天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步練習(xí)冊(cè)答案詳解_0

1、天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步練習(xí)冊(cè)答案詳解第一章 隨機(jī)變量 習(xí)題一 1、寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(1)同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和 W= 3,4,L,18(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù) 10,11,L W= (3)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，合格的記上“正品，不合格的記上“次品，如連續(xù)查出2個(gè)次品就停止，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。用“0表示次品，用“1表示正品。W=00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111(4)在單位圓表 示 “ 抽 取 i 次 的 事 件 。 i =

2、 3、 4、 、 10( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件與對(duì)立事件的區(qū)別何在？說(shuō)出以下各對(duì)事件的關(guān)系(1)|x-a|<d與|x-a|³d 互不相容 (2)x>20與x£20 對(duì)立事件(3)x>20與x<18 互不相容 (4)x>20與x£22 相容事件(5)20個(gè)產(chǎn)品全是合格品與20個(gè)產(chǎn)品中只有一個(gè)廢品 互不相容(6)20個(gè)產(chǎn)品全是合格品與20個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)廢品 對(duì)立事件1解: 互不相容:AB=f ; 對(duì)立事件 : (1)AB=f

3、且 AÈB=W3、設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示以下各事件(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生 - ABC (2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生 - ABC(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生 -AÈBÈC (4)A,B,C都發(fā)生 -ABC(5)A,B,C都不發(fā)生 - ABC (6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生 -ABÈACÈBC(7)A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生-ÈÈ(8)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生-ABÈACÈBC4、盒 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的號(hào)碼不小于5 (4)AUC 1或

4、2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)AC 5或7或9 (7)BUC 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出以下命題中哪些成立，哪些不成立. (1)AUB=ABUB 成立 (2)AB=AUB 不成立 (3)AUBC=ABC 不成立 (5)假設(shè)AÌB，那么A=AB 成立(7)假設(shè)AÌB，那么BÌA 成立 (4)(AB)(AB)=f 成立 (6)假設(shè)AB=f，且CÌA，那么BC=f 成立 (8)假設(shè)BÌA，那么AUB=A 成立7、設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了四個(gè)零件，Ai表示事件“他生產(chǎn)的第i個(gè)零件是正品(i=1,2,3

5、,4)，用A1,A2,A3,A4的運(yùn)算關(guān)系表達(dá)以下事件.(1)沒(méi)有一個(gè)產(chǎn)品是次品； (1) B1=A1A2A3A4(2)至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品；(2) B2=A1ÈA2ÈA3ÈA4=A1A2A3A42(3)只有一個(gè)產(chǎn)品是次品；(3) B3=A1A2A3A4ÈA1A2A3A4ÈA1A2A3A4ÈA1A2A3A4(4)至少有三個(gè)產(chǎn)品不是次品 4)B4=A1A2A3A4ÈA1A2A3A4ÈA1A2A3A4ÈA1A2A3A4ÈA1A2A3A48. 設(shè) E、F、G是三個(gè)隨機(jī)事件，試?yán)檬录倪\(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)以下

6、各式 ： (1)EUFI(EUF)(2) (EUF)IEUFIEUF 3(EUF)I(FUG) 解 :(1) 原式 =(EIE)U(EIF)UEIFUFIF=E(2) 原式 =(EUF)IEUFIEUF=FIEUF=FIE(3) 原式 =(EIF)U(EIG)U(FIF)U(FIG)=FU(EIG)9、設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7，問(wèn)(1)在什么條件下P(AB)取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)AÌB,P(AB)=0.6 (2)AÈB=S,P(AB)=0.3 ()()()()()()()(

7、)10. 設(shè) 事 件 A， B， C 分 別 表 示 開(kāi) 關(guān) a， b， c 閉 合 ， D 表 示 燈 亮 ， 那么可用事件A，B，C 表示：(1) D = ABUC ；(2) = (U) 。1111、設(shè)A,B,C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=， 48求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解:P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) QABÉABC =11115+-0-0+0=44488 0£P(ABC)<P(AB)=0 P(ABC)=031

8、112. (1)設(shè)事件A , B的概率分別為 與 ，且 A 與 B 互 斥，那么 P(AB)= 541 . 5 (2).一個(gè)盒中有8只紅球，3只白球，9只藍(lán)球 ，如果隨機(jī)地?zé)o放回地摸3只14球 ，那么取到的3 只 都 是 紅 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _285_。(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 從每只袋中各摸一只球 ，那么摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率13等于 _24_。(4) .設(shè) A1 , A2 , A3 是隨機(jī)試驗(yàn)E的三個(gè)相互獨(dú)立的事件，P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，那么A1 , A2

