a/ B或a與B重合？ n 1 / n2?存在實數(shù)t，使n 1 = t n2. a丄 B? n 1X n2? n 1 n2= 0.若w、V2是與a平行的兩個不共線向量，n是平面B的法向量.pv 2.則allB或a與B重合？V1/ B且V2 /B?存在實數(shù)入禺對B內(nèi)任一向量a,有a = M +nn ¥ =0 1 1 n -Lv2v2 =0三、用向量法求空間的角a、b分別為h、I?的方向向量，-所成的角為0,貝卩a, b與B相1 求異面直線所成的角 設(shè)h與12是兩異面直線，等或互補，則 cos a b丨|a| |b|2.求直線與

8、平面所成的角如圖，設(shè)I為平面的斜線，丨門: = A , a為丨的方向向量，n為平面法向量，為I與平面二所成的角，貝U sin=| cos ： a,n 乜 吐|a| | n|3、求二面角平面與相交于直線I，平面:的法向量為n 1，平面一：的法向量為n2, <ni, n2>=二，則二面角二-1-7為v或二-v .設(shè)二面角的大小為，則| COS|=| COST | 也|n1| 血|四、用向量法求空間距離1、求點到平面的距離如圖所示，已知點B(x0, y0,z0),平面內(nèi)一點A(x1, y1, ),平面：的一個法向量 n，直線AB與平面:所成的角為:,-< n, AB ，則isin&

9、#174;=|coscn,AB>|coS |由數(shù)量積的定義知，n AB =|n| AB cos* 所以點 B到平面:-的距離d =| sin=| AB| |co 卜丨 n AB|n|2、求異面直線間的距離 如右圖，的任意兩點,若 CD是異面直線 a, b上的公垂線， A、B分別是a, b上T T T Tn丄a,n丄b，則 n/CD .則由 AB 二 AC CD DB得,令向量r IAB n = ACn + CDt r t r tn + DB n,所以 AB n= CD n,所以 | AB n|=| CD n|,故 |CD|AB n| ,|n|所以，異面直線| Ab n |a、b間的距離為

10、d =|n|3、求直線到平面的距離設(shè)直線a平面:,A a , B : ,n是平面:-的法向量，過A作AC _， IT T T I垂足為 C,則 ACn.因為 AB n = (AC CB) n= AC n,AvZr所以IAB n |=| AC | |n |,故直線a到平面0的距離為d =| AC |=B n|n|4、求兩平行平面間的距離”)用公式d=晉求，n為兩平行平面的一個法向量，A、B分別為兩平面上的任意點(2)轉(zhuǎn)化為點面距或線面距求解課堂典例講練題型一 用向量證明平行例 1 在正方體 ABCD - AiBiCiDi 中，M、N 分別是 CiC、BiCi 證明：方法1 :如圖所示,以 D為原

11、點，為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為M 0, i,扌,N 寸,i, i , Ai(i,0,i), B(i,i,0)，于是 MN = 2DA、DC、DDi所在直線1，則可1 2，t乜x + z= 0面 AiBD 的法向量是 n = (x, y, z).則 n DAi= 0，且 n DB = 0, |x + y= 0取 x= i，得 y= i, z=- i.n = (i, i, i).又 MN n = 2 0, 2 (i , - i, - i) = 0, mN 丄 n，又/ MN ?平面 Ai BD, MN / 平面 AiBD. 方法 2： / mN = cn-CM = cT

12、Bi-iCC=RdTAi Md) = dai, mN / dX1，又 / MN?平面 a1bd. MN / 平面 A1BD.點評：(1)證明直線li / I2時，分別取1l、12的一個方向向量a、b ,a/b?存在實數(shù)k，使a = kb或利用其坐標b=a3其中 a = (ai,a2,as),b= (bi,b?,ba).(2)證明直線可取直線I /平面a時，I的方向向量a與平面a的法向量n,證明a n = 0;可在平面a內(nèi)取基向量ei, e2，證明直線I的方向向量 a=乃ei + 62,然后說明I不在平面a內(nèi)即可;a內(nèi)找兩點A、B，證明直線I的方向向量證明平面a /平面B時，設(shè)a、B的法向量分別

13、為在平面n/ABb,則只須證明a /b.E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱 BiB題型二 用向量證明線面垂直例2 在棱長為i的正方體 ABCD - AiBiCiDi中，上找一點 M，使得DiM丄平面EFBi.證明：分別以 DA、DC、DD i所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系 D - xy z, 則 A(i,O,O) , Bi(i,i,i) , C(O,i,O) , Di(O,O,i) , E i, 0 , M(i,i , m). AC = (- i,i,0),又E、F分別為AB、BC的中點，1, 0、2，.-1 , DdM = (1,1 , m- 1),- D1M 丄 EF 且

