高考創(chuàng)新題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)創(chuàng)新題1 .設(shè)函數(shù)y = f（x ）在區(qū)間（a,b止的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）, f'（x）在區(qū)間（a,b）上的導(dǎo)函數(shù)為 f”（x）,若區(qū)間（a,b）上f“（x）0,則稱函數(shù)f（X）在區(qū)間（a,b）上為“凹函數(shù)”，已知15142f （x ） = x5 mx4 -2x在（1,3 ）上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ 2012A. (*,衛(wèi))B , 31,5 C .(3,3D . (-°0,5)991,x Q2 .德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=,0,x RQ被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四

2、個(gè)命題：f（f（x» = 0；函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T , f（x +T）= f（x）對(duì)任意的xw R恒成立；存在三個(gè)點(diǎn)A（x1, f（x1）J,B（x2, f（x2）10（x3, f（x3），使得AABC為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2 C . 3 D. 43 .設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈,若函數(shù)f（x加足條件：存在abkD,使f（x）在b,b】上的值域是la竺則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log2（2x+t4“倍縮函數(shù)”，則 一 2,2的范圍是（）A. 口 收 I B. （01）C 0 1 1 D 0-1）.2.34）4.函

3、數(shù) f (x )=2一x 2x 3, x < 0，直線y = m與函數(shù)f (x )的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn),2 -ln x,x >0從小到大，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為a, b, c, d ,有以下四個(gè)結(jié)論 m 3,4 abcd0, e451_ 61_ a b c d 三 e - - 2,e- - 2IL e e若關(guān)于x的方程f (x )十x = m恰有三個(gè)不同實(shí)根，則 m取值唯則其中正確的結(jié)論是(A.B.C. D.5. f(x)是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間m,nGD,使函數(shù)f (x)在m,n上的值域恰為km,kn,則稱函數(shù)f(x)是k型函數(shù).給出下列說法：-4f(x)=3 -不可能是k

4、型函數(shù)；Jx 1c右函數(shù)y=-x2+x是3型函數(shù)，則m = 42324設(shè)函數(shù)f(x)=x +2x +x(x W0)是k型函數(shù)，則k的最小值為一；若函數(shù)y =(a2 a)x -1, C、,23(a#0)是1型函數(shù)，則n-m的最大值為.3卜列選項(xiàng)正確的是(A.6.已知函數(shù)f(x)=1 2x-1xw0,1.定義：fi(x) = f(x), f2(x) = f(fi(x),fn(x) = f (fn(x) , n=2,3,4,川滿足 fn(x)=x 的點(diǎn) xw0,l稱為 f(x)的 n 階不動(dòng)點(diǎn).則f (x)的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A. 2n個(gè) B. 2n2個(gè) C.2(2n1)個(gè) D. 2n 個(gè)7.若

5、函數(shù)f(x )同時(shí)滿足：對(duì)于定義域.上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0 對(duì)于定義域上的任意x1,x2，當(dāng)x1 -乂2時(shí)，恒有 "x1) f12)< 0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”。x _ x21o2x -1給出下列四個(gè)函數(shù)中：f x = f x)=x2 f x = , (4)x2x 1一x2 x 至 0f x ，能被稱為“理想函數(shù)”的有(填相應(yīng)的序號(hào))。x2 x < 08.以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的.集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù) 中(x )組成的集合： 對(duì)于函數(shù)中(x),存在一個(gè)正數(shù) M使得函數(shù)邛(x)的值域包含于區(qū)間-M,M .例如，當(dāng)*1 (x )=x3

6、,% (x ) = sinxM,9 1(x)WA, %(x 產(chǎn) B .現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)f(x )的定義域?yàn)镈,則“ f (x)w A”的充要條件是“Vbw R,三a D, f (a)=b"；函數(shù)f(x)wB的充要條件是f(x冶最大值和最小值；若函數(shù)f(x), g(x )的定義域相同，且 f (x)w A,g(x)w B,則f (x)+g(x產(chǎn)B x若函數(shù) f (x)=aln(x+2 )+一(x> -2,a= R)有最大值，則 f (x尸 B .x 1其中的真命題有 .(寫出所有真命題的序號(hào))9 .如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A , B , C分別在函數(shù)標(biāo)是2,