9、, A3 至少有一個(gè) 發(fā)生的概率是 1- (1- - b)(1- (5) 一個(gè)盒中有8只紅球，3只白球，9只藍(lán)球，如果隨機(jī)地?zé)o放回地摸3只球，34那么摸到的沒(méi)有一只是白球的事件的概率等于 _57_。13、在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任取200個(gè)，求(1)恰有90個(gè)次品的概率； (2)至少有2個(gè)次品的概率.200119990110éC1100ùC400C1100C400C1100P(2)=1-ê200+P(1)=ú2000200CCC15001500ëû 1500 解:14、兩射手同時(shí)射擊同一目標(biāo)，甲擊中的概率為0

10、.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手同時(shí)擊中的概率為0.72，二人各擊中一槍?zhuān)灰幸蝗藫糁屑凑J(rèn)為“中的， 求“中的概率.解:A=“甲中 B=“乙中P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.72=0.9815、8封信隨機(jī)地投入8個(gè)信箱(有的信箱可能沒(méi)有信)，問(wèn)每個(gè)信箱恰有一封信的概 率是多少？解: P(A)=8! 88416、房間里有4個(gè)人，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？ 解：設(shè)所求事件A=“至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的=“任何兩個(gè)人的生日都不在同一個(gè)月44A12A12P(A)=4,P(A)=1-P(A)=1-4=0.427121217、將3個(gè)球

11、隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問(wèn)杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概 率各是多少？解：3個(gè)球放入4個(gè)杯子中去共有43種放法，設(shè)Bi表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)為n的3事件(n=1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一個(gè)球，共有A4種方法，故3A43P(B1)=3=;B2表示有一只杯子中放2個(gè)球，先在3個(gè)球中任取2只放入4個(gè)84杯子中的任意一只，共有C32´4種方法，剩下的一個(gè)球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3種放法，故B2包含的根本領(lǐng)件數(shù)為C32´4´3=36，于是P(B2)=369= ;B3表示有一只杯子中放3個(gè)球，共有4種方法，故431641=. 3164P(B

12、3)=18. 設(shè) 一 個(gè) 質(zhì) 點(diǎn) 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 內(nèi)( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 圍 成 的 ) ， 設(shè) 事 件 A 為：y21D1質(zhì) 點(diǎn) 落 在 直 線 y = 1 的 下 側(cè) ， 求 P(A) 。 1(1+2)3D1P(A)=1=D´2´24 19、(1)P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P(B|AUB)(2)P(A)=111,P(B|A)=,P(A|B)=，求P(AUB) 4325解: (1)P(B|AÈB)=0.25 (2)P(AÈ

13、;B)=1 320、一批產(chǎn)品共100個(gè),其中有次品5個(gè)，每次從中任取一個(gè)，取后不放回, 設(shè)Ai( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： P(A2A1)=4955，PA2A1=，PA2A1= 999999 )()PA2A1=)94394，P(A3A1A2)= ， PA3A1A2= 99 9898)21、市場(chǎng)上供給的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠的合格率是80%。假設(shè)用事件A、A分別表示甲、乙兩廠產(chǎn)品，B表示合格品。 試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率.(1)P(A)= 70%(2)P(A)= 30% (3)P(B|A)= 95% (4)P(B|A)= 80%

14、 (5)P(B|A)= 5% (6)P(B|A)= 20%22、袋中有10個(gè)球，9個(gè)是白球，1個(gè)是紅球，10個(gè)人依次從袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，問(wèn)第一人，第二人，最后一人取得紅球的概 率各是多少？解: 解：設(shè)Ai第i個(gè)人取得紅球的事件(i=1,2,L,10), 那么Ai為第i個(gè)人取得白球的事件， 1 ,A2=A1A2ÈA1A2=A1A2(QA1A2=f) 10911P(A2)=P(A1A2)=P(A1)×P(A2|A1)=´= 10910顯然P(A1)=同理P(A10)=P(A1A2LA9A10)=9!1= 10!1023、某種動(dòng)物由出生活到20年

15、以上的概率為0.8，活25年以上的概率為0.4，問(wèn)現(xiàn) 年20歲的這種動(dòng)物活支25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A為由出生活到20歲的事件，B為由出生活到25歲的事件 6那么所求事件的概率為P(B|A)=P(AB) P(A)QBÌAAB=BP(B|A)=P(AB)P(B)0.41= P(A)P(A)0.8224、十個(gè)考簽中四個(gè)難的，三人參加抽簽，(不放回)甲先、乙次、丙最后，記事件 A,B,C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，求P(A),P(AB),P(AB),P(ABC). 解：P(A)=4241,P(AB)=P(AB)= P(ABC)= 1015153025. 設(shè) 0&lt; P(

