時間序列分析講義第01章差分方程

1、時間序列分析方法講義第1章差分方程1第一章差分方程差分方程是連續(xù)時間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時間序列方法的基 礎(chǔ)，也是分析時間序列動態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟(jì)時間序列或者金融時間序列方法主要處理具有隨機(jī)項的差分方程的求解問題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的重要內(nèi)容。 1.1一階差分方程假設(shè)利用變量yt表示隨著時間變量 t t 變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則yt便是在時間 t t 可以觀測到的數(shù)據(jù)。假設(shè)yt受到前期取值 和其他外生變量wt的影響，并滿足下述方程：yt =：01ytWt(1.1)在上述方程當(dāng)中，由于yt僅線性地依賴前一個時間間隔自身的取值yt，因此稱具有

2、這種結(jié)構(gòu)的方程為一階線性差分方程。如果變量Wt是確定性變量，則此方程是確定性差分 方程；如果變量wt是隨機(jī)變量，貝U U此方程是隨機(jī)差分方程。在下面的分析中，我們假設(shè)wt是確定性變量。例1.11.1貨幣需求函數(shù)假設(shè)實際貨幣余額、實際收入、銀行儲蓄利率和商業(yè)票據(jù)利率的對數(shù)變量分別表示為mt、It、rbt和rct,則可以估計出美國貨幣需求函數(shù)為：mt=0.27 0.72mt0.19It-0.045rbt-0.019rct上述方程便是關(guān)于mt的一階線性差分方程。可以通過此方程的求解和結(jié)構(gòu)分析，判斷 其他外生變量變化對貨幣需求的動態(tài)影響。1.1.1差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示

3、為外生變量及其初值的函數(shù)形式，可以通過以前的數(shù)據(jù)計算出方程變量的當(dāng)前值。由于方程結(jié)構(gòu)對于每一個時間點(diǎn)都是成立的，因此可以將(1.1)表示為多個方程：t = 0 : y = 1yn W0t =1 : y =、1y。W1aat t = =t t：yt = % 1 ytj wt依次進(jìn)行疊代可以得到：y1 = 01(0y-w0) w =0(11) ( 1)2y41w0wy2 = 0(1112)13y12w2w1w0aayt=廂寸卯+蜘技小回(1.2)i Wi =0上述表達(dá)式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通過代入方程進(jìn)行驗證。上述通過疊代將yt表示為前期變量和初始值的形式，從中可以看出yt對

4、這些變量取值的依賴性和動態(tài)變化過程。1.1.2.差分方程的動態(tài)分析：動態(tài)乘子(dynamic multiplier)在差分方程的解當(dāng)中，可以分析外生變量，例如w0的變化對 t t 階段以后的yt的影響。假設(shè)初始值v 4和w，wt不受到影響，則有：時間序列分析方法講義第1章差分方程2fw類似地，可以在解的表達(dá)式中進(jìn)行計算，得到：公二1:Wt(1.3)(1.4)上述乘子僅僅依賴參數(shù) 1 1和時間間隔j，并不依賴觀測值的具體時間階段，這一點(diǎn)在任何差分方程中都是適用的。例1.21.2貨幣需求的收入乘子在我們獲得的貨幣需求函數(shù)當(dāng)中，可以計算當(dāng)期收入一個單位的變化，對兩個階段以后貨幣需求的影響，即：:mt

5、 2mt 2 ；:Wt.2 : Wt-：I t-：WtItIt利用差分方程解的具體系數(shù)，可以得到：些=0.19,81=0.72；：It從而可以得到二階乘子為:A =0昭8t注意到上述變量均是對數(shù)形式，因此實際上貨幣需求相對于兩個階段以前收入的彈性系數(shù)，這意味著收入增長1%,將會導(dǎo)致兩個階段以后貨幣需求增加0.098% ,其彈性是比較微弱的。定義1.11.1在一階線性差分方程中，下述乘子系列稱為yt相對于外生擾動wt的反應(yīng)函數(shù)：Lj，j =0,1，:Wt顯然上述反應(yīng)函數(shù)是一個幾何級數(shù)，其收斂性依賴于參數(shù)(1)當(dāng)0 cl c 1時，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)收斂的；(2)當(dāng)-1e1。時，反應(yīng)函數(shù)是震蕩收斂的；