14、 D1M 丄 B1E. EF = 2ac12,又 B1E= e, 2 D1M 丄平面 FEB1,即 dim Ef = 0，且 dim b1e = 0.1 1i + 2 +(m 1) 0= 010- 2 + (1 - m)= 01 m= 2.故取BiB的中點M就能滿足DiM丄平面EFBi.點評：證明直線 l1與l2垂直時，取112的方向向量 a、b,證明a b= 0. 證明直線I與平面a垂直時，取 a的法向量n, I的方向向量 a,證明a/ n.或取平面 a內(nèi)的兩相交直線的方向向量a、b與直線I的方向向量e,證明a e= 0, b e= 0. 證明平面 a與B垂直時，取a、B的法向量山、n2,證

15、明ni n2= 0.或取一個平面 a的法向量n, 在另一個平面 B內(nèi)取基向量ei, e2，證明n =淪i+匝2.題型三 用向量法證明面面垂直與面面平行例3已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為2, E、F、G分別是BB“ DD1、DC的中點，求證： (1)平面 ADE /平面 B1C1F;平面ADE丄平面A1D1G;(3)在AE上求一點 M，使得 A1M丄平面 DAE .解析：以D為原點，DA、DC、元1為正交基底建立空間直角坐標系O xyz,則D(0,0,0) , D1(0,0,2),A(2,0,0) , A1(2,0,2) , E(2,2,1) , F(0,0,1) , G(0,1

16、,0) , B1(2,2,2) , C1(0,2,2).(1)設(shè) n 1 = (X1, y1, Z1), n2= (X2, y2, Z2)分別是平面 ADE、平面 B1C1F 的法向量，貝Un 1± Da ,叫丄AEm DA = 0 * > g Ae = 0取 y1 = 1, Z1 = - 2, 同理可求n 2= (0,1 , / n 1 / n2,2x1= 02y1+ Z1 = 0'- n1= (0,1 , - 2).-2) 平面ADE /平面B1C1F.(2) / DA= (2,0,0) (0,1 , - 2) = 0, DA 丄 DG. AE DiG = (0,2

17、,1) (0,1 , - 2) = 0, AE 丄 DHG. DA、AE不共線， D1G丄平面ADE .又D1G?平面 A1D1G,平面 ADE丄平面 A1D1G.由于點M在AE上，所以可設(shè) Am = ?IAE=入(0,2,1) = (0,2入為, M(2,2 人為,A；M = (0,2 人 1 2).要使 A1M丄平面 DAE，只需 A1M丄AE ,二 A1m AE = (0,2 人入一2) (0,2,1) = 5 入一2= 0,2 2二入=5故當 AM = 5AE時，AiM丄平面 DAE.跟蹤練習1已知四棱錐 P ABCD的底面是直角梯形，/ ABC = Z BCD = 90°

18、AB = BC = PB = PC = 2CD，側(cè)面PBC丄底面ABCD.(1)證明：PA丄BD ;證明：平面 PAD丄平面 PAB.證明：(1)取BC的中點O,側(cè)面PBC丄底面ABCD , PBC為等邊三角形, PO 丄底面 ABCD .以O(shè)為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為 y軸，建立如圖所示空間直角坐標系.不妨設(shè) CD = 1,貝V AB = BC = 2, PO = 3. A(1 , 2,0), B(1,0,0) , D( 1, 1,0), P(0,0 ,3). BD = ( 2, 1,0), PA= (1 , 2, 3) BD Pa= 0,PA 丄 BD ,

19、PA 丄 BD.取PA的中點M，連結(jié) DM，貝y M 1, 1 , -2 . DM = 2, 0,-2 , PB = (1,0，3),二 DM Pa= 0, DM丄PA,即卩DM丄PA. Dm 丄 PB，即 DM 丄 PB. DM丄平面 PAB, 平面PAD丄平面 PAB.又 Dm Pb = 0,點評：線線垂直即直線的方向向量垂直；線面垂直即直線的方向向量與平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直題型四 用向量法求異面直線所成的角例4 如圖，已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為2，點E是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱 C1D1、AA1的中點，設(shè)點 E1、G1分別是點