16、C) &lt;1 ，試 證 ：對(duì) 于 兩 個(gè) 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有P ( A UB )½C = PA½C + PB½CP(A+B)C=證:=P(A+B)ICPC P(AC+BC)P(AC)+P(BC)= =PC+PBC PCPC()()26、設(shè)事件A與B互斥，且0<P(B)<1，證明P(A|B)=證明：由于AB=f，故A=A(BÈB)=AB P(A). 1-P(B)P(A|B)=P(AB)P(A)=P(B)1-P(B)(P(B)¹1)27、一批零件為100個(gè)，次品率為10%，每次從中任取一個(gè)，不再放回，

17、求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：設(shè)Ai為第i次取到正品，(i=1,2,3)由于次品率為10%，故100個(gè)零件約有90個(gè)正品，次品10個(gè)，設(shè)A為第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，那么由一般乘法公式得10990´´=0.0083 100999828、設(shè)每100個(gè)男人中有5個(gè)色盲者，而每10000個(gè)女人中有25個(gè)色盲者，今在3000 個(gè)男人和 2000個(gè)女人中任意抽查一人， 求 這 個(gè) 人 是 色 盲 者 的 概 率。 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=解:7A ：“ 抽到的一人為男人；B ： “ 抽到

18、的一人為色盲者那么 P(A)=351,P(BA)= 5100202251= P=,PB=510000400)()P(B)=P(A)P(BA)+PAPBA312131=´+´=52054001000)( )29、設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球，M只紅球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊∫恢磺颍瑔?wèn)取到白 球的概率是多少？ 解：設(shè)H1表示從甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，H2表示從甲袋中任取一只紅球放入乙袋中的事件，B表示從甲袋中任取一只球放入乙袋后再?gòu)囊掖腥∫恢话浊虻氖录?，所求事件B=BH1ÈBH2由全概率公式：P

19、(B)=P(H1)P(B|H1)+P(H2)×P(B|H2)nm,P(H2)= n+mn+mN+1NP(B|H1)=,P(B|H2)= N+M+1N+M+1nN+1mN+于是P(B)= n+mN+M+1n+mN+M+130、某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例 分別為25%,35%,40%；并且它們的廢品率分別是5%,4%,2%(1)今從該廠產(chǎn)品中任取一件問(wèn)是廢品的概率是多少？(2)如果取出的一件產(chǎn)品是廢品，問(wèn)它最大可能是哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的？解：設(shè)A=“所取出的一件產(chǎn)品是廢品，B1=“產(chǎn)品系甲車(chē)間生產(chǎn)，B2=“產(chǎn)品系乙車(chē)間生產(chǎn)， B3=“產(chǎn)品系丙車(chē)間生產(chǎn)P

20、(B2)=0.35 P(B1)=0.25 P(B3)=0.4P(A|B1)=0.05 P(A|B2)=0.04 P(A|B3)=0.02 易知：P(H1)=(1)由全概率公式：P(A)=åP(A|Bi)P(Bi)=0.25´0.05+0.35´0.04+0.4´0.02=0.0345i=13(2)由貝葉斯公式：8P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)0.25´0.05=»0.3623 P(A)0.0345P(A|B2)P(B2)0.35´0.04=»0.4058 P(A)0.0345P(A|B3)P(B3)0.0

21、2´0.4=»0.2319 P(A)0.0345P(B2|A)=P(B3|A)=所以，所取出的一件廢品最大可能是乙車(chē)間生產(chǎn)的.31、如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點(diǎn)。假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè) 各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率. 解: 設(shè)Ai為第i只繼電器閉合的事件，B為有電流從L流向R的事件，P(Ai)=p(n=1,2,L5)顯然B=A1A2ÈA4A5ÈA1A3A5ÈA2A3A4故P(B)=P(A1A2)+P(A4A5)+P(A1A3A5)+P(A2A3A4)-P(A1A4A2A5)-P(A1A2A3A5)-

22、P(A1A4A2A3)-P(A4A5A1A3)-P(A2A5A3A4)-P(A1A3A5A2A4)+P(A1A4A2A5A3)+P(A1A4A2A5A3)+P(A2A5A1A3A4)+P(A1A4A3A5A2)-P(A1A2A3A4A5)=2p2+2p3-5p4+2p5 32、在18盒同類(lèi)電子元件中有5盒是甲廠生產(chǎn)的，7 盒是乙廠生產(chǎn)的，4盒是丙廠生產(chǎn)的，其余是丁廠生產(chǎn)的，該四廠的產(chǎn)品合格品率依次為0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 現(xiàn)任意從某一盒中任取一個(gè)元件，經(jīng)測(cè)試發(fā)現(xiàn)是不合格品， 試問(wèn)該盒產(chǎn)品屬于 哪一個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒產(chǎn)品屬