6、(3)當(dāng)勺1時，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)擴(kuò)張的；(4)當(dāng)-1時，反應(yīng)函數(shù)是震蕩擴(kuò)張的；可以歸納描述反應(yīng)函數(shù)對于參數(shù)的依賴性：當(dāng)14 |1時，反應(yīng)函數(shù)是發(fā)散的。一個特殊情形是將導(dǎo)致其后任何時間.;yt jLj = =1, :Wt為了分析乘子的持久作用，假設(shè)時間序列yt的現(xiàn)值貼現(xiàn)系數(shù)為P P , ,則未來所有時間的yt流貼現(xiàn)到現(xiàn)在的總值為：j=0如果Wt發(fā)生一個單位的變化，而Ws, s t不變，那么所產(chǎn)生的對于上述貼現(xiàn)量的影響 為邊際導(dǎo)數(shù)：*1的取值。(1.5)9 =1的情形，這時擾動將形成持續(xù)的單一影響，即wt的一個單位變化yHj的一個單位變化：j =0,1,(1.6)時間序列分析方法講義第1章差分方程3

7、時間序列分析方法講義第1章差分方程4-yt .j二一1一a.如EjytG/徹t=如陽-w=a所如=1對，卬51上述分析的是外生變量的暫時擾動， 如果wt發(fā)生一個單位的變化，而且其后的ws,st也都發(fā)生一個單位的變化， 這意味著變化是持久的。 這時持久擾動對于(t + j)時刻的yt+j的 影響乘數(shù)是：公公.= 丫.廠.1。fWtjWt 1；：Wt j當(dāng)|。11j =1,2，,P將 p p 階差分方程表示成為矩陣形式的好處在于，它可以進(jìn)行比較方便的疊代處理，同時可以更方便地進(jìn)行穩(wěn)定性分析。另外，差分方程的系數(shù)都體現(xiàn)在矩陣F的第一行上。進(jìn)行向前疊代，可以得到差分方程的矩陣解為：(1.7)(1.8)

8、例1.31.3貨幣需求的長期收入彈性在例1.1中我們已經(jīng)獲得了貨幣的短期需求函數(shù)，從中可以求出貨幣需求的長期收入彈性為：dmtdmtdWt0.19-=-x- =-=0.68dItdWtdIt1-0.72這說明收入增加1%最終將導(dǎo)致貨幣需求增加0.68%,這是收入對于貨幣需求反饋的持久影響效果。如果換一個角度考察擾動的影響，那么我們需要分析一個單位的外生擾動對于 路徑的累積影響，這時可以將這種累積影響表示為：jfytj1j=0 ；：Wt1 - -由此可見，如果能夠估計出差分方程中的系數(shù)，并且了解差分方程解的結(jié)構(gòu)，經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行穩(wěn)定性的動態(tài)分析。另外，我們也發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生變量對外生變量反應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)比較

9、敏感地依賴差分方程中的系數(shù)。 1.21.2P P 階差分方程如果在方程當(dāng)中允許yt依賴它的 p p 階前期值和輸入變量，則可以得到下述p p 階線性差分方程(將常數(shù)項歸納到外生變量當(dāng)中)：yt =yt2py Wt為了方便起見，將上述差分方程表示成為矩陣形式：t=FtiVt其中：yt以后(1.9)則可以對(1.10)(1.11)-yt 1-yt.ytq+,F=B七r*123Tp巾1Tp1000001000aaa-：00010 -Wt0，V Vt t= =03.0 -時間序列分析方法講義第1章差分方程5t=Ft1 FM - FVi Fvt-vt(1.12)利用fj表示矩陣F*中第 i i 行、第j