7、則D點(diǎn)的坐標(biāo)是的圖像上，且矩形的邊分別平行兩坐標(biāo)軸，若A點(diǎn)的縱坐10 .若函數(shù)f (x)為定義域D上的單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間a,b三D (其中a<b),使得當(dāng)xCa,b時(shí),f (x)的取值范圍恰為a,b,則稱函數(shù)f(x)是D上的“正函數(shù)”，若f (x) = x2 + k是(，,0)上的正函數(shù)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 參考答案與詳解1. C【斛析】由已知條件得f (x) = x - mx -4x ,則f ( x)= x - m x -4,所以 433 244x -mx -4之0在(1,3 )恒成立，則m Wx ，因?yàn)閤- 在(1,3 )遞增，所以xx4 八-x->-3,所以 m<

8、-3.x2. C【解析】由題意如，故故是假命題3當(dāng)工目。時(shí)，-XW0, 則/一» = f(» = L 當(dāng) keG。時(shí)，-xeCe, f?J/(-.r) = /(i)=O,故函數(shù)/(M)是 偶困數(shù)1是真命題方任取一個(gè)一個(gè)不為零的有理數(shù)丁，都有/(% +)=/(")=1,故是 真命題j取點(diǎn)/0),E(乎刀)，C吟功,是等邊三角形故磅真命題.3. D1解析】因?yàn)閘og式2*+。在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以(二14式2'+。為,'倍縮 國整T等價(jià)于產(chǎn)(工)=log式2帛+ F)與直線J二;H有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，由log式2* +。=;* 得2。y23,令用=2；

9、，則。制一_50),由豳(» =與國數(shù)二陶/金 有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可得0 小 1,選D.44. A【解析】當(dāng) xE0時(shí)，f (x) =x22x+3 =(x+1)2 + 4 W4 ,當(dāng) x = 0時(shí)，f (0)=3,由圖可得，當(dāng)直線 y=m與函數(shù)f(x )的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，則 mW 3,4),故正確；一1156. .一由得 c = (,-,d=e ,e ) , a + b = -2, 2 lnc = 2Ind，所以 2 lnc = lnd2,e e即 cd =e4,故 abcd =e4ab ,由于 0 Wab =(-a)(-b) (ab) 1 c匚(-2, -遞減，故

10、e ec 1 a 14abcd e52, e6 - 21+e5 Wc+e-2+e6 ,所以 ee'故正確；若ec e關(guān)于x的方程f(x)+x = m恰有三個(gè)不同實(shí)根， 則y=f(x)的圖像與y=-x + m有三個(gè)不同交點(diǎn)，過y = f(x)的圖像上(1,4)和(0,3)的直線y = x+3正好與y = 2 lnx相切， 15 故有二個(gè)公共點(diǎn)，而與f(x)=-x 2x+3相切的直線 y =-x +與y = 2lnx有兩個(gè) =1 ,故 abcd w 0, e4 ), 244一一e e故正確；a+b+c+d =-2 + c+d =-2+c +,由對(duì)號(hào)函數(shù)的圖像得 y = c + 一,當(dāng)交點(diǎn)，

11、故此時(shí)也有三個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤，綜上，正確的命題有.5. C【解析】由題意知 k >0, men.,4f(x)=3 -對(duì)若x是k型函數(shù)，因?yàn)閒(x)在區(qū)間(_°°，0)與(0，*與上都是增函數(shù)4所以萬程3 = kx有兩個(gè)不同的非零實(shí)根， x即方程kxm -8m +48 = 0 ,此方程無實(shí)數(shù)根； -3x+4=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根,92所以當(dāng)A=916k >0,且k>0時(shí)，即0<k<一時(shí)，方程kx23x + 4 = 0有兩個(gè)不同的164正頭數(shù)根 m, n(m<n),這時(shí)f(x)在m,n上的值域恰為km,kn,所以函數(shù)f(x)=3- x是k型

12、函數(shù)，故錯(cuò)誤.一 1,對(duì)，右函數(shù)y=-x2+x是3型函數(shù)，則存在區(qū)間m,n,使函數(shù)f(x)在m,n上的值21 2域恰為3m,3n,函數(shù)y = x2+x的對(duì)稱軸是x=1 ,下面分三種情況討論：21 1 010(a)當(dāng) m，1 時(shí)，函數(shù) y = _-x2+x 在m,n上的值域?yàn)?| -n +n,-m +m2 _ 221 2_1 2_ 1 22.有n +n=3m, m +m=3n,以上兩式相減得到 一一(n -m ) = 4(m-n),因?yàn)? 2212 一一一men,所以 n+m = 8,即 n=8 m,所以m +m3(8-m)整理得 2(b)當(dāng) m <1, n 至 1 時(shí)，有 3n = -1