23、于甲，乙 ，丙 ，丁廠生產(chǎn) B ： “ 所 取 一 個(gè) 元 件 為 不 合 格 品 那么 P(A1)=5， 18P(A2)=742， P(A3)=， P(A4)= 181818PBA1=0.2， PBA2=0.3， PBA3=0.4， PBA4=0.5由 全 概 率 公 式 : P(B)=由 貝 葉 斯 公 式 :9 ()()()() åP(Ai)P(BAi) =i=1457 180P(A1B)=10211610,P(A2B)=,P(A3B)=,P(A4B)= 57575757故 該 盒 產(chǎn) 品 由 乙 廠 生 產(chǎn) 的 可 能 性 最 大 33、甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人

24、擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6。假設(shè) 三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率. 解：設(shè)Ai(n=0,1,2,3)表示“恰有i人擊中飛機(jī)，B為飛機(jī)被擊落，P(A1)=0.4´0.5´0.3+0.6´0.5´0.3+0.6´0.5´0.7=0.36同理P(A2)=0.4´0.5´0.3+0.6´0.5´0.7+0.4´0.5´0.7=0.41P(A3)=0.4´0.5´

25、0.7=0.14易知P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0´0.09+0.2´0.36+0.6´0.41+1´0.14=0.458 34、袋中裝有N-1只白球，一只紅球，每次從袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只白 球，這樣繼續(xù)摸下去，問(wèn)第k次摸球時(shí)摸到白球的概率是多少？ 解：設(shè)事件A表示第k次摸到白球，那么事件A表示第k次摸到紅球。因?yàn)榇兄挥?只紅球，而每次摸出一球總換入一只白球，故

26、為了第k次摸到紅球，前k-1次 一定不能摸到紅球，因此A等價(jià)于以下事件: 在前k-1次摸球時(shí)都摸到白球而第k次摸出紅球， 所以1k-11(N-1)k-1×11k-11P(A)=1-P(A)=1-(1-)× P(A)=(1-)× 因此kNNNNN 第2章一維隨機(jī)變量 習(xí)題2 一. 填空題：x£x， 那么 用 F (x) 表 示 概 1.設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 是 F(x)=P10Px=x0 = _。 解：F(x0)-F(x0-0)11+arctgx(-¥<x<+¥) 那么 2p11 P 0&a

27、mp;lt;x&lt;1 = _。 解： P 0&lt;x&lt;1 = F(1)-F(0)= 442.設(shè) 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)=3.設(shè) x 服 從 參 數(shù) 為 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P x = 2 = P x = 3 ，那么 P x = 3 = _27-3e 或 3.375e-3_。 8x=k=C4.設(shè) 某 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 律 是 P 常 數(shù) l&gt;0， 那么 C 的 值 應(yīng) 是 _ e_。 -llKk!,k=0,1,2,×××，解：K=0å

28、;¥Px=k=1ÞåCK=0¥lKk!=1ÞCåK=0¥lKk!k=1ÞCel=1ÞC=e-l æ1ö5 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 律 是 Px=k=Aç÷,k=1,2,3,4 è2ø那么 5üì1Pí<x<ý。 2þî24解：æ1111ö15()Px=k=AA ç+÷=å2481616èøk=1

29、令 1615A=1 得 A= 151616é11ù5öæ1Pç<x<÷=p(x=1)+p(x=2) =+ú=0.8 ê2ø15ë24ûè2x£x， 那么 函 數(shù) F(x)是 某 一 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 6.假設(shè) 定 義 分 布 函 數(shù) F(x)=P布 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是7. 隨機(jī)變量xN(a, s2)，記g(s)=Px-a<s，那么隨著s的增大，g(s)之值8. 設(shè) x N ( 1， 1 )，記x 的概率密度為 j( x ) ，

30、分布函數(shù)為 F ( x )，那么Px£1=Px³1=11 9、分別用隨機(jī)變量表示以下事件(1)觀察某 總機(jī)每分鐘= 10£X£10.1(3)檢查產(chǎn)品5件，設(shè)A為至少有一件次品，B為次品不少于兩件，試用隨機(jī)變量表示事件 A,B,B,AUB,AB.=X=0 B=次品少于兩件=X<2 解: A=沒(méi)有次品=X³1 =X³2 AUB=至少有一件次品 B=次品不少于兩件AB=次品數(shù)不到兩件=X<2 10 、一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取3只，以x表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，那么X的分布律為: 二. 計(jì)算題：