20、E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影.(1)證明：直線FG1丄平面FEE1；求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值.思維啟迪：本題可方便地建立空間直角坐標系，通過點的坐標得到向量坐標，然后求解.卩 F G(1)證明以D為原點,|為1個單位長度建立空間直角坐標系.由題設(shè)知點E、F、E1的坐標分別為(1,2,1), (0,1,2),DD1> DC、DA分別為z軸、y軸、 FEi = (0,1 , - 1), FGi = (0，- 1,- 1), EEi = ( 1,0,0),> >>>> >>> FG1 EE 1= 0,FG1FE1= 0?FG

21、1X EE1,FG1X FE1,又 EEK FE1= E1. FG1 丄平面 FEE1.解由題意知點A的坐標為(2,0,0),又由(1)可知 EA = (1 , 2, 1), E；G1= (0, 2,0), cosEA, ErG1=EA E1G1|EA| |E1|,6T, sin EA,E1G1E1G1探究提高用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是茨0,扌，兩向量的夾角 a的范圍是0, n所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有 cos 0= |cos a|.變練1如圖所示，在長方體ABCD A1B1C1D1中，已知AB= 4, AD = 3

22、, AA1 =2.E、F分別是線段 AB、BC上的點，且 EB = BF = 1.求直線EC1與FD1所成的 角的余弦值.解 以A為原點，Ab、Ad、AA1分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D1(0,3,2),E(3,0,0), F(4,1,0), C1(4,3,2)，于是 E(C1= (1,3,2),沿=(4,2,2)，設(shè) EC 與 FD1所成的角為3,則:|EC1 FD 1|cos 3=(|EC1| |FD1|=1 X ( 4 片 3X 2+ 2 X 2=21= 12+ 32+ 22X 4 2+ 22+ 22= 14 ,直線EC1與FD1所成的角的余弦值為 二字題型五線面

23、角【例2】如圖，已知四棱錐 PABCD的底面為等腰梯形，AB/ CD , AC丄BD ,垂足為H, PH是四棱錐的高，E為AD的中點.(1)證明：PE丄BC;若/ APB = Z ADB = 60 °求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.x, y, z軸，線段HA的思維啟迪：平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標系，利用 待定系數(shù)法求出平面 PEH的法向量.(1)證明 以H為原點，HA, HB, HP所在直線分別為長為單位長度，建立空間直角坐標系(如圖),則 A(1,0,0), B(0,1,0).設(shè) C(m,O,O), P(0,0, n) (m<

24、0, n>0),貝U D(0, m,0), E可得 PE = 2, m, - n , BC = (m, 1,0).因為 Pe bC= mm m + 0= o，所以 pe丄 bc.解由已知條件可得m=-3, n= 1,，0，0，DO，-于，0，E*，-，0，P(0,0,1).設(shè)n = (x, y, z)為平面PEH的法向量,則 nHE=0,n HP = 0,即*-活=0,z = 0.因此可以取 n = (1,3, 0).又 PA= (1,0, - 1),所以 |cosPA, n> u"24所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為卑.4探究提高利用向量法求線面角的方法：(1)

25、 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2) 通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和已知三棱錐 p-abc中，PA丄平面 ABC, AB丄AC, PA= AC = AB,B平面所成的角.N為AB上一點，且 AB = 4AN , M , S分別為PB, BC的中點.(1)證明：CM丄SN;求SN與平面CMN所成角的大小.證明 設(shè)PA= 1,以A為原點，AB, AC, AP所在直線分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐 標系如圖所示，11 1則 P(0,0,1), C(0,1,0), B(2,

26、0,0), M(1,0, 1), N(2, 0,0), S(1, 1 , 0).所以 CM = (1 , 1, 2) , SN= (一 2, 2 , 0)-因為 Cm Sn= 2+2+ 0= 0 ,所以CM丄SN.(2)解 設(shè)平面CMN的法向量為n = (x , y, z),f1n CM = x y+ §z= 0則f1.八 1n CN = x, y, z - , 一 1, 0 = 2x y = 01hy = 2x , z= x,取 x= 2 ,則n = (2,1 , 2)為平面 CMN的一個法向量.cos n SNl= n 胃|n| |SN|2,1, 2 -2, 2,0.22+ 1+

27、 一 22 一 J 2+ - ； 2+ 02 < n SN>= 135°故SN與平面CMN所成角的大小為 45°題型六 求二面角【例3】(2012廣東)如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面 ABCD，點E在線段PC 上, PC丄平面 BDE.(1)證明：BD丄平面PAC;若FA= 1 , AD = 2,求二面角 B PC A的正切值.思維啟迪：利用圖中的PA丄平面ABCD、ABCD為矩形的條件建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題.(1)證明 / PA丄平面 ABCD , BD?平面ABCD , PA丄 BD.同理由PC丄平面BDE可證