10、列元素，則方程系統(tǒng)(1.12)中的第一個方程可以表 示為：(t 1)(t 1)(t.1)(t)(t 1)(1)f(t-1)(t1)(t11)(t)(t-1/(1)11yi . f12y f1py f11Wof11W1頃3 f11WtjWt(1.13)需要注意，在p階差分方程的解中需要知道p個初值：(y，y,，y),以及從時刻0開始時的所有外生變量的當(dāng)前和歷史數(shù)據(jù)：(w0, w1，wt)。由于差分方程的解具有時間上的平移性，因此可以將上述方程(1.12)表示為：=Fj1-FjVt FitFv-(1.14)類似地，表示成為單方程形式：,-f(j 1) V f(j 1) V f(j 1) Vyj =

11、f11yt 1f12yt _2f1 pyt _p(j)(1.15)(1.15)f11Wtf11Wt 1f11Wt-jWt，j利用上述表達(dá)式，可以得到p p 階差分方程的動態(tài)反應(yīng)乘子為：Lj=竺蘭=倩)，j=0,1，；:Wt由此可見，動態(tài)反應(yīng)乘子主要由矩陣Fj的首個元素確定。例1.4在 p p 階差分方程中，可以得到一次乘子為：I _yt 1. f(1)_.F- 1一-111 111:Wt二次乘子為:L二- -火火2=箱2)=Fj =j , 2 :Wt雖然可以進(jìn)一步通過疊代的方法求出更高階的反應(yīng)乘子，但是利用矩陣特征根表示則更為方便，主要能夠更為方便地求出矩陣Fj的首個位置的元素。根據(jù)定義，矩陣

12、 F F 的特征根是滿足下述的人值:|F -，Ip | = 0(1.16)一般情況下，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)，將行列式方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。例1.5在二階差分方程當(dāng)中，特征方程為：(勺-赤).=人一1入一2=。1 一舄具體可以求解出兩個特征根為：& =11+的12+網(wǎng)2), 7吃=1(*1一J*12+4牝)(1.17)22上述特征根的表達(dá)式在討論二階線性差分方程解的穩(wěn)定性時，我們還要反復(fù)用到。距陣 F F 的特征根與 p p 階差分方程表達(dá)式之間的聯(lián)系可以由下述命題給出：命題1.1距陣 F F 的特征根滿足下述方程，此方程也稱為 p p 階線性差分方程的特征方程：，p _ 1，p】_2，p

13、一 , 一 .0p p證明：根據(jù)特征根的定義，可知特征根滿足：時間序列分析方法講義第1章差分方程6(1一，)23 p10 0|F7Jp|=01一九00001九p p 列乘以（1/人）加到第p1列，然后將第p1列乘以（1/兀）加到第p-2列，依次類推，可以將上述行列式方程變化為對角方程，并求出行列 式值為:P一2心一 .一=0p Ip這便是所求的 p p 階線性差分方程的特征方程。END如果知道 p p 階線性差分方程的特征方程及其特征根，不僅可以分析差分方程的動態(tài)反應(yīng)乘子，而且可以求解出差分方程解析解的動態(tài)形式。1.2.11.2.1具有相異特征根的 p p 階線性差分方程的通解根據(jù)線性代數(shù)的有

14、關(guān)定理，如果一個方陣具有相異特征根，則存在非奇異矩陣T T 將其化為對角矩陣，且對角線元素便是特征根：F=TAT,A= diag（&,，Ap）（1.18）這時矩陣 F F 的乘級或者藉方矩陣可以簡單地表示為：Fj=（TAT）j=TAjT , Aj=diag（號，房）（1.19）假設(shè)變量tj和tij分別表示矩陣 T T 和T-1的第 i i 行、第j列元素，則可以將上述方程利用矩陣形式表示為：具有上述表達(dá)式以后，在差分方程的解：(j 1)(j 1)(j 1)yt fj-f11yt 4f12ytqf1 pyt -p(j)(j)(1).f11Wtf11Wt 1f11WtjJWt j中可以得到