31、1、將一顆骰子拋擲兩次，以X1表示兩次所得點(diǎn)數(shù)之和，以X2表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，試分別寫(xiě)出X1,X2的分布律.12pk2、設(shè)在15只同類(lèi)型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X1362 36336436536636536436336236136 k3、(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：PX=k=al,k=0,1,2,L,l>0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.k!解: 因k=0å¥PX=k=k=0奥klkla=aå=1 Þael=1, 故 a=e-l k!k=0k!(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：PX

32、=k=NNa,k=1,2,L,N，試確定常數(shù)a. N k=1åPX=k=åk=1Na11=aå=aN´=1Þa=1 NNk=1N4、飛機(jī)上載有3枚對(duì)空導(dǎo)彈，假設(shè)每枚導(dǎo)彈命中率為0.6，發(fā)射一枚導(dǎo)彈如果擊中敵機(jī)那么停止，如果未擊中那么再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)的分布律. 5、汽車(chē)需要通過(guò)有4盞紅綠信號(hào)燈的道路才能到達(dá)目的地。設(shè)汽車(chē)在每盞紅綠燈前通過(guò)(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(jìn)(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車(chē)首次停止前進(jìn)(即遇到紅燈，或到達(dá)目的地)時(shí)，已通過(guò)的信號(hào)燈的分布律.解：汽車(chē)在停止前進(jìn)時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)

33、是一個(gè)隨機(jī)變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4，又設(shè)A的表示事件：汽車(chē)將通過(guò)時(shí)第i盞信號(hào)燈開(kāi)綠燈，n=1,2,3,4由題意P(An)=0.6,P(An)=0.4x=0表示已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)是0(即第一盞信號(hào)燈是紅燈),故Px=0=P(A1=0.4 x=1表示已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)是1(即第一盞信號(hào)燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故Px=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.6´0.4.同理Px=2=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.62´0.4 Px=3=P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.63´0.4 P

34、x=4=P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.6413kìï0.6´0.4,k=0,1,2,3于是x的分布律為Px=k=í 4ïî0.6,k=4即 6、自動(dòng)生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的機(jī)率為p，生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即重新進(jìn)行調(diào)整，求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律. 7、一大樓Px=2=C5(0.1)2(0.9)3=0.0729(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？345Px³3=C5(0.1)3(0.9)2+C5(0.1)40.9+C5(0.1)5(0.9)0=0.00856(3)至多有3

35、個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？45Px£3)=1-Px>3=1-C5(0.1)40.9+C5(0.1)5=0.99954(4)至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？0 Px³1=1-C5(0.1)0(0.9)5=0.409518、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，(1)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.(2)進(jìn)行7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.345解：(1)P5次獨(dú)立試驗(yàn),指示燈發(fā)出信號(hào)=C5(0.3)3(0.7)2+C5(0.3)40.7+C5(0.3)5=0.163(2)P7次獨(dú)立試驗(yàn),指示燈發(fā)出信號(hào)0071

36、6225=1-C(0.3)(0.7)+C0.3(0.6)+C(0.3)(0.7)=0.353 777 9、設(shè)某批電子管正品率為31，次品率為，現(xiàn)對(duì)這批電子管進(jìn)行測(cè)試，只要測(cè)得一個(gè)正品，管44子就不再繼續(xù)測(cè)試，試求測(cè)試次數(shù)的分布律.解：解：設(shè)測(cè)試次數(shù)為x，那么隨機(jī)變量x的可能取值為：1,2,3,L，當(dāng)x=k時(shí)，相當(dāng)于前k-1次測(cè)得的都是次品管子，而第k次測(cè)得的是正品管子的事件，1413PX=k=()k-1，(k=1,2,L) 4410、每次射擊命中率為0.2，必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊，才能使至少擊中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：n次獨(dú)立射擊中至少擊中一次的概率為P=

37、1-(1-0.2)n=1-(0.8)n；(1)要使P=1-(0.8)n³0.9，必須n³lg0.1»10.3，即射擊次數(shù)必須不小于n=11次. lg0.8lg0.01»20.64，即射擊次數(shù)必須不小于n=21次 lg0.8(2)要使P=1-(0.8)n³0.99，必須n³11、 站為300個(gè)用戶(hù)效勞，在一小時(shí)(利用泊松定理計(jì)算)k解：設(shè)x為發(fā)生事故的次數(shù)，那么Px=k=C1000(0.0001)k(0.9999)1000-k用泊松定理計(jì)算，np=1000´0.0001=0.1Px>2=1-Px=0-Px=1=1-e-0