28、得PC丄BD. 又 PA A PC= P, BD 丄平面 PAC.解如圖，則 nPB= 0，、n BC= 0,& 2X，y=0,取 x= 1 得 n= (1,0,2).分別以射線AB, AD, AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系.由知BD丄平面PAC, 又AC?平面PAC, BD 丄 AC.故矩形 ABCD為正方形， AB= BC = CD = AD = 2. A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,1). PB= (2,0, 1), E3C= (0,2,0) , BD = ( 2,2,0).設(shè)平面PBC的一個法向量為

29、n = (x , y , z),即嚴 + 0y- Z= 0,0 x + 2 y+ 0 z= 0,/ BD丄平面PAC, BD = ( 2,2,0)為平面PAC的一個法向量.cosn,BD >n BD|n| BD|.1010 .n設(shè)二面角B PC A的平面角為a,由圖知0<a<n血. r-cos a=0 , Sin a= 1 COS a=". tan a=sin a=COS a即二面角B PC A的正切值為3.探究提高求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平 面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳 角

30、還是鈍角.變己訂汕& (2011遼寧)如圖，四邊形 ABCD為正方形，PD丄平面 ABCD ,1PD / QA, QA= AB = gPD.證明：平面 PQC丄平面DCQ ;求二面角 Q BP C的余弦值.證明 如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，以 DA、DP、DC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Dxyz.依題意有 Q(1,1,0), C(0,0,1), P(0,2,0)，則 DQ = (1,1,0), DC = (0,0,1),PQ= (1 , - 1,0).所以 PQ DQ = 0, PQ DC = 0,即 PQ 丄 DQ , PQ丄 DC.又DQ n DC

31、= D，所以PQ丄平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面 PQC丄平面DCQ.解依題意有 B(1,0,1), CB = (1,0,0), BP = (- 1,2 , - 1).設(shè)n = (x, y, z)是平面PBC的法向量,則 nCB= 0,n BP= 0,即,X= 0,-x+ 2y - z= 0.因此可取n= (0,1,- 2).同理，設(shè)m是平面PBQ的法向量，貝U m BP °m PQ = 0,可取 m = (1,1,1).所以 cos m, n>故二面角 Q BP C的余弦值為一題型七異面直線間的距離例7解析：已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為1求異面

32、直線 如圖建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)、C(0,1,0)、DA1與AC的距離.B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量 AC = ( - 1,1,0) , DA1= (1,0,1) , DA = (1,0,0).設(shè)向量 n = (x, y,1)，且n丄DX1, n丄AC，則Jx, y, 1) (1, 0, 1) = 0 (x, y, 1) (- 1, 1, 0) = 0 所以 n= (- 1 , - 1,1).x=- 1，解得F,ly=- 1異面直線DA與AC的距離為 I DA n|1(1 , 0, 0) ( 1,d=.I n|-1,1)11( - 1,- 1, 1)1題型八 點

33、、線、面到平面的距離例8如圖，在正三棱柱 ABC AiBiCi中，所有棱長均為 1,則點Bi到平面ABCi的距離為1,2, 0 , B(0,1,0),B1(0,1,1) , C1(0,0,1)，則從=-2,扌,1 , C?B1= (0,1,0) , CTb= (0,1 , 1),設(shè)平面 ABC1的法向量為 n = (x, y,1),解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(C1A n = 0 則有-，解得n =C1B n = 0,1, 1 ,答案：于217 .C1B1 nIn IFi8跟蹤練習3如圖所示,已知邊長為4 2的正三角形 ABC中，E、F分別為BC和AC的中點，PA

34、丄平面 ABC,且PA= 2,設(shè)平面 a過PF且與 AE平行，求 AE與平面a間的距離.解析：設(shè)AP、AE、EC的單位向量分別為e2、ea,選取e2,內(nèi)作為空間向量的一組基底，易知ei e2= e2 e3= e3 ei = 0,AP = 2ei, AE = 2 6e?, EC = 2 2內(nèi)，-> -> -> -> 1 -> -> 1 -> ->PF = PA+ AF = PA+ 2AC= PA+ (AE+ EC)= 2ei+ 6e?+ . 2ea,設(shè)n= xei+ ye2 + e3是平面a的一個法向量，則 n丄AE, n丄PF ,n Ae = 0