13、x12 +1 ,即 n =1 ,矛盾;26(c)當(dāng)n <1時(shí)，有1 2,Q-m +m=3m21 2,1fm =-<_1n2 +n =3n 時(shí)，可得 m 2n = 0men綜上所述，正確.對(duì)，函數(shù)f (x) =x +2x2 +x(x E0)是k型函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得3211f(x)=x3+2x2+x(xM0)在區(qū)間(1,)上是減函數(shù)，在區(qū)間(一，0)上是增函數(shù)，若 33-1 一，.14n=0,且mw(_1,則函數(shù)在區(qū)間m,n上的最大值為0,最小值為f() = ，要3327八44 4使km = ，只要取k =-，顯然這時(shí)k <一,且函數(shù)f(x)在m,n上的值域恰為2727m9k

14、m, kn,所以k的最小值不是4 ,因此不正確. 9對(duì)，若函數(shù)y = (a +a)xT(a00)是1型函數(shù),則(a +a)x -1 =x有兩個(gè)不同的非零 a xa x解，即a2x2 (a2+a)x+1 =0有兩個(gè)不同的非零解 m , n .由A > 0得a < 3或a >1 ,所以n -m =(a2a)2 -4a24 2 3(當(dāng)a =3時(shí)取等號(hào))，所以n-m的最大值為空3.故選c.36. D.2x , 函數(shù) f(x > -1 x 2=412- 22:x ：1ZV 21當(dāng)xW 0 ,時(shí)2f1( x) 2xx ,x0 一一2f(x)= 22x = x= x=,f1(x)的1

15、階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 ,當(dāng),1 1.x=(, ,f1(x) = 2x ,4 22f2(x) =2 4x = x= x=一, 5,13 一八八當(dāng) xW (-， , fl (x) = 2 2x ,2 42f2(x) = 4x 2 = x= x =一, 3一 1.xw0, , fi(x)=2x , f2(x)=4x=x= x =0 4f2(x) = 4 - 4x4=x=- x =5-3當(dāng) xw(1, fi(x)=2-2x 4f (x)的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2n個(gè).2f2(x)的2階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 ,以此類推,7 -4【解析】根據(jù)題中理性函數(shù)的說明需滿足：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)

16、。圖中所給四個(gè)函數(shù)定義域不是R排除，為偶函數(shù)排除；為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)其為減函數(shù)，也排除，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選.8 .【解析】(1)對(duì)于命題“ f (x)w A”即函數(shù)f(x)值域?yàn)镽, “VbwR, ：3awD,f(a)=b”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，故有：設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈,則“ f (x)w A”的充要條件是“ Vbw R, 3a D , f(a)=b"，命題是真命題；(2)對(duì)于命題若函數(shù)f(x)w B,即存在一個(gè)正數(shù)M ,使得函數(shù)f(x)的值域包 含于區(qū)間_mm . -M < f (x)<M .例如：函數(shù) f (x)滿足2< f(x)&l

17、t;5,則 有-5W f (x產(chǎn)5,此時(shí)，f(x)無最大值，無最小值.命題“函數(shù)f(x)三B的 充要條件是f (x)有最大值和最小值.”是假命題；(3)對(duì)于命題若函數(shù)f(x), g(x)的定義域相同，且f (xH A, g(x)WB, 則f (x)值域?yàn)镽 , f (x產(chǎn)(血，收)，并且存在一個(gè)正數(shù)M ,使得 -M M g x < M. f (x)+ g( x)w R 則 f ( x)+ g(講 B 命題是真命題.x_(4)對(duì)于命題函數(shù) f (x) = aln(x + 2) + -2 (x>2, a=R)有最大值, x 1，假設(shè) a >0,當(dāng) x一收 時(shí)，-rx> 0,

18、 ln(x + 2)一 a ln(x+ 2戶 依，則 x +1f(x)-He與題意不符；假設(shè)a <0,當(dāng)xxx2 +1ln(x + 2) . q，.二 al( x*，則 f (x)七.與題意不符.，a=0.即函數(shù)f (x)>0時(shí)=2x x -2 x +1x+1>2, x1<1,即20 :二=0時(shí)f (x) = 0;<0時(shí)11<-21x x:二 011rr - -1 < f x <1.即 f (x) W B . 22故答案為.故命題是真命題.9. 1：2 16【解析】因?yàn)?A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,即2= log 2x=且B點(diǎn)的1縱坐標(biāo)是2。即2 = x2=x=4,即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)4 ,亦即C點(diǎn)的橫坐標(biāo)4 ,則yT4299一，即C點(diǎn)的縱坐標(biāo) 是一 ，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是161610.-1,-34【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f (x) =x2+k是(-8, 0)上的正函數(shù)，所以a< b< 0,所以當(dāng)x a , b時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則 f (a) =b, f (b) =a,即 a2+k=b, b2+k=a,兩式相減得 a2-b2=