38、.1-0.1e-0.1=0.0046813設(shè)X服從泊松分布，且PX=1=PX=2，求PX=4 解：Px=k=lke-lk!，由Px=1=Px=2，得le-l1!=l2e-l2!，24e-2l=2,l=0(舍去l=0,因?yàn)閘>0) Px=4=0.0903 4!14、. 求離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 律 為 P(x=k)=bl， ( k = 1， 2， )， 的 k充 分 必 要 條 件。k解：由1³P(x=k)=bl³015且k=1åP(x=k)=1 Ûb+åblk=1¥¥k=b+1Ûb

39、9;lk=1+b k=0¥Û11+b1 Û l= 且 b &gt; 0 =1+b1-lb 15 設(shè)x服從參數(shù)l = 1的指數(shù)分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0無(wú)實(shí)根的概率 。解： D=16x2-16(x+2)<0 知 -1<x<2P-1<x<2=ò2-xedx0 故 =1-e-2ìïAx+B1£x£316. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 概 率 密 度 為 (x)=í 且 知 x ï0 î在 區(qū) 間 ( 2，3

40、 ) 知 有 A+B=0 òò12+¥又 由-¥òj(x)dx=1 即 ò(Ax+B)dx=4A+2B=1 13ì111ïA+B=0解 í2 得 A = ，B = - 63ïî4A+2B=1 17、設(shè)有函數(shù)ìsinx,0£x£p 試說(shuō)明F(x)能否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù). F(x)=í0,其它î解：不 能因 為 當(dāng) p<x<故 在 ê0,3p 時(shí) ， j ( x ) = sin x &lt; 0 2

41、3;3pùú 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 負(fù) 。 2ëû 18、設(shè)某人計(jì)算一連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為：16ì0,ïïsinx,ïF(x)=íïx,ïï1,îx<00£x<p4 試問(wèn)他的計(jì)算結(jié)果是否正確？ 答：不正確 p4£x<1x³119、在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間 ïxï解：P 0 &lt; x

42、63; x = cx ；F(x)=í 0£x<aïaa£xïî1 20、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為ìA+Be-lx,x³0F(x)=í,x<0î0求(1)常數(shù)A,B (l>0)-3l(2)PX£2,PX>3 -2l(3)概率密度f(wàn)(x) 解: (1)A=1,B=1 (2)1-e,e ìle-lx,x³0(3)f(x)=íî0,x<0 21、某種型號(hào)的電子管壽命X(以小時(shí)計(jì))，具有如下概率密度：ì1000

43、,x>1000ï 現(xiàn)有一大批此種電子管(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)，任取5f(x)=íx2ïî0,其它只，問(wèn)其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？并求F(x).解：設(shè)使用壽命為x小時(shí)Px>1500=1-Px£1500=1-òPx£1500=1000-100015002dx=1-()|1000= 1000x2x3150012，所求事件的概率：P=C5P(x>1500)2×P(x£1500)3+ 3345C5P(x>1500)3P(x£1500)2+C5P(x&g

44、t;1500)4P(x£1500)+C5P(x>1500)5172121212232=10´()2´()3+10´()3´()2+5´()4´+()5= 3333333243xx10001000dx=1-再求F(x)=òf(x)dx=ò -¥1000x2xì1000,x³1000ï1- F(x)=íxï,其它î022、設(shè)隨機(jī)變量X具有對(duì)稱(chēng)的概率密度f(wàn)(x)，即f(x)為偶函數(shù)，f(-x)=f(x)，證明：對(duì)任意a>0有： (

45、1)F(-a)=1-F(a)=a1-òf(x)dx ; (2)P|X|>a=21-F(a) 02(3)P|X|<a=2F(a)-1證明：(1)F(-a)=ò-a-¥f(x)dx，令x=-x，+¥a¥-¥a-¥F(-a)=ò-a-¥f(x)dx=òa+¥f(x)d(-x)=òf(x)dx=òf(x)dx-òf(x)dx=1-F(a) a111a11又因?yàn)椋?òf(x)dx=-òf(x)dx=-F(a)-F(-a) 2022-a

46、22111111=-F(a)-(1-F(a)=-2F(a)-1=-F(a)+=1-F(a) 222222(2)P|x|>a=21-F(a)證明：P|x|>a=1-P|x|£a=1-P-a<x£a=1-F(a)-F(-a)=1-F(a)-1-F(a)=1-F(a)+1-F(a)=2-2F(a)=21-F(a)(3)P|x|<a=2F(a)-1證明：P|x|<a=P-a<x<a=P-a<x£a=F(a)-F(-a)=F(a)-1-F(a)=2F(a)-1 23、設(shè)顧客在銀行的窗口等待效勞的時(shí)間X(以小時(shí)計(jì))服從指數(shù)分布，

