考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強化資料-中值定理證明

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2、值定理證明題型的證明思路和技巧 知識點回顧一連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1最值定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則在上能夠取到最大值與最小值，即2介值定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，和分別為在上的最大值與最小值，若滿足,則3零點存在定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，則。二微分中值定理1羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即；那么在內(nèi)至少存在一點，使得。2拉格朗日中值定理如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)；那么在內(nèi)至少存在一點，使得。3柯西中值定理如果函數(shù)和滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)；（3）對任意的，；那么在內(nèi)至少存在一點，使得三積分中值定理：

3、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使得下式成立： 考點精講一對連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的考查【例1】：在上連續(xù)，滿足對任意有，證明：使【例2】：在上連續(xù)，證明：，使小結(jié)：本題的重要意義：（1）方法上，要證明，則首先設(shè)出在上的最值，再證明即可（2）結(jié)論上，本題的結(jié)論對都是成立的，特別的當(dāng)時的結(jié)論，即，該結(jié)論要記住，在微分中值定理的相關(guān)證明中可以直接應(yīng)用。【例3】：均在上連續(xù)，證明：，使得二羅爾定理的使用【例4】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且。試證明：必存在，使得【例5】：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo), 且（1）證明存在,使得（2）證明存在使得【例6】：設(shè)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且試證

4、明：存在和，使，及.小結(jié)：本題用到的理論知識有：1.零點定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且與異號(即),那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點,使.2函數(shù)極限的局部保號性定理：如果,且(或),那么存在常數(shù),使得當(dāng)時,有(或).3.羅爾定理：如果函數(shù)滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即,那么在內(nèi)至少有一點(),使得.【例7】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.三輔助函數(shù)的構(gòu)造【例8】：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在，使。小結(jié)：輔助函數(shù)的構(gòu)造是中值定理證明題中的難點，一般來說，由于都是對運用羅爾定理，最后得到的都是，

5、所以我們希望由能整理成所需證明的等式，這里一個自然的想法就是把需要證明的等式兩邊相減，再求出其原函數(shù)即為?！纠?】：證明柯西中值定理：若,滿足：1)在閉區(qū)間上連續(xù)；2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使得.小結(jié)：對于形式較為復(fù)雜的中值定理的證明，可以先將要證明的等式化簡，化為容易積分的形式，再求原函數(shù)。【例10】：假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)，；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使【例11】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且，證明存在使得?！纠?2】：設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件，試證：存在，使.小結(jié)：如果要證明存在使，統(tǒng)一的求輔助函數(shù)的方法如下，兩邊同時

6、除以得，積分可得則可構(gòu)造輔助函數(shù)。【例13】：，證明存在使（為了書寫的簡便以后都默認(rèn)具有所需的可導(dǎo)性與連續(xù)性）【例14】：，證明存在使.【例15】：，證明存在使【例16】：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：（1）存在，使；（2）對任意實數(shù)，必存在，使得.四雙中值問題1.具有輪換對稱性或題目中明確要求互不相同時【例17】：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,證明：存在,使得【例18】：已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（I）存在使得；（II）存在兩個不同的點，使得2.不具有輪換對稱性，題目中也未要求互不相同【例19】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.試證存在，使得.小結(jié)：看到要證明的等式后，先不要管其中的，把所有分別挪到等式的兩端，分別湊成與的形式，從中我們可以讀出，進而得到與?！纠?0】：，證明：使得?！纠?1】：，證明：使得?！纠?2】：，證明：使得。