15、動態(tài)乘子為:究竟系數(shù)序列Cj取值如何，下述命題給出了它的具體表達(dá)式。命題1.2如果矩陣 F F 的特征根是相異的，則系數(shù)Cj可以表示為:乳 100 =0對上述行列式進(jìn)行初等變化，將第1 1 2 2t t t t- -tl2t22J p1tp2從中可以獲得：引）二&祀1/（頃21）t1t2tpt2 p七22 t2paa+.ji tp1tP2 tPP其中：Cj=t1jtj1,j =0,1，如此定義的序列具有下述約束條件C1C2 .Cp=1（1.19）（自行證明）：（1.20）(1.15)Lj=1)=GW +C2，-2 *CpAnp,j =0,1,(1.21), C2，2 Cp，ptpp0(

16、hptp1rpWt時間序列分析方法講義第1章差分方程7(1.22)時間序列分析方法講義第1章差分方程8證明：由于假設(shè)矩陣 F F 具有相異的特征根，因此對角化的非奇異矩陣可以由特征向量 構(gòu)造。令向量ti為：L =，：，：，i，1,i = 1,2，p其中是矩陣 F F 的第 i i 個特征根。經(jīng)過運(yùn)算可以得到：Fti = iti由此可知ti是矩陣 F F 的對應(yīng)特征根將矩陣TT=IP的第一列表示出來：PtP，1 tP1C1 =-: =0.778 , c2=2 =0.222(，2)2(/ - W)此方程的動態(tài)乘子為：iiiLj =c1襯+c2九2=0.788(0.84)+0.222(0.24)j,

17、 j =0,1，在上述乘子的作用過程中，絕對值教大的特征根決定了乘子的收斂或者發(fā)散過程。情形下，如果-1是絕對值最大的特征根，則有：廣勺1、lim (-) = c1j cwt襯則動態(tài)乘子的收斂或者發(fā)散是以指數(shù)速度進(jìn)行。當(dāng)一些特征根出現(xiàn)復(fù)數(shù)的時候， 差分方程解的性質(zhì)出現(xiàn)了新的變化，擾動反應(yīng)函數(shù)將出K的特征向量，利用每個ti做列就可以得到矩陣 T T。尸 7AP宵pJ3Apt11t21t311-00ii1可以求解上述線性方程的解為:1t11ti（，1）（，1 f3 ）（，1 f p ）1（2 -1）（2 - 3） （2t1P 1)(， 2)(，p-，p。注意到：q =ti1t , i =1,2，P

18、,帶入上述表達(dá)式即可得到結(jié)論。 例1.6求解二階差分方程：yt=0.6ytw+0.2yt_2+wt解：該方程的特征方程為：2-0.6，-0.2 =0特征根為：1 /O兀=一(0.6十(0.6)2十4(0.2) )=0.84 ,21C2= 0.6 - . （0.6）24（0.2） - -0.242END（1.23）時間序列分析方法講義第1章差分方程9現(xiàn)一定的周期性質(zhì)。為此，我們討論二階差分方程的情形。當(dāng)I2+4今0時，特征方程具有共扼復(fù)根，可以表示為：蓋=a +bi ,晟=a bi,a =i/2, b =(1/2)(一12一42)1/2利用復(fù)數(shù)的三角函數(shù)或者指數(shù)表示法，可以將其寫作：1= Rco

19、si sin才=Rexp(iu) , R= a2b2,tan b/a這時動態(tài)乘子可以表示為：；y t土ijjLj =- =cC2，2二(G C2)Rcos(W) (0 -C2)Rjsin( n j)；：Wt對于實系統(tǒng)的擾動分析，上述反應(yīng)乘子應(yīng)該是實數(shù)。由于C1和C2也是共扼復(fù)數(shù)，因此有：c1=a+i B , c2=a -i P則有：:yt .jLj =-=2: Rjcos(u j) 2 - Rjsin(u j)(1.24):Wt如果 R=1,R=1,即復(fù)數(shù)處于單位圓上，則上述動態(tài)乘子出現(xiàn)周期性變化，并且影響不會消失；如果 R1,R1,即復(fù)數(shù)處于單位圓內(nèi)，則上述動態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行率減，其作