47、其概率密度為xì1-5ïe,x>0 某顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過(guò)10分鐘，他就離開(kāi)，他一個(gè)月要f(x)=í5ï0,其它î18到銀行5次，以Y表示一個(gè)月(2)P-2<X<7 (3)P|X|>2(4)PX>3 (5)確定c使得PX>c=PX£c 解：(1)P2<x£5=0.5328 (2)0.9710(3)0.6977(4)0.5 (5)c=325、一個(gè)工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(以小時(shí)計(jì))，服從參數(shù)m=160，s的正態(tài)分布，假設(shè)要求P120<X£200³0.80

48、，允許s最大為多少？解:P120<x£200=(2(40200-160s(40)-(120-160s40)=(40s)-(-40s)=2(40s)-1s)-1=0.80s)=0.9s=1.28 s=31.25，故允許s最大為31.25 26、公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂碰頭的時(shí)機(jī)在0.01米以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高x服從m=170cm,s=6cm的正態(tài)分布，即XN(170,62)問(wèn)車(chē)門(mén)的高度應(yīng)如何確定？解：設(shè)車(chē)門(mén)高度為hcm，按設(shè)計(jì)要求Px³h£0.01，或Px<h³0.99， 因?yàn)閤N(170,62)，故Px<h=F(h)=(查表

49、得F(2.33)=0.9901>0.99h-170)³0.99 6即h=184cmh-170=2.33 6設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為184厘米時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)碰頭的時(shí)機(jī)不超過(guò)0.01。272求Y=2(X-2)的分布律. 解:2X28、設(shè)XN(0,1)，求(1)Y=e的概率密度 (2)Y=2X+1的概率密度19(3)求Y=|X|的概率密度解：(1)設(shè)xN(0.1),f(x)=1e2p-x22,-¥<x<+¥ y=ex,y=ex>0,x=lny,x=1 y2ì1(lny)11ìe2×,0<y<+¥

50、39;ïflny,0<y<+¥y 即j(y)=í2 j(y)=íyïï0,其它0,其它îî(2)y=2x2+1³1，當(dāng)y>1時(shí)，Y的分布函數(shù)， FY(y)=PY£y=P2x2+1£y=Px2£=òy-12y-1-2y-1y-1=P-£x£22x2=Y-1³0 2y-1 21e2-x22dx=22òy-120e-x22dx,當(dāng)y£1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0，Y的概率密度ì1ïj(y)=F

51、Y¢(y)=í4ïî2y-1y-1f()+f(-),y>1 y-1220y>1y£1,y£1y-1-ì1e4,ï即j(y)=í2(y-1)ï0,î(3)Y=|x|,y=|x|³0，當(dāng)y>0時(shí)，Y的分布函數(shù) FY(y)=PY£y=P|x|£y=P-y<x£y=òy-yf(x)dx1=2pòy-ye-x222dx=2pòy0e-x22dxì2f(y),y>0 0,y£0&

52、#238;當(dāng)y£0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0，Y的概率密度j(y)=Fg¢(y)=í當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P|x|£y=0,j(y)=020ì2-ye2,y>0ïj(y)=í2pï0,y£0î29、設(shè)電流I是一個(gè)隨機(jī)變量，它均勻分布在9安11安之間，假設(shè)此電流通過(guò)2歐姆的電阻，在其上消耗的功率為W=2I，求W的概率密度. 22ì1ï,9<x<11解：由題意I的概率密度為f(x)=í2ïî0,其它w=2I2,w=2x2,x=

53、77;w,當(dāng)9<x<11時(shí),162<w<242 2對(duì)于w>0,Fw(w)=Pw£w=P-2£I£2=ò-2f(x)dx由于w³0，所以當(dāng)w<0時(shí)，其分布函數(shù)Fw(w)=0，¢(w)=故w的概率密度f(wàn)(w)=Fw1； 4wì111ì1ww×=,162<w<242f()+f(-),w>0ïïf(w)=í2w =í22w242w22ï0,其它0,w£0ïîî30、設(shè) 正

54、 方 體 的 棱 長(zhǎng) 為 隨 機(jī) 變 量 x ，且 在 區(qū) 間 ( 0 ， a ) 上 均 勻 分 布 ， 求 正 方 體 體 積 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a &gt; 0 )解:正 方 體 體 積 h = x 3函 數(shù) y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 數(shù) x=h(y)=y 131-2h(y)=y33, jh(y)=1 aì1-2ïy3(0<y<a3)h 的 概 率 密 度 為 (y)=í3aï î0212ìx>0ï31. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 x 的 概 率 密

55、度 為 j(x)=ípx2+1ïî0,x£0 求 隨 機(jī) 變 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y ， 當(dāng) x 在 ( 0 ， +¥ )上 變 化 時(shí) ， y 在 (- ¥ ， + ¥ ) 上 變 化 ， h¢ (y)=ey,jh(y)=pe22y+12ey于 是 h 的 概 率 密 度 為 y(y)=-¥<y<+¥ pe2y+132. 已 知 某 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標(biāo) x 服 從