35、=.n PF = 0(xei + ye2 + e) 2/6e2= 0d xei + ye2 + e3) ( 2ei+ >/6e2+ Ve3 )= 02 6y|e2|2= 02x|ei |2+ .6y|e |2 + . 2心|2 = 0y= 0卜=2直線AE與平面a間的距離為d =腎|2ei (兮ei + e3)|2*33 .|2 + le3|2題型九求線段長例9別為A、B,如圖所示，在 60 °勺二面角a AB B中, 已知 AB = AC = BD = a，求線段 CD的長.AC? a, BD? 3,且 AC丄 AB, BD 丄 AB，垂足分分析：欲求線段CD的長，將|CD|

36、看作是CD的模,將CD用已知長度及夾角關(guān)系的 Ac , AB, bD 來表示，其中 AC與BD所成的角等于二面角 a AB B的大小.解析：/ AC 丄 AB , BD 丄 AB,-CA AB = 0, BD AB = 0,又因為二面角a AB B為60°的二面角， <CA, BD> = 120 °,于是 |CD|2= CD2= (CA+aB + BD)2=CA2 + AB2+ BD2+ 2CA AB + 2CA BD + 2BD AB= 3a2 + 2a2cos120 ° 3a2 a2= 2a2, CD =/2a點評：|a|2= a a,將求線段長的

37、問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運算是求距離的主要方法.跟蹤練習4B(2010河北邯鄲市模考 )如圖所示，在正三棱柱ABC AiBiCi中，底面邊長為a,側(cè)棱長為-a, D是棱AiCi的中點.(1) 求證：BCi /平面 ABiD ;(2) 求二面角 Ai ABi D的大小；(3) 求點Ci到平面 ABiD的距離.解析連結(jié)AiB與ABi交于E,則E為AiB的中點，/ D為AiCia,DF丄平面G的中點， DE AiBCi的中位線, BCi / DE.又 DE?平面 ABiD, BCi?平面 ABiD, BCi /平面 ABiD.(2)解法i:過D作DF丄AiBi于F，由正三棱柱的性質(zhì)可知,ABBiAi，

38、連結(jié) EF , DE，在正 AiBiCi 中，- BiD=-pAiBi =由直角三角形 AAiD中，AD = . AA2 +, AD = BiD , DE丄ABi,由三垂線定理的逆定理可得EF丄ABi.則/ DEF為二面角 Ai ABi D的平面角,DF葉,'' BiFEbiAAi,EFBiE_3nAAi AiBi4 '4故所求二面角 Ai ABi D的大小為；4解法2:(向量法)Bi(0, a, £),P/lX'R .2a,0),B建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0 ,1 返J31-J2Ci(-Ai(O, qa, 亍),D(74a, 4a, 苧).

39、 ABi = (0 , a, -22a), B1D = ( a , |a,0).設(shè)n= (x, y, z)是平面ABiD的一個法向量，則可得y+和0x+ 3y = 00,則 cos 0=n m|n| |n 1|取 y= 1 可得 n= ( 3, 1，2).又平面 ABB1a1的一個法向量 n 1 = O>C = ( a,0,0)，設(shè)n與n 1的夾角是又知面角 A1 AB1 D是銳角，所以二面角 A1 AB1 D的大小是-.41而 SA C1B1D= 2SAA1B1C1 =解法1 :設(shè)點C1到平面AB1D的距離為h,因AD2 + DB1= AB1，所以AD丄DB1，故SA ADB 1 =1

40、,3 28 a1 由 VCl AB1D = VA C1B1D? SA AB1D h1 6=SA C1B1D AA1? h = a.36解法2：由知平面AB1D的一個法向量 n = ( .3, 1, , 2), AC1= ( fa, *a,右2a),|n AC1| a "76 -d =下廠=6 = Va.即C1到平面AB1D的距離為嚴a.6練習題1.在棱長為a的正方體 ABCD A1B1C1D1中，異面直線 BA1和AC所成的角的大小為 ()A. 45 °B . 60 °C. 90 °D. 30 °答案B分析先選取基向量，將 就1與AC用基向量表示，然后依據(jù)兩向量夾角公式求出BA1, AC再轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角，或建立空間直角坐標系，用坐標法求解.解析解法1:以BA ,齟1 , BC為基向量，則B1 AC= (BA + Beb1) (Ab + BC) = eBA ab + BA bC +1 11 11 2 2BB1 AB + BB1 BC = |BA| = a ,|BA1|= 一 2a, |AC|=. 2a , cos Ba1 , Ac >肅 AC a2 = 1|BA1| |AC|2a ' -2a2BA1, AC &g