20、用慢慢消失；如果 R R1,1,即復(fù)數(shù)處于單位圓外，則上述動態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行擴(kuò)散，其作 用將逐漸增強(qiáng)。例1.7求解二階差分方程：yt=0.5yt0.8yt/+wt解：該方程的特征方程為：2-0.5，0.8=0特征根為：1C& =(0.5+、(0.5)2-4(0.8) )=0.25+0.86i ,21C2=0.5 -(0.5)2-4(0.8) =0.25 -0.86i上述共扼復(fù)數(shù)的模為：R=W(0.25)2(0.86)2-=0.9因為 R R 1 1 , ,由此可知其動態(tài)乘子呈現(xiàn)收斂趨勢?？梢跃唧w計算出其震蕩的周期模式。cos(6) =a/R=0.28 ,8=1.29由此可知動態(tài)乘

21、子的周期為：由此可知動態(tài)乘子的時間軌跡上，大于4.9個時間階段便出現(xiàn)一次高峰。1.2.2具有相異特征根的二階線性差分方程的通解針對具體的二階線性差分方程，可以討論解的性質(zhì)與參數(shù)02之間的關(guān)系。a.當(dāng)宥+4% 0時，參數(shù)取值處于拋物線 由2=的下方。這時特征方程具有復(fù)特征根，且復(fù)數(shù)的模為：R2=a2b2=(1/2)2-(1242)/4=2因此，當(dāng)0頊21時是震蕩發(fā)散的。時間序列分析方法講義第1章差分方程10b.當(dāng)特征根為實數(shù)時，我們分析最大特征根和最小特征的性質(zhì)。此時92十4。20,且時間序列分析方法講義第1章差分方程11，1 =1 1 .2422 =11一. 1242-1 =11 . 1242

22、1當(dāng)且僅當(dāng)1%22，或者，底1同理，使得不等式 舄2_1成立的參數(shù)解為：。1+。1因此當(dāng)特征方程具有相異實根的時候，穩(wěn)定性要求參數(shù)落入拋物線上的三角形區(qū)域內(nèi)。c.類似地可以說明，當(dāng)特征方程具有相等實根的時候，即處于三角形內(nèi)的拋物線上時， 方程仍然具有穩(wěn)定解，同時動態(tài)反應(yīng)乘子也是收斂的。1.2.31.2.3具有重復(fù)特征根的 p p 階線性差分方程的通解在更為一般的情形下，矩陣 F F 可能具有重復(fù)的特征根，即具有重根。此時可以利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型表示差分方程的解及其動態(tài)反應(yīng)乘子。下面以二階差分方程為例說明。假設(shè)二階差分方程具有重根，則可以將矩陣1|F =TT -一。-計算矩陣乘積得到：其j門F

23、j=TJ.一0j于是動態(tài)反應(yīng)乘子可以表示為:Lj =-烏?）-kj k2jjwt 1.31.3長期和現(xiàn)值的計算如果矩陣F的所有特征根均落在單位圓內(nèi)（即所有特征根的模小于1）,當(dāng)時間間隔j逐漸增大時，矩陣乘積Fj將趨于零矩陣。如果外生變量wt和yt的數(shù)據(jù)均是有界的，貝U可以利用wt的所有歷史數(shù)據(jù)表示差分方程的一個解：yt=wt、1Wtj一2Wn一3Wt其中平=f1i），即矩陣Fj中的（1, 1）位置元素。可以在矩陣表示下，計算wt的一個暫時性變化形成的對yt現(xiàn)值的影響。注意到利用向量求導(dǎo)得到：:Vt這樣一來，現(xiàn)值影響乘子可以表示為:二t j=上舊=（）vt_j =e.-上述矩陣級數(shù)收斂的條件是F F 所有特征根的模均小于P w。此時，wt的一個暫時性變F