56、N(m , s2)， 并 規(guī) 定 | x - m | £ m時(shí) 產(chǎn) 品 合 格 ， 問(wèn) m取 多 大 時(shí) ， 才 能 使 產(chǎn) 品 的 合 格 率 達(dá) 到 95%。 已 知 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (- 1.65) = 0.05, (- 0.06) = 0.475 .解：P | x - m | £ m = 0.95，此式等價(jià)于 Pm- m £ x £ m + m = 0.9 因 為 x 服 從 N(m , s2 )， 故Pm- m £ x £ m

57、 + m = F(m+m-mm-m-m)-F() ssmmm)-F(-)=2F()-1=0.95 sss =F(查 表 m=1.96 得 m = 1.96s s故 m 取 1.96s 時(shí) 才 能 使 產(chǎn) 品 合 格 率 達(dá) 到 95%。 22 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 一、填空題1、隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域x1<x£x2,y1<y£y2的概率為 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2).2、(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，那么F(-¥,y)=3、(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，那么F(x+0,y)=F(x,y

58、)4、(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，那么F(x,+¥)=FX(x)5、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為ìk(6-x-y)f(x,y)=í0î0<x<2,2<y<4其它，那么k=186、隨機(jī)變量(X,Y)的分布如下，寫(xiě)出其邊緣分布.237、設(shè)f(x,y)是X,Y的聯(lián)合分布密度，fX(x)是X的邊緣分布密度，那么ò+¥-¥f(x)=. X8、二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)，X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)r= 9、如果隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為那么a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 +=；假設(shè)X與Y相互獨(dú)立，那

59、么a=1842b=. 181810、設(shè)X,Y相互獨(dú)立，XN(0,1),YN(0.1)，那么(X,Y)的聯(lián)合概率密度 f(x,y)=1e2p-x2+y22，Z=X+Y的概率密度f(wàn)Z(Z)e-x24.12、 設(shè) ( x 、 h ) 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為111ìA+-x³0,y³0ï222 F(x,y)=í那么 A =_1_。 1+x+y1+x1+yï0 î24 二、證明和計(jì)算題1、袋中有三個(gè)球，分別標(biāo)著數(shù)字1,2,2，從袋中任取一球，不放回，再取一球，設(shè)第一次取的球 上標(biāo)的數(shù)字為X，第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字Y，求(X,Y

60、)的聯(lián)合分布律.1×0 311PX=1,Y=2=×1=33211PX=2,Y=1=×=323211PX=2,Y=2=×=323解：PX=1,Y=1= 2、三封信隨機(jī)地投入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)信箱中，設(shè)X為投入1號(hào)信箱的信數(shù)，Y為投入2 號(hào)信箱的信數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律. 解：X的可能取值為0,1,2,3 Y的可能取值為0,1,2,31PX=0,Y=0=33PX=0,Y=3=2C333PX=0,Y=1=3PX=0,Y=2=3=3333133PX=1,Y=0=33´2PX=1,Y=1=33332C33´1PX=1,Y=2=3 PX

61、=1,Y=3=0 PX=2,Y=0=3333PX=2,Y=2=0 PX=2,Y=3=0 331PX=3,Y=0=3 PX=3,Y=1=PX=3,Y=2=PX=3,Y=3=03PX=2,Y=1=ì13、設(shè) 函 數(shù) F(x , y) = íî0x+2y>1；問(wèn) F(x , y) 是 不 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的x+2y£125聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) ？ 并 說(shuō) 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)因 P0 &lt; x £ 2， 0 &lt; h

62、 £1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1- 1- 1 + 0 = - 1 &lt; 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 。ì2g(x2+y2),0£x,y<+¥+¥ï224、設(shè)g(x)³0,且òg(x)dx=1，有f(x,y)=í px+y0ï其它î0,證明：f(x,y)可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。證明：易驗(yàn)證f(x,y)³0，又&#

63、242;òp+¥+¥-¥-¥f(x,y)dxdy=òò0+¥+¥2g(x2+y2)0px+y22dxdy2pò20dqò+¥0+¥g(r)=òg(r)dr=1 0r符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。5、在 0,p 上 均 勻 地 任 取 兩 數(shù) X 與 Y，求Pcos(X+Y)<0的值。 ì1,0£x,y£pp3p3ï)= 解：f(x,y)=íp2，Pcos(X+Y)<0P<X+Y<224ï0,其它îìke-(3x+4y)x>0,y>06、設(shè)隨機(jī)變量(